一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）（2013•鄂州）2013的相反数是（　　）

A． B． C． 3102 D． ﹣2013

考点： 相反数．

分析： 直接根据相反数的定义求解．

解答： 解：2013的相反数为﹣2013．

故选D．

点评： 本题考查了相反数：a的相反数为﹣a．

2．（3分）（2013•鄂州）下列计算正确的是（　　）

A． a4•a3=a12 B． C． （x2+1）0=0 D． 若x2=x，则x=1

考点： 解一元二次方程-因式分解法；算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂．

分析： A、同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；

B、通过开平方可以求得的值；

C、零指数幂：a0=1（a≠0）；

D、先移项，然后通过提取公因式对等式的左边进行因式分解，然后解方程．

解答： 解：A、a4•a3=a（4+3）=a7．故本选项错误；

B、==|3|=3，故本选项正确；

C、∵x2+1≠0，∴（x2+1）0=1．故本选项错误；

D、由题意知，x2﹣x=x（x﹣1）=0，则x=0或x=1．故本选项错误．

故选B．

点评： 本题综合考查了零指数幂、算术平方根、同底数幂的乘法以及解一元二次方程﹣﹣因式分解法．注意，任何不为零的数的零次幂等于1．

3．（3分）（2013•鄂州）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图为（　　）

A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．

解答： 解：从左面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．

故选A．

点评： 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

4．（3分）（2013•鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　）

A． 165° B． 120° C． 150° D． 135°

考点： 三角形的外角性质．

分析： 利用直角三角形的性质求得∠2=60°；则由三角形外角的性质知∠2=∠1+45°=60°，所以易求∠1=15°；然后由邻补角的性质来求∠α的度数．

解答： 解：如图，∵∠2=90°﹣30°=60°，

∴∠1=∠2﹣45°=15°，

∴∠α=180°﹣∠1=165°．

故选A．

点评： 本题考查了三角形的外角性质．解题时，注意利用题干中隐含的已知条件：∠1+α=180°．

5．（3分）（2013•鄂州）下列命题正确的个数是（　　）

①若代数式有意义，则x的取值范围为x≤1且x≠0．

②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元．

③若反比例函数（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y=﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．

④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y=3，y=2x+1，y=x2中偶函数的个数为2个．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 命题与定理．

分析： 根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案．

解答： 解：①若代数式有意义，则x的取值范围为x＜1且x≠0，原命题错误；

②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元正确．

③若反比例函数（m为常数）的增减性需要根据m的符号讨论，原命题错误；

④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中只有y=x2中偶函数，原命题错误，

故选C．

点评： 本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例．

6．（3分）（2013•鄂州）一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）（2013•鄂州）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（　　）

A． B． C． D．

考点： 相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

分析： 首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值．

解答： 解：在Rt△ABC中，

∵AD⊥BC于点D，

∴∠ADB=∠CDA，

∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+DAC=90°，

∴∠B=∠DAC，

∴△ABD∽△ACD，

∴=，

∵BD：CD=3：2，

设BD=3x，CD=2x，

∴AD==x，

则tanB===．

故选D．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应变成比例求边长．

8．（3分）（2013•鄂州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（　　）

A． ﹣10 B． 4 C． ﹣4 D． 10

考点： 根与系数的关系．

专题： 计算题．

分析： 利用根与系数的关系表示出m+n与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n与mn的值代入即可求出a的值．

解答： 解：根据题意得：m+n=3，mn=a，

∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6，

∴a﹣3+1=﹣6，

解得：a=﹣4．

故选C

点评： 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

9．（3分）（2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：

①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．

你认为其中正确信息的个数有（　　）

A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．

∵对称轴x=﹣=﹣，∴b=a＜0，

∴ab＞0．故①正确；

②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．

故②正确；

③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，

∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，

∴b+2c＞0．

故③正确；

④如图，当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0．

抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．

∵b＜0，

∴c﹣b＞0，

∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞0，即a﹣2b+4c＞0．

故④正确；

⑤如图，对称轴x=﹣=﹣，则．故⑤正确．

综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．

故选D．

点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

10．（3分）（2013•鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（　　）

A． 6 B． 8 C． 10 D． 12

考点： 勾股定理的应用；线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离．

分析： MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可，作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，则可判断四边形AA′NM是平行四边形，得出AM=A′N，由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小．过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB．

