第一卷（选择题，共36分）

一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．的相反数是（ C ）

A． B． C． D．

［解析］考查相反数，前面加个负号即可，故选　C。

2．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（ A ）

［解析］B不是轴对称图形，C、D都有2条对称轴。

3．2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（ D ）

A．1.2×10-9米 B．1.2×10-8米 C．12×10-8米 D．1.2×10-7米

［解析］科学记数法写成：形式，其中，再数小数位知，选D＞

4．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ C ）

A．■、●、▲ B．▲、■、●

C．■、▲、●　 D．●、▲、■

解析：

5．把右图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（ B ）

［解析］两个全等的三角形，再侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱，一个底面相邻可以是三个长方形，只有B。

6．下列说法正确的是（ D ）

A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

［解析］由矩形的性质可知，只有D正确。平行四边形的对角线是互相平行，菱形的对角线互相平分且垂直，故A、C错，等腰梯形的对角线相等B也错。

7．如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（ C ）

A． B．12mm

C． D．

解析 ：画出正六边形，如图，通过计算　可知，ON＝3，MN＝6，选C。

8．朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还差3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？（ B ）

A．4个 B．5个 C．10个 D．12个

［解析］（x个朋友，3x-3=2x+2,x=5）

9．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60º，又从A点测得D点的俯角β为30º，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ A ）

A．20米 B．米 C．米 D．米

［解析］GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot∠ACB=30×cot60º=10米，DF=AF•tan30º=10×=10米，

CD=AB-DF=30-10=20米。

10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ B ）

A． B． C． D．

［解析］OA=4，OB=3，AB=5，△BDH∽△BOA，

BD/AB=BH/OB=DH/OA，6/5=BH/3，BH=18/5，

AH=AB-BH=5-18/5=7/5，△AGH∽△ABO，

GH/BO=AH/AO，GH/3=7/5 / 4，GH=21/20。

11．“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（ D ）

A． B． C． D．

解析：

上表中共有20种可能的组合，相同组合（同种颜色表示相同组合）只算一种，余10种组合，其中1男1女的组合有6组，所以一男一女的概率=6/10=3/5.

12．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式AM=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=（ C ）

A．（45，77） B．（45，39） C．（32，46） D．（32，23）

［解析］第1组的第一个数为1，第2组的第一个数为3，第3组的第一个数为9，第4组的第一个数为19，第5组的第一个数为33……将每组的第一个数组成数列：1，3，9，19，33…… 分别计作a1,a2,a3,a4,a5……an， an表示第n组的第一个数，

a1 =1

a2 = a1+2

a3 = a2+2+4×1

a4 = a3+2+4×2

a5 = a4+2+4×3

……

an = an-1+2+4×(n-2)

将上面各等式左右分别相加得：

a n =1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n2-4n+3 (上面各等式左右分别相加时，抵消了相同部分a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …… + a n-1)，

当n=45时，a n = 3873 > 2013 ,2013不在第45组

当n=32时，a n = 1923 < 2013 ,(2013-1923)÷2+1=46,　　　A2013=(32,46).

如果是非选择题：则2n2-4n+3≤2013，2n2-4n-2010≤0，假如2013是某组的第一个数，则2n2-4n-2010=0，解得n=1+ ,

31<<32,32<n<33, 2013在第32组，但不是第32组的第一个数，a32=1923, (2013-1923)÷2+1=46.

(注意区别an和An)

