一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设，，，则( )

A． B． C． D．

答案：B

【解析】 对于，因此．

2．已知是实数，则“且”是“且”的 ( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：C

【解析】对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的

3．设（是虚数单位），则 ( )

A． B． C． D．

答案：D

【解析】对于

4．在二项式的展开式中，含的项的系数是( )

A． B．

C． D．

答案：B

【解析】对于，对于，则的项的系数是

5．在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )

A． B． C． D．

答案：C

【解析】取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为，设，则，，即有．

6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ( )

A． B． C． D．

答案：A

【解析】对于，而对于，则，后面是，不符合条件时输出的．

7．设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( )

A． B． C． D．

答案：C

【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．

8．已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )

答案：D

【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．

9．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( )

A． B． C． D．

答案：C

【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．

10．对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有

．下列结论中正确的是 ( )

A．若，，则

B．若，，且，则

C．若，，则

D．若，，且，则

答案：C

【解析】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．设等比数列的公比，前项和为，则__________．

答案：15

【解析】对于

12．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是________．

答案：18

【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18

13．若实数满足不等式组则的最小值是_________．

答案：4

【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，

14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如

下：

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时，低谷时间段用电量为千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 ___________元（用数字作答）．

答案：

【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为；对于低峰部分为，二部分之和为

15．观察下列等式：

，

，

，

，

………

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于，___________．

答案：

【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，

16．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_____________（用数字作答）．

答案：336

【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．

17．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点

作，为垂足．设，则的取值范围是___________．

答案：

【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，

． （I）求的面积； （II）若，求的值．

解析：（I）因为，，又由，得，

（II）对于，又，或，由余弦定理得，

19．（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．

（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；

（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数

和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．

解析：

（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；

（II）随机变量的取值为的分布列为

所以的数学期望为

20．（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．

（I）设是的中点，证明：平面；

（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．

证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，

则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面

（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．

21．（本题满分15分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

（I）求椭圆的方程；

（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．

解析：

（I）由题意得所求的椭圆方程为，

（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，

设线段MN的中点的横坐标是，则，

设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；

当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．

22．（本题满分14分）已知函数，，

其中．

（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；

（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得

，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；

（II）当时有；

当时有，因为当时不合题意，因此，

下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；

当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．