解答： 解：作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，

∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，

∴AA′=MN=4，

∴四边形AA′NM是平行四边形，

∴AM+NB=A′N+NB=A′B，

过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，

易得AE=2+4+3=9，AB=2，A′E=2+3=5，

在Rt△AEB中，BE==，

在Rt△A′EB中，A′B==8．

故选B．

点评： 本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．

二、填空题：（每小题3分，共18分）

11．（3分）（2013•鄂州）若|p+3|=0，则p=　﹣3　．

考点： 绝对值．

分析： 根据零的绝对值等于0解答．

解答： 解：∵|p+3|=0，

∴p+3=0，

解得p=﹣3．

故答案为：﹣3．

点评： 本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

12．（3分）（2013•鄂州）下列几个命题中正确的个数为　1　个．

①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6）．

②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们平均分为95，众数为92．

③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定．

④某部门15名员工个人年创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清楚数据，所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错．

考点： 命题与定理．

分析： 分别根据中位数、众数、平均数、方差等公式以及性质分别计算分析得出即可．

解答： 解：①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为不可能事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6），故此选项错误；

②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们平均分为95，众数为92，故此选项正确；

③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中甲较乙更稳定，故此选项错误；

④根据某部门15名员工个人年创利润数据，第7个与第8个数据平均数是中位数，

故“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”，故此选项错误，

故正确的有1个．

故答案为；1．

点评： 此题主要考查了命题与定理，根据已知正确分析数据得出中位数是解题关键．

13．（3分）（2013•鄂州）若不等式组的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集为　x＞　．

考点： 解一元一次不等式组；不等式的解集；解一元一次不等式．

分析： 求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可求出a b的值，代入求出不等式的解集即可．

解答： 解：

∵解不等式①得：x≥，

解不等式②得：x≤﹣a，

∴不等式组的解集为：≤x≤﹣a，

∵不等式组的解集为3≤x≤4，

∴=3，﹣a=4，

b=6，a=﹣4，

∴﹣4x+6＜0，

x＞，

故答案为：x＞

点评： 本题考查了解一元一次不等式（组），一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式组的解集求出a b的值．

14．（3分）（2013•鄂州）已知正比例函数y=﹣4x与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（x，4），则点B的坐标为　（1，﹣4）　．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： 首先求出A点坐标，进而将两函数联立得出B点坐标即可．

解答： 解：∵正比例函数y=﹣4x与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为（x，4），

∴4=﹣4x，

解得：x=﹣1，

∴xy=k=﹣4，

∴y=，

则﹣=﹣4x，

解得：x1=1，x2=1，

当x=1时，y=﹣4，

∴点B的坐标为：（1，﹣4）．

故答案为：（1，﹣4）．

点评： 此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据已知得出A点坐标是解题关键．

15．（3分）（2013•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为　10　cm．

考点： 直角三角形斜边上的中线．

分析： 连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．

解答： 解：连接OP，

∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，

∴OP=AB，

∵AB=20cm，

∴OP=10cm，

故答案为：10．

点评： 此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

16．（3分）（2013•鄂州）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为　　．

考点： 旋转的性质．

分析： 利用勾股定理列式求出AB，根据旋转的性质可得AO=A′O，A′B′=AB，再求出OE，从而得到OE=A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，利用三角形的面积求出OF，利用勾股定理列式求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得A′E=2EF，然后根据B′E=A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．

