一、选择题（12小题，每小题3分）

1．（3分）（2013•眉山）﹣2的倒数是（　　）

A． 2 B． C． ﹣ D． ﹣0.2

考点： 倒数．

专题： 计算题．

分析： 根据乘积为1的两数互为倒数，即可得出答案．

解答： 解：﹣2的倒数为﹣．

故选C．

点评： 此题考查了倒数的定义，属于基础题，关键是掌握乘积为1的两数互为倒数．

2．（3分）（2013•眉山）下列计算正确的是（　　）

A． a4+a2=a6 B． 2a•4a=8a C． a5÷a2=a3 D． （a2）3=a5

考点： 单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．

专题： 计算题

分析： A、原式不能合并，错误；

B、利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断；

C、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；

D、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．

解答： 解：A、原式不能合并，错误；

B、2a•4a=8a2，本选项错误；

C、a5÷a2=a3，本选项正确；

D、（a2）3=a6，本选项错误，

故选C

点评： 此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．（3分）（2013•眉山）某市地铁一号与地铁二号线接通后，该市交通通行和转换能力成倍增长，该工程投资预算约为930000万元，这一数据用科学记数法表示为（　　）

A． 9.3×105万元 B． 9.3×106万元 C． 0.93×106万元 D． 9.3×104万元

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：将930000用科学记数法表示为9.3×105．

故选B．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）（2013•眉山）下列图形是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

考点： 中心对称图形．

分析： 根据中心对称的定义，结合所给图形进行判断即可．

解答： 解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误；

故选B．

点评： 本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

5．（3分）（2013•眉山）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（　　）

A． 9 B． 10 C． 11 D． 12

考点： 多边形内角与外角．

分析： 利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．

解答： 解：360°÷36°=10，

则这个正多边形的边数是10．

故选B．

点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容，要求同学们掌握多边形的外角和为360°．

6．（3分）（2013•眉山）下列命题，其中真命题是（　　）

A． 方程x2=x的解是x=1

B． 6的平方根是±3

C． 有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等

D． 连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形

考点： 命题与定理

分析： 根据一元二次方程的解、平方根的定义、全等三角形的判定和平行四边形的判定分别对每一项进行分析，即可得出答案．

解答： 解：A、方程x2=x的解是x=1或0，故原命题是假命题；

B、6的平方根是±，故原命题是假命题；

C、有两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，故原命题是假命题；

D、连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形，故原命题是真命题；

故选：D．

点评： 此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

7．（3分）（2013•眉山）如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2，1，依此画出图形即可求出答案．

