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一、选择题（本大题共12小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共36分）
1．（3分）（2013•荆门）﹣6的倒数是（ ）
A． 6 B． ﹣6 C．
D． ﹣
考点： 倒数．
分析： 根据倒数的定义求解．
解答： 解：﹣6的倒数是﹣．
故选D．
点评： 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）（2013•荆门）小明上网查得H7N9禽流感病毒的直径大约是0.00000008米，用科学记数法表示为（ ）
A． 0.8×10﹣7米 B． 8×10﹣7米 C． 8×10﹣8米 D． 8×10﹣9米
考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答： 解：0.00000008米用科学记数法表示为8×10﹣8米．
故选C．
点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2013•荆门）过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的俯视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可作出判断．
解答： 解：所给图形的俯视图是B选项所给的图形．
故选B．
点评： 本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．
4．（3分）（2013•荆门）下列运算正确的是（ ）
A． a8÷a2=a4 B． a5﹣（﹣a）2=﹣a3 C． a3•（﹣a）2=a5 D． 5a+3b=8ab
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析： A、根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；
B、D合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；
C、同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
对各选项计算后利用排除法求解．
解答： 解：A、a8÷a2=a（8﹣2）=a6．故本选项错误；
B、a5﹣（﹣a）2=﹣a5+a2．故本选项错误；
C、a3•（﹣a）2=a3•a2=a（3+2）=a5．故本选项正确；
D、5a与3b不是同类项，不能合并．故本选项错误；
故选C．
点评： 本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
5．（3分）（2013•荆门）在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示．对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ）
A． 众数是90 B． 中位数是90 C． 平均数是90 D． 极差是15
考点： 折线统计图；算术平均数；中位数；众数；极差．
分析： 根据众数、中位数、平均数、极差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
解答： 解：∵90出现了5次，出现的次数最多，
∴众数是90；
∵共有10个数，
∴中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数是（90+90）÷2=90；
∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10=89；
极差是：95﹣80=15；
∴错误的是C；
故选C．
点评： 此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、极差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、极差．
6．（3分）（2013•荆门）若反比例函数y=
的图象过点（﹣2，1），则一次函数y=kx﹣k的图象过（ ）
A． 第一、二、四象限 B． 第一、三、四象限 C． 第二、三、四象限 D． 第一、二、三象限
考点： 一次函数图象与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 首先利用反比例函数图象上点的坐标特征可得k的值，再根据一次函数图象与系数的关系确定一次函数y=kx﹣k的图象所过象限．
解答： 解：∵反比例函数y=的图象过点（﹣2，1），
∴k=﹣2×1=﹣2，
∴一次函数y=kx﹣k变为y=﹣2x+2，
∴图象必过一、二、四象限，
故选：A．
点评： 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，以及一次函数图象与系数的关系，关键是掌握一次函数图象与系数的关系：
①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
7．（3分）（2013•荆门）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A． 3种 B． 4种 C． 5种 D． 6种
考点： 平行四边形的判定．
分析： 根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
解答： 解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
故选：B．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
8．（3分）（2013•荆门）若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是（ ）
A． l=2r B． l=3r C． l=r D．
考点： 圆锥的计算．
分析： 根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长有2π•r=π•l，即可得到r与l的比值．
解答： 解：∵圆锥的侧面展开图是半圆，
∴2π•r=π•l，
∴r：l=1：2．
则l=2r．
故选A．．
点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长．
9．（3分）（2013•荆门）若关于x的一元一次不等式组
有解，则m的取值范围为（ ）
A．
B． m≤
C．
D． m≤
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 先求出两个不等式的解集，再根据有解列出不等式组求解即可．
解答： 解：，
解不等式①得，x＜2m，
解不等式②得，x＞2﹣m，
∵不等式组有解，
∴2m＞2﹣m，
∴m＞．
故选C．
点评： 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
10．（3分）（2013•荆门）在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（ ）
A． （3，4） B． （﹣4，3） C． （﹣3，4） D． （4，﹣3）
考点： 坐标与图形变化-旋转．
专题： 数形结合．
分析： 如图，把线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置看作是把Rt△OPA绕点O逆时针旋转90°到RtOP′A′，再根据旋转的性质得到OA′、P′A′的长，然后根据第二象限点的坐标特征确定P′点的坐标．
解答： 解：如图，OA=3，PA=4，
∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，
∴OA旋转到x轴负半轴OA′的位置，∠P′A′0=∠PAO=90°，P′A′=PA=4，
∴P′点的坐标为（﹣3，4）．
故选C．
点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：在直角坐标系中线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转，然后利用旋转的性质求出相应的线段长，再根据点的坐标特征确定点的坐标．
11．（3分）（2013•荆门）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．
分析： 首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．
解答： 解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，
∴OD=AD=OA•cos45°=
×1=，
∴BD=OB﹣OD=1﹣，
∴AB=
=
，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，AC=2，
∴sinC=
．
故选B．
点评： 此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
12．（3分）（2013•荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 动点问题的函数图象．
分析： 分三段考虑，①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．
解答： 解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；
②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；