解答： 解：∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6，

∴AB===3，

∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，

∴AO=A′O=3，A′B′=AB=3，

∵点E为BO的中点，

∴OE=BO=×6=3，

∴OE=A′O，

过点O作OF⊥A′B′于F，

S△A′OB′=×3•OF=×3×6，

解得OF=，

在Rt△EOF中，EF===，

∵OE=A′O，OF⊥A′B′，

∴A′E=2EF=2×=（等腰三角形三线合一），

∴B′E=A′B′﹣A′E=3﹣=．

故答案为：．

点评： 本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．

三、解答题（17～20每题8分，21～22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）

17．（8分）（2013•鄂州）先化简，后求值：，其中a=3．

考点： 分式的化简求值．

专题： 计算题．

分析： 现将括号内的部分因式分解，通分后相加，再将除法转化为乘法，最后约分．再将a=3代入即可求值．

解答： 解：÷

=÷

=

=

=

=

=a．

∴当a=3时，原式=3．

点评： 本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及约分是解题的关键．

18．（8分）（2013•鄂州）如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．

（1）求证：△ADE≌△ABF．

（2）求△AEF的面积．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析： （1）由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE=BF，进而证明出两三角形全等；

（2）首先求出DE和CE的长度，再根据S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF得出结果．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠=90°，DC=CB，

∵E、F为DC、BC中点，

∴DE=DC，BF=BC，

∴DE=BF，

∵在△ADE和△ABF中，

，

∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，

且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2，

∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF

=4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2

=6．

点评： 本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大．

19．（8分）（2013•鄂州）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“灵”、“秀”、“鄂”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．

（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“鄂”的概率为多少？

（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“鄂州”的概率P1；

（3）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“鄂州”的概率为P2，指出P1，P2的大小关系（请直接写出结论，不必证明）．

考点： 列表法与树状图法；概率公式．

分析： （1）由有汉字“灵”、“秀”、“鄂”、“州”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，利用概率公式直接求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与甲取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“鄂州”的情况，再利用概率公式即可求得答案；注意是不放回实验；

（3）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与甲取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“鄂州”的情况，再利用概率公式即可求得答案；注意是放回实验．

解答： 解：（1）∵有汉字“灵”、“秀”、“鄂”、“州”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，

∴球上汉字刚好是“鄂”的概率 P=；

（2）画树状图得：

∵共有12种不同取法，能满足要求的有4种，

∴P1==；

（3）画树状图得：

∵共有16种不同取法，能满足要求的有4种，

∴P2==；

∴P1＞P2．

点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

20．（8分）（2013•鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：

（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？

（2）求线段CD对应的函数解析式．

（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270=30千米；

（2）设CD段的函数解析式为y=kx+b，将C（2.5，80），D（4.5，300）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；

（3）设轿车从甲地出发x小时后再与货车相遇，根据轿车（x﹣4.5）小时行驶的路程+货车x小时行驶的路程=300千米列出方程，解方程即可．

解答： 解：（1）根据图象信息：货车的速度V货==60（千米/时）．

∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，

∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60=270（千米），

此时，货车距乙地的路程为：300﹣270=30（千米）．

答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米；

（2）设CD段函数解析式为y=kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．

∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，

∴，解得，

∴CD段函数解析式：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；

（3）设轿车从甲地出发x小时后再与货车相遇．

∵V货车=60千米/时，V轿车==110（千米/时），

∴110（x﹣4.5）+60x=300，

解得x≈4.68（小时）．

答：轿车从甲地出发约4.68小时后再与货车相遇．

点评： 本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路程=速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键．

21．（9分）（2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问：

（1）楼高多少米？

（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）

考点： 勾股定理的应用．

专题： 应用题．

分析： （1）设楼高为x，则CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD=150，求出x的值即可；

（2）根据（1）求出的楼高x，然后求出20层楼的高度，比较x和20层楼高的大小即可判断谁的观点正确．

解答： 解：（1）设楼高为x米，则CF=DE=x米，

∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，

∴AC=x米，BD=x米，

∴x+x=150﹣10，

解得x==70（﹣1）（米），

∴楼高70（﹣1）米．

（2）x=70（﹣1）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，

∴我支持小华的观点，这楼不到20层．

点评： 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解，难度一般．

22．（9分）（2013•鄂州）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．

（1）求证：DE为⊙O的切线．

（2）求证：AB：AC=BF：DF．

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： （1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）证△ABD∽△CAD，推出=，证△FAD∽△FDB，推出=，即可得出AB：AC=BF：DF．

