一．选择题选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为 （ ）

（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3

【答案】D

【解析】，所以a=3，

故选择D

【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.

（2）已知，则 （ ）

（A） （B）

（C） （D）

【答案】A

【解析】A：，，，所以答案选A

【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.

（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为

（A） （B）

（C） （D）

【答案】C

【解析】；

；

，输出

所以答案选择C

【考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.

（4）“”是“”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】，所以答案选择B

【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.

（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被

录用的概率为

（A） (B)

(C) （D）

【答案】D

【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率

【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.

（6）直线被圆截得的弦长为

（A）1 （B）2

（C）4 （D）

【答案】C

【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.

【考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题.

（7）设为等差数列的前项和，，则=

（A） （B）

（C） （D）2

【答案】A

【解析】

【考点定位】考查等差数列通项公式和前n项公式的应用，以及数列基本量的求解.

(8) 函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为

(A) (B)

(C) (D)

【答案】B

【解析】

表示到原点的斜率；

表示与原点连线的斜率，而在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.

【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.

(9) 设的内角所对边的长分别为，若,则角=

(A) (B)

(C) (D)

【答案】B

【解析】由正弦定理，所以；

因为，所以，

，所以，答案选择B

【考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.

（10）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程

的不同实根个数为

（A）3 (B) 4

(C) 5 (D) 6

【答案】A

【解析】，是方程的两根，

由，则又两个使得等式成立，，，其函数图象如下：

如图则有3个交点，故选A.

【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.

二．填空题

（11） 函数的定义域为_____________.

【答案】

【解析】，求交集之后得的取值范围

【考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0.

（12）若非负数变量满足约束条件，则的最大值为__________.

【答案】4

【解析】

由题意约束条件的图像如下：

当直线经过时，，取得最大值.

【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时取最大.

（13）若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______.

【答案】

【解析】等式平方得：

则，即

得

【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.

（14）定义在上的函数满足.若当时。，

则当时，=________________.

【答案】

【解析】当，则，故

又，所以

【考点定位】考查抽象函数解析式的求解.

（15）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。

①当时，为四边形

②当时，为等腰梯形

③当时，与的交点满足

④当时，为六边形

⑤当时，的面积为

【答案】①②③⑤

【解析】（1），S等腰梯形，②正确，图如下：

（2），S是菱形，面积为，⑤正确，图如下：

（3），画图如下：，③正确

（4），如图是五边形，④不正确；

（5），如下图，是四边形，故①正确

【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。

三．解答题

（16）（本小题满分12分）

设函数.

（Ⅰ）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；

（Ⅱ）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.

【解析】（1）

当时，，此时

所以，的最小值为，此时x 的集合.

(2)横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得；

然后向左平移个单位，得

【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.

（17）（本小题满分12分）

为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

甲 乙

7 4 5

5 3 3 2 5 3 3 8

5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5

8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9

7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8

2 0 9 0

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；

（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计的值.

【解析】（1）

（2）

=

=

【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力.

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知 .

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.

【解析】

（1）证明：连接交于点

又是菱形

而 ⊥面 ⊥

(2) 由（1）⊥面

=

【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力.

（19）（本小题满分13分）

设数列满足，,且对任意，函数 满足

(Ⅰ)求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

【解析】

由

所以，

是等差数列.

而

（2）

【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.

（20）（本小题满分13分）

设函数，其中，区间.

（Ⅰ）求的长度（注：区间的长度定义为；

（Ⅱ）给定常数，当时，求长度的最小值.

【解析】

（1）令

解得

的长度

（2） 则

由 （1）

，则

故关于在上单调递增，在上单调递减.

【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.

（21）（本小题满分13分）

已知椭圆的焦距为4，且过点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为。取点,连接，过点作的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.

【解析】

（1）因为椭圆过点

且

椭圆C的方程是

（2）

由题意，各点的坐标如上图所示，

则的直线方程：

化简得

又，

所以带入

求得最后

所以直线与椭圆只有一个公共点.

【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力.