一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x 2－2x－3≤0}，则A∩(RB)＝

A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)

【解析】A＝(1，4)，B＝(－3，1)，则A∩(RB)＝(1，4)．

【答案】A

2．已知i是虚数单位，则＝

A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i

【解析】＝＝＝1＋2i．

【答案】D

3．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有：，解之得：a＝1 or a＝﹣2．所以为充分不必要条件．

【答案】A

4．把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是

【解析】把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向左平移1个单位长度得：y2＝cos(x—1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x—1)．令x＝0，得：y3＞0；x＝，得：y3＝0；观察即得答案．

【答案】B

5．设a，b是两个非零向量．

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb

D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|

【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实

数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．

【答案】C

6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

A．60种 B．63种 C．65种 D．66种

【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：

4个都是偶数：1种；

2个偶数，2个奇数：种；

4个都是奇数：种．

∴不同的取法共有66种．

【答案】D

7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是

A．若d＜0，则数列{S n}有最大项

B．若数列{S n}有最大项，则d＜0

C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的nN*，均有S n＞0

D．若对任意的nN*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列

【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．

【答案】C

8．如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是

A． B．

C． D．

【解析】如图：|OB|＝b，|O F1|＝c．∴kPQ＝，kMN＝﹣．

直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x．由，得：Q(，)；由，得：P(，)．∴直线MN为：y－＝﹣(x－)，

令y＝0得：xM＝．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：，即e＝．

【答案】B

9．设a＞0，b＞0．

A．若，则a＞b

B．若，则a＜b

C．若，则a＞b

D．若，则a＜b

【解析】若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．

【答案】A

10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．

【答案】C

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm3．

【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于．

【答案】1

12．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______________．

【解析】T，i关系如下图：

【答案】

13．设公比为q(q＞0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}．若

，，则q＝______________．

【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．

即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．

【答案】

14．若将函数表示为

其中，，，…，为实数，则＝______________．

【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．

即：．

法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即．

【答案】10

15．在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________．

【解析】此题最适合的方法是特例法．假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝．

cos∠BAC＝．＝

【答案】29

16．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，

则实数a＝______________．

【解析】C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x的距离为：，故曲线C2到直线l：y＝x的距离为．

另一方面：曲线C1：y＝x 2＋a，令，得：，曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离的点为(，)，．

【答案】

17．设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．

【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：

(A)， 无解；

(B)， 无解．

因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)

我们知道：函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x 2－ax－1都过定点P(0，1)．

考查函数y1＝(a－1)x－1：令y＝0，得M(，0)，还可分析得：a＞1；

考查函数y2＝x 2－ax－1：显然过点M(，0)，代入得：，解之得：，舍去，得答案：．

【答案】

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，

sinB＝cosC．

(Ⅰ)求tanC的值；

(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积．

【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。

(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝，

又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA

＝cosC＋sinC．

整理得：tanC＝．

(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝．

又由正弦定理知：，

故． (1)

对角A运用余弦定理：cosA＝． (2)

解(1) (2)得： or b＝(舍去)．

∴ABC的面积为：S＝．

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ．

19．(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．

【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。

(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6．

； ；

； ．

故，所求X的分布列为

(Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为：

E(X)＝．

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ．

20．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．

(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；

(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．

【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。

(Ⅰ)如图连接BD．

∵M，N分别为PB，PD的中点，

∴在PBD中，MN∥BD．

又MN平面ABCD，

∴MN∥平面ABCD；

(Ⅱ)如图建系：

A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，

N(，0，0)，C(，3，0)．

设Q(x，y，z)，则．

∵，∴．

由，得：． 即：．

对于平面AMN：设其法向量为．

∵．

则． ∴．

同理对于平面AMN得其法向量为．

记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，

则．

∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为．

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ．

21．(本小题满分15分)如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．

【解析】

(Ⅰ)由题：； (1)

左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)

由(1) (2)可解得：．

∴所求椭圆C的方程为：．

(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．

∵A，B在椭圆上，

∴．

设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，

代入椭圆：．

显然．

∴﹣＜m＜且m≠0．

由上又有：＝m，＝．

∴|AB|＝||＝＝．

∵点P(2，1)到直线l的距离为：．

∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，

当|m＋2|＝，即m＝﹣3 or m＝0(舍去)时，(SABP)max＝．

此时直线l的方程y＝﹣．

【答案】 (Ⅰ) ；(Ⅱ) y＝﹣．

21．(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．

(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，

(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；

(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；

(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．

【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。

(Ⅰ)

(ⅰ)．

当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，

此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；

当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，

此时的最大值为：

＝|2a－b|﹢a；

综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；

(ⅱ) 要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|2a－b|﹢a．

亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，

∵，∴令．

当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，

此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；

当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，

≤|2a－b|﹢a；

综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．

即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，

且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．

∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，

∴|2a－b|﹢a≤1．

取b为纵轴，a为横轴．

则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．

作图如下：

由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有．

∴所求a＋b的取值范围为：．

【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) ．