第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为

（A）2(B) 2 (C) (D)

（1）【命题意图】本题考查复数的基本运算，属简单题.

【解析】设，则，所以.故选A.

（2）集合，,,则等于

（A） (B) (C) (D)

（2）B【命题意图】本题考查集合的补集与交集运算.属简答题.

【解析】，所以.故选B.

(3) 双曲线的实轴长是

（A）2 (B) (C) 4 (D) 4

（3）C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.

【解析】可变形为，则，，.故选C.

(4) 若直线过圆的圆心,则a的值为

（A）1 (B) 1 (C) 3 (D) 3

（4）B【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，属容易题.

【解析】圆的方程可变形为，所以圆心为（－1,2），代入直线得.

（5）若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是

（A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)

（5）D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.

【解析】由题意，，即也在函数 图像上.

(6)设变量x,y满足,则的最大值和最小值分别为

说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.

（A） 1，1(B) 2，2 (C )1，2(D)2，1

（6）B【命题意图】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等难度题.

【解析】三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入，得最大值为2，最小值为－2.故选B.

（7）若数列的通项公式是,则

（A） 15(B) 12 (C ) (D)

（7）A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题.

【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；

法二：，故.故选A.

(8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为

第（8）题图

（A） 48 (B)32+8 (C) 48+8(D) 80

(8)C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.

【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为，四个侧面的面积为，所以几何体的表面积为.故选C.

(9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于

（A）(B) (C) (D)

（9）D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题.

【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为.故选D.

(10) 函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是

（A）1(B) 2 (C) 3(D) 4

(10)A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.

【解析】代入验证，当时，，则，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选A.

第II卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，=，则 .

(11)－3【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属中等难度题.

【解析】.

（12）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是15 .

(12)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n项和.

【解析】由算法框图可知，若T＝105，则K＝14，继续执行循环体，这时k＝15，T>105，所以输出的k值为15.

（13）函数的定义域是 .

(13)（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.

【解析】由可得，即，所以.

（14）已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且，，则a与b的夹角为.

(14)60°【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法.属中等难度的题.

【解析】，则，即，，所以，所以.

(15)设=，其中a，bR，ab0，若对一切则xR恒成立，则

①

②＜

③既不是奇函数也不是偶函数

④的单调递增区间是

⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交

以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）.

(15)①③【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像.

【解析】，又，由题意对一切则xR恒成立，则对一切则xR恒成立，即，恒成立，而，所以，此时.所以.

①，故①正确；

②，

，

所以＜，②错误；

③，所以③正确；

④由①知，，

由知，所以③不正确；

⑤由①知，要经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交，则此直线与横轴平行，又的振幅为，所以直线必与图像有交点.⑤不正确.

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

（16）(本小题满分13分)

在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，，求边BC上的高.

（16）解：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，

又，∴，

即，，

又0°<A<180°，所以A＝60°.

在△ABC中，由正弦定理得，

又∵，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，

∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝

.

（17）（本小题满分13分）

设直线

（I）证明与相交；

（II）证明与的交点在椭圆

（18）（本小题满分13分）

设，其中为正实数.

(Ⅰ)当时，求的极值点；

(Ⅱ)若为上的单调函数，求的取值范围.

（19）（本小题满分13分）

如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，，，都是正三角形。

(Ⅰ)证明直线；

(Ⅱ)求棱锥的体积.

（20）（本小题满分10分）

某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

（21）（本小题满分13分）

在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设求数列的前项和.