(单词翻译:单击)
第Ⅰ卷 （选择题）
一、选择题
（1）设全
集
，集合
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【命题意图】本题考查求集合的并集和补集，集合的子交并补等基本运算是历年高考的热点，属于基础题型，需要考生熟练掌握.
【解析】
，
，
，或者由狄莫弗性质：
，故选C.
（2）不等式
的解集为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【命题意图】本题考查分式不等式的解法，转化成整式二次不等式求解，蕴涵了等价转化的数学思想.
【解析】
，故选A.
（3）已知
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【命题意图】本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式，在三角化简求值等运算中，公式是基础.
【解析】
，故选B.
（4）函数
的反函数是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【命题意图】本题考查求函数的反函数的三步骤：1.求原函数的值域，2.反解解析式，3.对调
,写出定义域(即原函数值域).
【解析】
，由
，
，故选D.
（5）若变量满足约束条件
，则
的最大值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（6）如果等差数列
中，
+
+
=12，那么 
+
+…+
=
（A）14 （B）21 （C
）28 （D）35
【答案】C
【命题意图】本题考查等差数列基本量的计算，
，
，
，
，
五个量知三求二，应用到方程思想，同时也考查了等差数列的通项公式和前项和公式.
【解析】
，
，而
，故选C.
（7）若曲线
在点
处的切线方程是
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【命题意图】本题考查导函数的几何意义，函数在某点的导函数值等于图象在这点的切线的斜率.
【解析】
，又切线过该点，
，故选A.
（8）已知三棱锥
中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值
为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
【答案】B
【命题意图】本题考查排列组合的分配问题，解决方法是：先分组，后全排；也考查了平均分组问题，用除法处理，考生要注意除法意义上的理解.
【解析】先将1，2分为一组，再将3，4，5，6平均分为2组，共有
种分法，然后在将三组卡片全排列在3个信封里，不同的放法有
种.故选B.
（10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若
，
，
，则
=
（A）
（B）
（C）
（D） 
【答案】B
【命题意图】本题考查平面向量加减运算法则和线性基底表示，属于向量基本集合性质；还考查了角平分线定理，这个知识点初高中教材中均未明确提出，很多学生比较生疏，需引起注意.
【解析】由角平分线定理知：
，
，
.故选B.
（11）与正方体
的三条棱
、
、
所在直线的距离相等的点
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个
（C）有且只有3个 （D）有无数个
（12）已知椭圆C：
+
=1
的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若
=3
，则k=
（A）1 （B）
（C）
（D）2
【答案】B
【命题意图】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，是近年来高考中常考题型，知识覆盖宽，对分解决析问题能力和计算能力要求较高．涉及交点问题，面积问题，夹角问题，弦长问题通常需要联立直线和曲线方程，利用韦达定理求解.本题对椭圆的形状可特殊化处理，简化计算，降低难度.
【解析】
， 
，
，椭圆方程为：
，联立化简得：
，
设交点
，由
得：
，代入韦达定理：
消去
，解得：
.故选B.
第Ⅱ卷（非选择题）
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）已知
是第二象限的角，
，则
___________.
【答案】
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，以及二象限内函数符号.
【解析】由
易知：
，
.
(14) 
的展开式中
的系数是__________
【答案】84
【命题意图】本题考查二项式展开式指定某项的系数，关键是由通项公式求出
.
【解析】
，令
得
，故系数为
．
(15) 已知抛物线
的准线为
，过M(1,0)且斜
率为
的直线与相交于点A，与C的一个交点为B，若
，则
=_________.
【答案】2
【命题意图】本题考查直线和抛物线的位置关系，由已知可以直接写出该直线方程，进而求出A点坐标，注意到M为线段AB中点，可得点B的坐标，代入抛物线C即可．
【解析】直线方程
，令
，得
，而中点
，所以
，代入
，解得
．
（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=________________.
【答案】3
【命题意图】本题考查球体中距离，夹角，可转化到直角三角形中利用垂径定理解决.欲求MN长度，关键找夹角MON.
【解析】设AB中点为P，连接OP，在
中，
，
，
，则
为等边三角形，所以MN=OM=ON=3.
三
.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分10分）
△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33,
,
.求AD.
【命题意图】本题着重考查了正弦定理，三角形外角定理以及正弦的和角公式.
【参考答案】
解：
由
由已知得
，
从而 
.
由正弦定理得
,
所以
.
【点评】本题考查解三
角形中的三角函数，这是近几年高考题目中的热点，可涉及三角恒等变换公式，和差倍半公式，向量数量积，夹角，长度，面积公式以及正余弦定理等等，考查逻辑思维能力和等价转化能力，和08年全国2卷相似，也是一大命题方向，应予以高度重视.