第二卷（非选择题，共114分）

二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。将答案填写在答题卡相应的横线上。

13．因式分解：= x2y2(y+x) (y-x) 。

［解析］提取公因式x2y2，再用平方差公式。

14．如图，AC、BD相交于O，AB//DC，AB=BC，∠D=40º，∠ACB=35º，则∠AOD= 75º 。

［解析］∠ABO＝∠D=40º，∠A＝∠ACB=35º，∠AOD=∠A＋∠ABO=75º

15．如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是（3，3）。

［解析］依题，可建立平面直角坐标系，如下图：

平移后可得右眼B（3,3）

16．对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为 14 。

［解析］连接AC，四边形ABCD是正方形，

AC⊥BD，E、F分别BC、CD的中点，EF//BD，AC⊥EF，CF=CE，△EFC是等腰直角三角形，直线AC是△EFC底边上的高所在直线，根据等腰三角形“三线合一”，AC必过EF的中点G，点A、O、G和C在同一条直线上，OC=OB=OD，OC⊥OB，FG是△DCO的中位线，OG=CG= OC, M、N分别是OB、OD的中点，OM=BM= OB，ON=DN= OD，OG=OM=BM=ON=DN= BD，等腰直角三角形GOM的面积为1，OM•OG=OM2=1，OM=,BD=4 OM=4,2AD2= BD2=32,AD=4,图2中飞机面积图1中多边形ABEFD的面积，飞机面积=正方形ABCD面积-三角形CEF面积=16-2=14。

17．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程，则△ABC的周长是 10 。

［解析］△=(-3)2-32≥0, ≤k<5,k为整数，k=4,x2-6x+8=0,x=2或4，

△ABC的边长为2、4，则只能是等腰三角形，2+2≮4，以2、2、4为边长不能构成三角形；4-4<2,4+4>2，以4、4、2为边长能构成等腰三角形，所以△ABC的周长=4+4+2=10。

18．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n＜；④3|a|+|c|＜2|b|。其中正确的结论是 ① ③ ④ （写出你认为正确的所有结论序号）.

［解析］抛物线开口向下，a <0, 2a<0,对称轴x= >1,-b<2a ,2a+b>0 ，①正确； -b<2a ,b>-2a>0>a ,令抛物线的解析式为y=- x2 +bx- ,此时，a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为 和2，

则（+2）/2=-b/(- ),b= , 抛物线y=- x2 + x- 符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c（其实a>c,a<c,a=c都有可能），②错误；-1＜m＜n＜1，-2<m+n<2,抛物线的对称轴为x= >1，>2，m+n<，③正确； 当x=1时，a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0,

3a+c>-2b, -3a-c<2b , a<0 , c<0 , b>0 ,

3|a|+|c|=-3a-c<2b=2|b|,④正确。

三．解答题：本大题共7个小题，共90分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。

19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）

（1）计算：；

解： 原式= - +|1- |×2(+1)

= - +(-1) ×2(+1)

= - +2[（）2 -12]

= 2-

=

（2）解方程：

解： =

x+2 = 3

x = 1

经检验，x = 1是原方程的增根，原方程无解。

20．（本题满分12分）

为了从甲．乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：

图1 甲、乙射击成绩统计表

图2 甲、乙射击成绩折线图

（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；

（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；

答：甲胜出。因为S甲2 <S乙2（甲的方差小于乙的方差），甲的成绩较稳定。

（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？

答：如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：平均成绩高的胜出；如果平均成绩相同，则随着比赛的进行，发挥越来越好者或命中满环（10环）次数多者胜出。因为甲乙的平均成绩相同，乙只有第5次射击比第四次射击少命中1环，且命中1次10环，而甲第2次比第1次、第4次比第3次，第5次比第4次命中环数都低，且命中10环的次数为0次，即随着比赛的进行，乙的射击成绩越来越好。

21．（本题满分12分）

如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE。

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若E是 的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积。

解（1）直线CD与⊙O相切。

证明：连结AC，OA=OC，

∠OAC=∠OCA，

AC平分∠DAB，∠DAC=∠OAC，

∠DAC=∠OCA，AD//OC，AD⊥CD，OC⊥CD，CD与⊙O相切。

（2）连结OE，， 点E是 的中点，

，∠DAC=∠ECA（相等的弧所对的圆周角相等），

∠DAC=∠OAC（（1）中已证），∠ECA=∠OAC，CE//OA，AD//OC，

四边形AOCE是平行四边形，CE=OA，AE=OC， OA=OC=OE=1，

OC=OE=CE=OA=AE=1，四边形AOCE是菱形，△OCE是等边三角形，

∠OCE=60º，∠OCD=90º，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90º-60º=30º，

AD⊥CD，在Rt△DCE中，ED= CE = ,DC=cos30º•CE= ,

CE弧与CE弦所围成部分的面积 = AE弧与AE弦所围成部分的面积，

S阴影=S△DCE=•ED•DC=××= .

