第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数满足：；则（ ）

【解析】选

（2）下列函数中，不满足：的是（ ）

【解析】选

与均满足：得：满足条件

（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

【解析】选

4.公比为等比数列的各项都是正数，且，则（ ）

【解析】选

5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则

甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

【解析】选

甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为

（6）设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且

则“”是“”的（ ）

充分不必要条件 必要不充分条件

充要条件 即不充分不必要条件

【解析】选

① ②如果；则与条件相同

（7）的展开式的常数项是（ ）

【解析】选

第一个因式取，第二个因式取 得：

第一个因式取，第二个因式取得： 展开式的常数项是

（8）在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量则点的坐标是（ ）

【解析】选

【方法一】设

则

【方法二】将向量按逆时针旋转后得则

（9）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若；则的面积为（ ）

【解析】选

设及；则点到准线的距离为

得： 又

的面积为

（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为（ ）

或 或 或 或

【解析】选

①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人

②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人

第II卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）若满足约束条件：；则的取值范围为

【解析】的取值范围为

约束条件对应边际及内的区域：

则

（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是

【解析】表面积是

该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱

几何体的表面积是

（13）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是

【解析】距离是

圆的圆心

直线；点到直线的距离是

（14）若平面向量满足：；则的最小值是

【解析】的最小值是

（15）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是

①若；则 ②若；则

③若；则 ④若；则

⑤若；则

【解析】正确的是①②③

①

②

③当时，与矛盾

④取满足得：

⑤取满足得：

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

（16）(本小题满分12分)

设函数

（I）求函数的最小正周期；

（II）设函数对任意，有，且当时，；

求函数在上的解析式。

【解析】

（I）函数的最小正周期

（2）当时，

当时，

当时，

得：函数在上的解析式为

（17）（本小题满分12分）

某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。

（Ⅰ）求的概率；

（Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）。

【解析】（I）表示两次调题均为类型试题，概率为

（Ⅱ）时，每次调用的是类型试题的概率为

随机变量可取

，，

答：（Ⅰ）的概率为

（Ⅱ）求的均值为

（18）（本小题满分12分）

平面图形如图4所示，其中是矩形，，，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。

。

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求的长；

（Ⅲ）求二面角的余弦值。

【解析】（I）取的中点为点，连接

则，面面面

同理：面 得：共面

又面

（Ⅱ）延长到，使 得：

，面面面面

（Ⅲ）是二面角的平面角

在中，

在中，

得：二面角的余弦值为。

（19）（本小题满分13分）K]

设

（I）求在上的最小值；

（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。

【解析】（I）设；则

①当时，在上是增函数

得：当时，的最小值为

②当时，

当且仅当时，的最小值为

（II）

由题意得：

（20）（本小题满分13分）

如图，分别是椭圆的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点；

（I）若点的坐标为；求椭圆的方程；

（II）证明：直线与椭圆只有一个交点。

【解析】（I）点代入得：

①

又 ② ③

由①②③得： 既椭圆的方程为

（II）设；则

得：

过点与椭圆相切的直线斜率

得：直线与椭圆只有一个交点。

（21）（本小题满分13分）

数列满足：

（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是

（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。

【解析】（I）必要条件

当时，数列是单调递减数列

充分条件

数列是单调递减数列

得：数列是单调递减数列的充分必要条件是

（II）由（I）得：

①当时，，不合题意

②当时，

当时，与同号，

由

当时，存在，使与异号

与数列是单调递减数列矛盾

得：当时，数列是单调递增数列