倒数第3天　附加题选做部分
[保温特训]
1．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：
(1)∠AED＝∠AFD；
(2)AB2＝BE·BD－AE·AC.
证明　(1)连接AD.
因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.
又EF⊥AB，∠EFA＝90°，
则A，D，E，F四点共圆．
所以∠AED＝∠AFD.
(2)由(1)知，BD·BE＝BA·BF.
连接BC，显然△ABC∽△AEF，
所以＝，
即AB·AF＝AE·AC，
所以BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝[pic]AB(BF－AF)＝AB2.
2．如图，圆O的直径AB＝4，C为圆周上一点，BC＝2，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆O交
于点D，E，求线段AE的长．
解　在Rt△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60°，
因为l为过点C的切线，所以∠DCA＝∠ABC＝60°.
又因为AD⊥DC，所以∠DAC＝30°.
连接OE，在△AOE中，
因为∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA，
所以AE＝AO＝AB＝2.
3．求矩阵的特征值及对应的特征向量．
解　特征多项式f(λ)＝＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3
由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3，
将λ1＝1代入特征方程组，得=>x＋y＝0，
可取为属于特征值λ1＝[pic]1的一个特征向量；
同理，当λ2＝3时，由=>x－y＝0，
所以可取为属于特征值λ2＝3的一个特征向量．
综上所述，矩阵有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；
属于λ1＝1的[pic]一个特征向量为，属于λ2＝3的一个特征向量为.
4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a，b的
值．
解　在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2,0)，B(0，－2)．
A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′，B′.
因为＝，所以点A′的坐标为(－2，－2b)；＝，所以B′的坐标为(－2a，－8)．
由题意，A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，
所以
解得a＝2，b＝3.
5．在极坐标系中，圆C的[pic]方程为ρ＝2sin，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直[pic]
线l的参数方程为(t为参数)，判断直线l和圆C的位置关系．
[pic]解　消去参数t，得直线l的直角坐标[pic]方程为y＝2x＋1；
ρ＝2，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，[pic]
两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsi[pic]n θ＋ρcos θ)，
得⊙C的直角坐标方程为：(x－1)2＋(x－1)2＝2，
圆心C到直线l的距离d＝＝＜，所以直线l和⊙C相交．
6．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l的参数方程是(t为参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．
解　(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ.
又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程，
得y＝－(x－2)．
令y＝0，得x＝2，即M点的坐标为(2,0)．
又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，
半径r＝1，则MC＝，
所以MN≤MC＋r＝＋1，即MN的最大值为＋1.
7．解不等式|2x－4|＜4－|x|.
解　当x＞2时，原不等式同解于2x－4＜4－x，解得x＜，所以2＜x＜；
当0≤x≤2时，原不等式同解于4－2x＜4－x，解得x＞0，所以0＜x≤2；
当x＜