答：图中阴影部分的面积为。

22．（本题满分12分）

如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F。

（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；

（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值。

解：（1）OABC为矩形,AB=OC=4，点E是

AB的中点，AE=2，OA=2，，

点E（2，2）在双曲线y=上，

k=2×2=4 ,点F在直线BC及双

曲线y= ，设点F的坐标为（4，f）,f= =1,

所以点F的坐标为（4，1）.

(2)①证明：△DEF是由△BEF沿EF对折得到的，

∠EDF=∠EBF=90º，点D在直线OC上，

∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º，

∠DGE=∠FCD=90º，∠GDE+∠GED=90º，∠CDF=∠GED，

△EGD∽△DCF；

② 设点E的坐标为（a ,2）, 点F的坐标为（4,b）,点E、F在双曲线y=上，k=2a=4b,a=2b,所以有点E（2b,2）, AE=2b,AB=4,

ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b,

DC===2,

△EGD∽△DCF,= ,= ,b= ,

有点F（4，），k = 4×= 3.

23．（本题满分12分）

“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。

（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？

（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

解：（1）设前4个月自行车销量的月平均增长率为x ,

根据题意列方程：64（1+x）2 =100 ,

解得x=-225%（不合题意，舍去）, x= 25%

100×(1+25%)=125(辆) 答：该商城4月份卖出125辆自行车。

（2）设进B型车x辆，则进A型车辆，

根据题意得不等式组 2x≤≤2.8x ，

解得 12.5≤x≤15,自行车辆数为整数，所以13≤x≤15,

销售利润W=（700-500）×+（1300-1000）x .

整理得：W=-100x+12000， ∵ W随着x的增大而减小,

∴ 当x=13时，销售利润W有最大值，

此时，=34，

所以该商城应进入A型车34辆，B型车13辆。

24．（本题满分12分）

如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。

（1）求二次函数的解析式和B的坐标；

（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

解：（1）①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为（0，-2），c = -2 , - , b=0 ,

点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2；

②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为（1，0）；

（2）∠BOC=∠PDB=90º，点P在直线x=m上，

设点P的坐标为（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，

①当△BOC∽△PDB时，,,p= 或p = ,

点P的坐标为（m，）或（m，）；

②当△BOC∽△BDP时， ，，p=2m-2或p=2-2m,

点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；

综上所述点P的坐标为（m，）、（m，）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；

（3）不存在满足条件的点Q。

点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，

令点Q的坐标为（x, 2x2-2），x>1, 过点Q作QE⊥直线l ,

垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB，

∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD，

① 当P的坐标为（m，）时，

m-x = ， m=0 m=1

2x2-2- = m-1, x= x=1

与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；

② 当P的坐标为（m，）时，

x-m= m=- m=1

2x2-2- = m-1, x=- x=1

与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；

③ 当P的坐标为（m，2m-2）时，

m-x =2m-2 m= m=1

2x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1

与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；

④当P的坐标为（m，2-2m）时，

x- m = 2m-2 m= m=1

2x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1

与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；

综上所述，不存在满足条件的点Q。

25．（本题满分14分）

我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；

（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值。

解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。

∵点O是△ABC的重心，

∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD， AC // PD，

∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，

△OPD∽△CA，= = , = ,∴；

（2）点O是是△ABC的重心。

证明：如图2，作△ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证明可知 ，而 ，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心；

（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别与AC、AB交于点M、N，

∵点O是△ABC的重心，

∴ = ， = ,

∵ 在△ABE中，OM//AB，= = ，OM = AB，

在△ACF中，ON//AC，= = ，ON = AC，

在△AGH中，OM//AH，= ，

在△ACH中，ON//AH，= ，

∴ + = +=1， + =1, + = 3 ,

令= m , = n , m=3-n,

∵ = ,

= =

= -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- )2 + ,

∴ 当 = n = ，GH//BC时， 有最大值 。

附：或 的另外两种证明方法的作图。

方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。

方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。

下面的图解也能说明问题：