（18）（本
小题满分12分）
已知
是各项均为正数的等比数列，且
，
.
(Ⅰ) 求的通项公式；
（Ⅱ）设
,求数列
的前项和
.
（19）（本小题满分1
2分）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1.
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45o,求二面角A1-AC1-B1的大小.
【命题意图】本题考查直棱柱概念，异面直线距离的定义和二面角求法.
【参考答案】
解法一：
（Ⅰ）连结
,记与
的交点为F.因为面
为正方形，故
，且
.又
，所以
，又D为
的中点，故
.
作
,G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.
又由底面
面
，得
.
连结DG，则
，故
,由三垂线定理，得
.
所以DE为异面直线
与CD的公垂线.
（Ⅱ）因为，故
为异面直线与
的夹角，
.
设AB=2，则
，
，
,
.
作
,H为垂足，因为底面
,故
，
又作
，K为垂足，连结
,由三垂线定理，得
，因此
为二面角
的平面角.
.
则 
,
即 
.
令
.
设平面
的法向量为
，
则 
,即
.
令
，
所以 
.
由于
等于二面角的平面角，
所以二面角的大小为
.
【点评】本题着重考查空间思维能力和逻辑推理能力，这类题目是历年高考必考题目，中档难度. 引入空间向量后，可以用代数的方法研究几何图形，降低了传统几何解法添加辅助线的难度，夹角和距离均可利用公式求值，但建系是关键，考生需要好好掌握代数解法.
（20）（本小题满分12分）
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率.
【命题意图】本题考查相互独立事件的概率，背景新颖，题意明确.
【参考答案】
（21）（本小题满分12分）
已知函数
.
（Ⅰ）设
，求
的单调区间；
（Ⅱ）设在区间（2,3）中至少有一个极值点，求
的取值范围.
【命题意图】本题考查利用导数研究三次函数的图象和性质，单调区间的求法，取极值的充要条件.
【参考答案】
解：
（22）（本小题满分12分）
已知斜率为1的直线与双曲线C：
相交于B、D两点，且BD的中点为
.
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，
，证明：过A、B、D
三点的圆与
轴相切.
【命题意图】本题综合考查了双曲线的几何性质，三点共线问题以及直线和双曲线的位置关系.
【参考答案】
解：
（Ⅰ）由题设知，的方程为：
，
代入C的方程，并化简，得
，
设 
，
则 
， ①
由为BD的中点知
，故
，
即 
， ②
故 
，
所以C的离心率
.
（Ⅱ）由①、②知，C的方程为：
，
，
故不妨设
，
，
，
.
又 
，
故 
，
解得
，或
（舍去），
故
，
连结MA，则由
，
知
，从而
,且
轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与轴相切，所以过A、B、D三点的圆与轴相切.
【点评】本题着重考查直线和双曲线的位置关系，涉及交点，弦长，两点间距离问题，利用韦达定理转化，体现了数形结合思想和化归转化思想，要求考生有较强的逻辑推理能力和计算能力.常常与向量，不等式，方程等相结合，综合难度较大，具有较好的区分度.考生平时应强化分析和运算能力的训练，提高综合解题能力.
2010年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案和评分参考
一、选择题
（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）C
（7）A （8）D （9）B （10）B （11）D （12）B
二、填空题
（13）
（14）84 （15）2 （16）3
三、解答题
（17）解：
由
由已知得，
从而
.
由正弦定理得
,
所以
.
（18）解：
（Ⅰ）设公比为q，则
.由已知有
的平面角.
.
.
.
.
所以二面角的大小为
.
解法二：
（Ⅰ）以B为坐标原点，射线BA为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系
.
设AB=2，则A（2,0,0,），
，D（0,1,0），
，
又设C（1,0,c）,则
.
于是
.
故
,
所以DE为异面直线与CD的公垂线.
（Ⅱ）因为
等于异面直线与CD的夹角，
故 
，
即 
，
解得 
，故
，
又
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则 ,
即 .
令
.
设平面
的法向量为
，
则 
,即
.
令
，
所以 
.
由于
等于二面角
的平面角，
所以二面角的大小为
.
（20）解：
记
表示事件：电流能通过
A表示事件：
中至少有一个能通过电流，
B表示事件：电流能在M与N之间通过，
（Ⅰ）
相互独立，
,
又 
，
故 
，
（Ⅱ）
，
=0.9+0.1×0.9×0
.9+0.1×0.1×0.9×0.9
=0.9891