解答： 解：左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2，1；

依此画出图形．

故选D．

点评： 此题主要考查了画三视图的知识，用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．

8．（3分）（2013•眉山）王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表：

则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（　　）

A． 极差是13% B． 众数是25% C． 中位数是25% D． 平均数是26.2%

考点： 极差；加权平均数；中位数；众数

分析： 根据极差、众数、中位数、平均数的定义求解即可．

解答： 解：由表格可知，极差为：32%﹣20%=12%，

众数为：25%，

中位数为：25%，

平均数为：=26.2%，

故选A．

点评： 本题考查了极差、众数、中位数、平均数的知识，属于基础题，解题的关键是掌握各知识点的定义．

9．（3分）（2013•眉山）用一圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是（　　）

A． 1cm B． 2cm C． 3cm D． 4cm

考点： 圆锥的计算．

分析： 利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．

解答： 解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得

2πr=，

解得r=2cm．

故选B．

点评： 本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．

10．（3分）（2013•眉山）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． C． D．

考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

专题： 计算题．

分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

解答： 解：，由①得，x＜4；由②得，x≥3，

故此不等式组的解集为：3≤x＜4，

在数轴上表示为：

故选D．

点评： 本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

11．（3分）（2013•眉山）若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

考点： 一次函数图象与系数的关系．

专题： 存在型．

分析： 先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．

解答： 解：∵a+b+c=0，且a＜b＜c，

∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），

∵a＜0，

∴函数y=cx+a的图象与y轴负半轴相交，

∵c＞0，

∴函数y=cx+a的图象经过第一象限，

∴函数y=cx+a的图象经过第一、三、四象限．

故选C．

点评： 本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．

12．（3分）（2013•眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：

①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，

其中正确的有（　　）个．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

分析： 根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；

如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定②错误；

先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；

先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代换后判定④正确．

解答： 解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，

∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．

在△AED与△AEF中，

，

∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；

②∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABE=∠C=45°．

∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，

∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，

∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，

∴∠BAE与∠CAD不一定相等，

∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；

③∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF．

在△ACD与△ABF中，

，

∴△ACD≌△ABF（SAS），

∴CD=BF，

由①知△AED≌△AEF，

∴DE=EF．

在△BEF中，∵BE+BF＞EF，

∴BE+DC＞DE，③正确；

④由③知△ACD≌△ABF，

∴∠C=∠ABF=45°，

∵∠ABE=45°，

∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．

在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，

∵BF=DC，EF=DE，

∴BE2+DC2=DE2，④正确．

所以正确的结论有①③④．

故选C．

点评： 本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．

二、填空题（6小题，每小题3分）

13．（3分）（2013•眉山）函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠2　．

考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．

专题： 计算题．

分析： 求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．

解答： 解：x﹣2≠0，解得x≠2．

点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．

14．（3分）（2013•眉山）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为　16　．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 根据题意可判定△AEF∽△ABC，利用面积比等于相似比平方可得出△ABC的面积，继而根据S四边形EBCF=S△ABC﹣S△AEF，即可得出答案．

解答： 解：∵，

∴EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴=（）2=（）2=，

∴S△ABC=18，

则S四边形EBCF=S△ABC﹣S△AEF=18﹣2=16．

故答案为：16．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明△AEF∽△ABC，要求同学们熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比平方．

15．（3分）（2013•眉山）为筹备班级里的新年晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买什么水果，该由调查数据的　众数决定（在横线上填写：平均数或中位数或众数）．

考点： 统计量的选择．

分析： 班长最值得关注的应该是哪种水果爱吃的人数最多，即众数．

解答： 解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．

故答案为：众数．

点评： 此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

16．（3分）（2013•眉山）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=　9　．

考点： 根与系数的关系．

分析： 根据x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子变形为αβ+3（α+β）+9，最后把α+β和αβ的值代入，计算即可．

解答： 解：∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，

∴α+β=1，αβ=﹣3，

∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9；

故答案为：9．

点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

17．（3分）（2013•眉山）如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为　π　．（结果保留π）

考点： 扇形面积的计算．

分析： 先根据三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB的度数，再由△OBD、△OCE是等腰三角形得出∠BDO+∠CEO的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOD+∠COD的度数，再根据扇形的面积公式即可得出结论．

解答： 解：∵△ABC中，∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°，

∵△OBD、△OCE是等腰三角形，

∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，

∴∠BOD+∠COE=360°﹣（∠BDO+∠CEO）﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣120°﹣120°=120°，

∵BC=4，

∴OB=OC=2，

∴S阴影==π．

故答案为：π．

点评： 本题考查的是扇形面积的计算，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件，要求同学们掌握扇形的面积公式．

18．（3分）（2013•眉山）如图，在函数y1=（x＜0）和y2=（x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S△AOC=，S△BOC=，则线段AB的长度=　　．

考点： 反比例函数系数k的几何意义．

专题： 计算题．

分析： 根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义易得两反比例解析式为y=﹣，y=，设B点坐标为（，t）（t＞0），则可表示出A点坐标为（﹣，t），然后证明Rt△AOC∽Rt△OBC，得到OC：BC=AC：BC，即t：=：t，解得t=，再确定A、B点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段AB的长．

解答： 解：∵S△AOC=，S△BOC=，

∴|k1|=，|k2|=，

∴k1=﹣1，k2=9，

∴两反比例解析式为y=﹣，y=，

设B点坐标为（，t）（t＞0），

∵AB∥x轴，

∴A点的纵坐标为t，

把y=t代入y=﹣得x=﹣，

∴A点坐标为（﹣，t），

∵OA⊥OB，

∴∠AOC=∠OBC，

∴Rt△AOC∽Rt△OBC，

∴OC：BC=AC：BC，即t：=：t，

∴t=，

∴A点坐标为（﹣，），B点坐标为（3，），

∴线段AB的长度=3﹣（﹣）=．

故答案为．

点评： 本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

三、计算题（2小题，每小题6分）

19．（6分）（2013•眉山）计算：2cos45°﹣+（﹣）﹣1+（π﹣3.14）0．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

分析： 分别进行特殊角的三角函数值、二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．

解答： 解：原式=2×﹣4﹣4+1=﹣7．

点评： 本题考查了实数的运算，涉及了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂等知识，属于基础题．

20．（6分）（2013•眉山）先化简，再求值：，其中．

考点： 分式的化简求值

专题： 计算题．

分析： 这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．

解答： 解：原式=+（x﹣2）（3分）

=x（x﹣1）+（x﹣2）=x2﹣2；（2分）

当x=时，则原式的值为﹣2=4．（2分）

点评： 分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．

21．（8分）（2013•眉山）如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）

（2）作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C；

（3）在（2）的条件下直接写出点B旋转到B2所经过的路径的长．（结果保留π）

考点： 作图-旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换．

专题： 作图题．

分析： （1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转90°后的A2、B2的位置，然后顺次连接即可；