③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；
结合选项可得，A选项的图象符合．
故选A．
点评： 本题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）（2013•荆门）分解因式：x2﹣64= （x+8）（x﹣8） ．
考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 计算题．
分析： 因为x2﹣64=x2﹣82，所以利用平方差公式分解即可．
解答： 解：x2﹣64=（x+8）（x﹣8）．
故答案为：（x+8）（x﹣8）．
点评： 此题考查了平方差公式分解因式的方法．解题的关键是熟记公式．
14．（3分）（2013•荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为 80°或50° ．
考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
分析： 已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
解答： 解：当该角为顶角时，顶角为50°；
当该角为底角时，顶角为80°．
故其顶角为50°或80°．
故填50°或80°．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
15．（3分）（2013•荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=
，则DE= 
．
考点： 解直角三角形；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
分析： 在Rt△ABC中，先求出AB，AC继而得出AD，再由△ADE∽△ACB，利用对应边成比例可求出DE．
解答： 解：∵BC=6，sinA=，
∴AB=10，
∴AC=
=8，
∵D是AB的中点，
∴AD=
AB=5，
∵△ADE∽△ACB，
∴
=
，即
=
，
解得：DE=
．
故答案为：．
点评： 本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股定理的表达式．
16．（3分）（2013•荆门）设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则
= 2014 ．
考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解．
分析： 由原方程可以得到x2=x+2013，x=x2﹣2013=0；然后根据一元二次方程解的定义知，x12=x1+2013，x1=x12﹣2013=0．由根与系数的关系知x1+x2=1，所以将其代入变形后的所求代数式求值．
解答： 解：∵x2﹣x﹣2013=0，
∴x2=x+2013，x=x2﹣2013=0．
又∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，
∴x1+x2=1，
∴
=x1•
+2013x2+x2﹣2013，
=x1•（x1+2013）+2013x2+x2﹣2013，
=（x1+2013）+2013x1+2013x2+x2﹣2013，
=x1+x2+2013（x1+x2）+2013﹣2013，
=1+2013，
=2014，
故答案是：2014．
点评： 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．对所求代数式的变形是解答此题的难点．
17．（3分）（2013•荆门）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= 9 ．
考点： 抛物线与x轴的交点．
分析： 首先，由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣
时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c；
其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（﹣﹣3，n），B（﹣
+3，n）；
最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=
b2+c+9，所以把b2=4c代入即可求得n的值．
解答： 解：∵抛物线y=x2+bx+cx轴只有一个交点，
∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．
又∵点A（m，n），B（m+6，n），
∴点A、B关于直线x=﹣对称，
∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）
将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=
b2+c+9
∵b2=4c，
∴n=×4c+c+9=9．
故答案是：9．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题（本大题共7小题，共69分）
18．（8分）（2013•荆门）（1）计算：
（2）化简求值：
，其中
．
考点： 分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： （1）分别根据0指数幂、有理数乘方的法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
解答： 解：（1）原式=1+2﹣1﹣
×
=﹣1
（2）原式=
当a=
﹣2时，原式=
．
点评： 本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．（9分）（2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可．
解答： 证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；
（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键．
20．（10分）（2013•荆门）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：
（1）求三辆车全部同向而行的概率；
（2）求至少有两辆车向左转的概率；
（3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为
，向左转和直行的频率均为
．目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿
灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
考点： 列表法与树状图法．
分析： （1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由（1）中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（3）由汽车向右转、向左转、直行的概率分别为
，即可求得答案．
解答： 解：（1）分别用A，B，C表示向左转、直行，向右转；
根据题意，画出树形图：
∵共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况，
∴P（三车全部同向而行）=
；
（2）∵至少有两辆车向左转的有7种情况，
∴P（至少两辆车向左转）=
；
（3）∵汽车向右转、向左转、直行的概率分别为
，
∴在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下：
左转绿灯亮时间为90×
=27（秒），直行绿灯亮时间为90×=27（秒），右转绿灯亮的时间为90×
=36（秒）．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（10分）（2013•荆门）A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
分析： 首先过C作CD⊥AB与D，由题意得：∠ACD=α，∠BCD=β，即可得在Rt△ACD中，AD=CD•tanα，在Rt△BCD中，BD=CD•tanβ，继而可得CD•tanα+CD•tanβ=AB，则可求得CD的长，即可知连接AB高速公路是否穿过风景区．
解答： 解：AB不穿过风景区．理由如下：
如图，过C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠ACD=α，∠BCD=β，
则在Rt△ACD中，AD=CD•tanα，在Rt△BCD中，BD=CD•tanβ，
∵AD+DB=AB，
∴CD•tanα+CD•tanβ=AB，
∴CD=
=
（千米）．
∵CD=50＞45，
∴高速公路AB不穿过风景区．
点评： 此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
22．（10分）（2013•荆门）为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．
人均住房面积（平方米） 单价（万元/平方米）
不超过30（平方米） 0.3
超过30平方米不超过m（平方米）部分（45≤m≤60） 0.5
超过m平方米部分 0.7
根据这个购房方案：
（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；
（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；
（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60 时，求m的取值范围．