解答： 证明：（1）连结DO、DA，

∵AB为⊙O直径，

∴∠CDA=∠BDA=90°，

∵CE=EA，

∴DE=EA，

∴∠1=∠4，

∵OD=OA，

∴∠2=∠3，

∵∠4+∠3=90°，

∴∠1+∠2=90°，

即：∠EDO=90°，

∵OD是半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠4=∠DBA，

∵∠CDA=∠BDA=90°，

∴△ABD∽△CAD，

∴=，

∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，

又∵OD=OB，

∴∠BDO=∠DBO，

∴∠3=∠FDB，

∵∠F=∠F，

∴△FAD∽△FDB，

∴=，

∴=，

即AB：AC=BF：DF．

点评： 本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．

23．（10分）（2013•鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：

（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．

（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用．

分析： （1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，利润=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；

（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；

（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．

解答： 解：（1）

销售单价（元） x

销售量y（件） 1000﹣10x

销售玩具获得利润w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000

（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000

解之得：x1=50，x2=80

答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，

（3）根据题意得

解之得：44≤x≤46

w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250

∵a=﹣10＜0，对称轴x=65

∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．

∴当x=46时，W最大值=8640（元）

答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．

点评： 本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．

24．（12分）（2013•鄂州）在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，﹣1），线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点）．

（1）若M（﹣2，5），请直接写出N点坐标．

（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式．

（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．

（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时BP的长度．

考点： 二次函数综合题．

专题： 综合题．

分析： （1）首先根据点M的移动方向和单位得到点N的平移方向和单位，然后按照平移方向和单位进行移动即可；

（2）将点N的坐标代入函数的解析式即可求得k值；

（3）配方后确定点B、A、E的坐标，根据CO：OF=2：用m表示出线段CO、FO和BF的长，利用S△BEC=S△EBF+S△BFC=得到有关m的方程求得m的值即可；

（4）分当∠BPE＜∠APE时、当∠BPE=∠APE时、当∠BPE＜∠APE时三种情况分类讨论即可．

解答： 解：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，

由点M到点M′可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，

故点N′的坐标为（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）．

N（0，2）；

（2）∵N（0，2）在抛物线y=x2+x+k上

∴k=2

∴抛物线的解析式为y=x2+x+2

（3）∵y=x2+x+2=（x+2）2

∴B（﹣2，0）、A（0，2）、E（﹣，1）

∵CO：OF=2：

∴CO=﹣m，FO=﹣m，BF=2+m

∵S△BEC=S△EBF+S△BFC=

∴（2+m）（﹣m+1）=

整理得：m2+m=0

∴m=﹣1或0

∵m＜0

∴m=﹣1

（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO===

∴∠ABO=30°，AB=2AO=4

①当∠BPE＞∠APE时，连接A1B则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分．

∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP

∵S△EHP=S△ABP

∴=S△EHP=S△BHP=S△ABP

∴A1H=HP，EH=HB=1

∴四边形A1BPE为平行四边形

∴BP=A1E=AE=2

即BP=2

②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积的一半，不符合题意；

③当∠BPE＜∠APE时．

则对折后如图3，A1为对折后A的所落点．△EHP是重叠部分

∵E为AB中点，

∴S△AEP=S△BEP=S△ABP

∵S△EHP=S△ABP∴S△EBH=S△EHP==S△ABP

∴BH=HP，EH=HA1=1

又∵BE=EA=2

∴EHAP，

∴AP=2

在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．

∴∠APB=90°，

∴BP=，

综合①②③知：BP=2或；

点评： 此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定，图形折叠问题及图形面积等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．