（3）利用勾股定理列式求出BC的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．

解答： 解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）△A2B2C如图所示；

（3）根据勾股定理，BC==，

所以，点B旋转到B2所经过的路径的长==π．

点评： 本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

22．（8分）（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．

（1）求加固后坝底增加的宽度AF；

（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）

考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

专题： 应用题．

分析： （1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的长．

（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．

解答：

解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H． （1分）

∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，

∴DH平行等于EG． （2分）

故四边形EGHD是矩形． （3分）

∴ED=GH． （4分）

在Rt△ADH中，

AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）． （5分）

在Rt△FGE中，

i==，

∴FG=EG=10（米）． （6分）

∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7（米）；（7分）

（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长（8分）

=×（3+10﹣7）×10×500

=25000﹣10000（立方米）． （9分）

答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（10﹣7）米；

（2）完成这项工程需要土石（25000﹣10000）立方米． （10分）

点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．

五、（2个小题，每小题9分）

23．（9分）（2013•眉山）我市某中学艺术节期间，向学校学生征集书画作品．九年级美术李老师从全年级14个班中随机抽取了A、B、C、D 4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．

（1）李老师采取的调查方式是　抽样调查　（填“普查”或“抽样调查”），李老师所调查的4个班征集到作品共　12　件，其中B班征集到作品　3　，请把图2补充完整．

（2）如果全年级参展作品中有4件获得一等奖，其中有2名作者是男生，2名作者是女生．现在要在抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）

考点： 条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．

专题： 计算题．

分析： （1）根据题意得到此次调查为抽样调查，用C的度数除以360度求出所占的百分比，由C的件数除以所占的百分比即可得到调查的总件数；进而求出B的件数；

（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．

解答： 解：（1）此次调查为抽样调查；

根据题意得调查的总件数为：5÷=12（件），

B的件数为12﹣（2+5+2）=3（件）；补全图2，如图所示：

故答案为：抽样调查；12；3；

（2）画树状图如下：

所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种，

则P==．

点评： 此题考查了条形统计图，扇形统计图，概率的计算，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

24．（9分）（2013•眉山）2013年4月20日，雅安发生7.0级地震，某地需550顶帐蓬解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天．

①求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐蓬？

②若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐蓬的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？

考点： 分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

分析： ①先设乙工厂每天可加工生产x顶帐蓬，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐蓬，根据加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案；

②设甲工厂加工生产y天，根据加工生产总成本不高于60万元，列出不等式，求出不等式的解集即可．

解答： 解：①设乙工厂每天可加工生产x顶帐蓬，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐蓬，根据题意得：

﹣=4，

解得：x=20，

经检验x=20是原方程的解，

则甲工厂每天可加工生产1.5×20=30（顶），

答：甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30顶和20顶帐蓬；

②设甲工厂加工生产y天，根据题意得：

3y+2.4×≤60，

解得：y≥10，

则至少应安排甲工厂加工生产10天．

点评： 此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程和不等式，注意分式方程要检验．

一、（B卷、本题9分）

25．（9分）（2013•眉山）在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．

（1）求证：△DEC∽△FDC；

（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．

考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．

分析： （1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；

（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．

解答： 解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，

∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，

∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，

∴FE：FC=1：3，

∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；

设EF=x，则FC=3x，

∵△DEC∽△FDC，

∴=，即可得：6x2=12，

解得：x=，

则CF=3，

在Rt△CFD中，DF==，

∴BC=2DF=2．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．

二、本题11分

26．（11分）（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式．

考点： 二次函数综合题

分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：

①以点A为直角顶点．过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P．首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；

②以点P为直角顶点．此时点P只能与点B重合；

③以点E为直角顶点．此时点P亦只能与点B重合．

（3）抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位．据此，按照“左加右减”的原则，确定平移后抛物线的解析式．

解答： 解：（1）根据题意得，A（1，0），D（0，1），B（﹣3，0），C（0，﹣3）．

抛物线经过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），则有：

，

解得，

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3．

（2）存在．

△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：

①以点A为直角顶点．

如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F．

∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形，

∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，﹣1）．

设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，﹣1）的坐标代入得：

，

解得k=1，b=﹣1，

∴y=x﹣1．

将y=x﹣1代入抛物线解析式y=x2+2x﹣3得，x2+2x﹣3=x﹣1，

整理得：x2+x﹣2=0，

解得x=﹣2或x=1，

当x=﹣2时，y=x﹣1=﹣3，

∴P（﹣2，﹣3）；

②以点P为直角顶点．

此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上．

过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；

因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合．

∴P（﹣3，0）；

③以点E为直角顶点．

此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上．

综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，0）．

（3）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．

抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位，

∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x+1+1）2﹣4+1=x2+4x+1．

点评： 本题考查了二次函数综合题型，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点，试题的考查重点是分类讨论的数学思想．