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）根据房款=房屋单价×购房面积就可以表示出应缴房款；
（2）由分段函数当0≤x≤30，当30＜x≤m时，当x＞m时，分别求出Yy与x之间的表达式即可；
（3）当50≤m≤60和当45≤m＜50时，分别讨论建立不等式组就可以求出结论．
解答： 解：（1）由题意，得
三口之家应缴购房款为：0.3×90+0.5×30=42（万元）；
（2）由题意，得
①当0≤x≤30时，y=0.3×3x=0.9x
②当30＜x≤m时，y=0.9×30+0.5×3×（x﹣30）=1.5x﹣18
③当x＞m时，y=0.3×30+0.5×3（m﹣30）+0.7×3×（x﹣m）=2.1x﹣18﹣0.6m
∴y=
（3）由题意，得
①当50≤m≤60时，y=1.5×50﹣18=57（舍）．
②当45≤m＜50时，y=2.1×50 0.6m﹣18=87﹣0.6m．
∵57＜y≤60，
∴57＜87﹣0.6m≤60，
∴45≤m＜50．
综合①②得45≤m＜50．
点评： 本题考查了房款=房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，求分段函数的解析式的运用，建立不等式组求解的运用，解答本题时求出函数额解析式是关键．
23．（10分）（2013•荆门）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．
（1）求证：OF∥BE；
（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）首先证明Rt△FAO≌Rt△FEO进而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案；
（2）过F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y与x之间的函数关系，根据M是BC中点以及BC=2，即可得出BP的取值范围；
（3）首先得出当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，求出y=AF=OA•tan30°=
，即可得出答案．
解答： （1）证明：连接OE
FE、FA是⊙O的两条切线
∴∠FAO=∠FEO=90°
在Rt△OAF和Rt△OEF中，
∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），
∴∠AOF=∠EOF=
∠AOE，
∴∠AOF=∠ABE，
∴OF∥BE，
（2）解：过F作FQ⊥BC于Q
∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y
PF=EF+EP=FA+BP=x+y
∵在Rt△PFQ中
∴FQ2+QP2=PF2
∴22+（x﹣y）2=（x+y）2
化简得：
，（1＜x＜2）；
（3）存在这样的P点，
理由：∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，
即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此时Rt△AFO中，
y=AF=OA•tan30°=，
∴
∴当
时，△EFO∽△EHG．
点评： 此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出FQ2+QP2=PF2是解题关键．
24．（12分）（2013•荆门）已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）
（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；
（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．
（平面内两点间的距离公式
）．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）先将k=1，m=0分别代入，得出二次函数的解析式为y=x2，直线的解析式为y=x+1，联立
，得x2﹣x﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C，证明△ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理得出AB=
AC，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=
；同理，当k=1，m=1时，AB=
；
（2）当k=1，m为任何值时，联立
，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，同（1）可求出AB=；
（3）当m=0，k为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由
，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，联立
，得x2﹣x﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=﹣1，同（1）求出AB=，则AB2=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出OA2+OB2=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形；③当k为任意实数时，联立
，得x2﹣kx﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=k，x1•x2=﹣1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB2=k4+5k2+4，OA2+OB2═k4+5k2+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形．
解答： 解：（1）当k=1，m=0时，如图．
由
得x2﹣x﹣1=0，
∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．
∵直线AB的解析式为y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=
AC=|x2﹣x1|=
=
；
同理，当k=1，m=1时，AB=；
（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：
由
，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，
∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，
∴AB=
AC=|x2﹣x1|=
=
；
（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：
①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，
由
，得A（﹣1，1），B（1，1），
显然△AOB为直角三角形；
②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，
由
，得x2﹣x﹣1=0，
∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，
∴AB=AC=
|x2﹣x1|=
=
，
∴AB2=10，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2
=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）
=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2
=2（1+2）+2×1+2
=10，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形；
③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．
由
，得x2﹣kx﹣1=0，
∴x1+x2=k，x1•x2=﹣1，
∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2
=（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2
=（1+k2）（x1﹣x2）2
=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1•x2]
=（1+k2）（4+k2）
=k4+5k2+4，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2
=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）
=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2
=（1+k2）（k2+2）+2k•k+2
=k4+5k2+4，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB为直角三角形．
点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一元二次方程根与系数的关系，平面内两点间的距离公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定难度．本题对式子的变形能力要求较高，体现了由特殊到一般的思想．
