解答题押题练B组
1．设向量a＝(2，sin θ)，b＝(1，cos θ)，θ为锐角．
(1)若a·b＝，求sin θ＋cos θ的值；
(2)若a∥b，求sin的值．
解　(1)因为a·b＝2＋sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝.(2分)
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝.
又因为θ为锐角，所以sin θ＋cos θ＝.(5分)
(2)法一　因为a∥b，所以tan θ＝2.(7分)
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－.(11分)
所以sin＝sin 2θ＋cos 2θ
＝×＋×
＝.(14分)
法二　因为a∥b，所以tan θ＝2.(7分)
所以sin θ＝，cos θ＝.
因此sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ[pic]＝－.(11分)
所以sin＝sin 2θ＋cos 2θ
＝×＋×
＝.(14分)
2．如图，在四棱锥P -ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC，点E在棱PB上
，且PE＝2EB.
(1)求证：平面PAB⊥平面PCB；
(2)求证：PD∥平面EAC.
解　(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.(3分)
又BC?平面PCB，
∴平面PAB⊥平面PCB.(6分)
(2)∵PA⊥底面ABCD，又AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD.
又∵PC⊥AD，又PC∩PA＝P，∴AD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，
∴AC⊥AD.
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB＝BC，得∠BAC＝，
∴∠DCA＝∠BAC＝.又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．(4分)
∴DC＝AC＝(AB)＝2AB.
连接BD，交AC于点M，则＝＝2.
在△BPD中，＝＝2，
∴PD∥EM
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC.(14分)
3．某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份
x的近似关系是：
P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)
(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；
(2)若第x月的销售量g(x)＝

(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润
达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403)
解　(1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39.
当x≥2时，
f(x)＝P(x)－P(x－1)
＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)
＝3x(14－x)．
∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．(5分)
(2)设月利润为h(x)，
h(x)＝q(x)·g(x)
＝
h′(x)＝(9分)
∵当1≤x≤6时，h′(x)≥0，
当6＜x＜7时，h′(x)＜0，
∴当1≤x＜7且x∈N*时，h(x)max＝30e6≈12 090，(11分)
∵当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0，
∴当7≤x≤12且x∈N*时，h(x)max＝h(8)≈2 987.
综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最[pic]大月利润约为12 090元．(14分)
4．如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连<