第I卷(选择题 共50分)

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i是虚数单位，若，则乘积的值是

（A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15

[解析] ，∴，选B。

（2）若集合则A∩B是

（A） (B) （C） (D)

[解析]集合，∴选D

（3）下列曲线中离心率为的是

（A） （B） （C） （D）

[解析]由得，选B

(4)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是

（A）p:＞b+d , q:＞b且c＞d （B）p:a＞1,b>1 q:的图像不过第二象限（C）p: x=1, q:（D）p:a＞1, q: 在上为增函数

[解析]：由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可举反例。选A

（5）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是

（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18

[解析]：由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得，选B

（6）设＜b,函数的图像可能是

[解析]：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。或当时，当时，选C

（7）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是

（A） （B） （C） （D）

[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）

∴△ABC=，设与的

交点为D，则由知，∴

∴选A。

（8）已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是

（A） （B）（C） （D）

[解析]：，由题设的周期为，∴，

由得，，故选C

（9）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是

（A） （B） （C） （D）

[解析]：由得，

即，∴∴，

∴切线方程为

，即选A

（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于

（A） （B） （C） （D）

[解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有

共12对，所以所求概率为，选D

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

（11）若随机变量，则=________.

[解析]

（12）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.

[解析] 直线的普通方程为，曲线的普通方程

∴

(13) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______.

[解析] 由程序框图知，循环体被执行后的值依次为3、7、15、31、

63、127，故输出的结果是127。

（14）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.

[解析]设

，即

∴

（15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________

（写出所有正确命题的编号）。

1相对棱AB与CD所在的直线异面；

2由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；

3若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；

4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;

5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

[解析]①④⑤

三．解答题;本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内.

（16）在ABC中，, sinB=.

（I）求sinA的值；

(II)设AC=，求ABC的面积.

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分

解：（Ⅰ）由，且，∴，∴，

∴，又，∴

（Ⅱ）如图，由正弦定理得

∴，又

∴

（17）（本小题满分12分）

某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.

本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。

解：随机变量X的分布列是

X的均值为

附：X的分布列的一种求法

共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：

在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。

（18）（本小题满分13分）

如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（I）求二面角B－AF－D的大小；

（II）求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。

解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，

G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。

于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角B－AF－D 的平面角。

由， ，得，

由，得

（向量法）以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）

设平面ABF的法向量，则由得

令，得，

同理，可求得平面ADF的法向量。

由知，平面ABF与平面ADF垂直，

二面角B-AF-D的大小等于。

（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。

过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。

因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而

由得。

又因为

故四棱锥H-ABCD的体积

（19）（本小题满分12分）

已知函数，讨论的单调性.

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。

解：的定义域是(0,+),

设,二次方程的判别式.

① 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。

② 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。

③ 当，即时，

方程有两个不同的实根,,.

此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.

（20）（本小题满分13分）

点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.

（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；

（II）证明:构成等比数列.

解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。

解：（I）（方法一）由得代入椭圆,

得.

将代入上式,得从而

因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.

(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得

即故P与Q重合。

（方法三）在第一象限内，由可得

椭圆在点P处的切线斜率

切线方程为即。

因此，就是椭圆在点P处的切线。

根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。

（II）的斜率为的斜率为

由此得构成等比数列。

（21）（本小题满分13分）

首项为正数的数列满足

（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；

（II）若对一切都有，求的取值范围.

解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。

解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，

则由递推关系得是奇数。

根据数学归纳法，对任何，都是奇数。

（II）（方法一）由知，当且仅当或。

另一方面，若则；若，则

根据数学归纳法，

综合所述，对一切都有的充要条件是或。

（方法二）由得于是或。

因为所以所有的均大于0，因此与同号。

根据数学归纳法，，与同号。

因此，对一切都有的充要条件是或。