一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不得分）

1．（4分）（2013•绍兴）﹣2的绝对值是（　　）

A． 2 B． ﹣2 C． 0 D．

考点： 绝对值．

分析： 根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．

解答： 解：﹣2的绝对值是2，

故选：A．

点评： 此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（4分）（2013•绍兴）计算3a•（2b）的结果是（　　）

A． 3ab B． 6a C． 6ab D． 5ab

考点： 单项式乘单项式．

分析： 根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．

解答： 解：3a•（2b）=3×2a•b=6ab．

故选C．

点评： 本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．

3．（4分）（2013•绍兴）地球半径约为6400000米，则此数用科学记数法表示为（　　）

A． 0.64×109 B． 6.4×106 C． 6.4×104 D． 64×103

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：6 400 000=6.4×106，

故选：B．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（4分）（2013•绍兴）由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（　　）

A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 细心观察图中几何体摆放的位置，根据主视图是从正面看到的图象判定则可．

解答： 解：从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：1，1，2．

故选C．

点评： 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

5．（4分）（2013•绍兴）一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为（　　）

A． B． C． D．

考点： 概率公式．

分析： 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．

解答： 解：根据题意可得：袋子中有3个白球，2个黄球和1个红球，共6个，

从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率2÷6=．

故选：B．

点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

6．（4分）（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（　　）

A． 4m B． 5m C． 6m D． 8m

考点： 垂径定理的应用；勾股定理．

分析： 连接OA，根据桥拱半径OC为5m，求出OA=5m，根据CD=8m，求出OD=3m，根据AD=求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案．

解答： 解：连接OA，

∵桥拱半径OC为5m，

∴OA=5m，

∵CD=8m，

∴OD=8﹣5=3m，

∴AD===4m，

∴AB=2AD=2×4=8（m）；

故选；D．

点评： 此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．

7．（4分）（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（　　）

A． 90° B． 120° C． 150° D． 180°

考点： 圆锥的计算．

分析： 设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，然后设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，利用弧长的计算公式即可求解．

解答： 解：设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，

设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，则=2πr，

解得：n=180．

故选D．

点评： 正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

8．（4分）（2013•绍兴）如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x的函数关系式的图象是（　　）

A． B． C． D．

考点： 函数的图象．

分析： 由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断．

解答： 解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、B；

由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除D选项；

故选C．

点评： 本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

9．（4分）（2013•绍兴）小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：

（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；

（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（　　）

A． BD2=OD B． BD2=OD C． BD2=OD D． BD2=OD

考点： 正多边形和圆．

分析： 首先连接BM，根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，然后由勾股定理可求得BM与OD的长，继而求得BD2的值．

解答： 解：如图2，连接BM，

根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，

∵OA的垂直平分线交OA于点M，

∴OM=AM=OA=，

∴BM==，

∴DM=，

∴OD=DM﹣OM=﹣=，

∴BD2=OD2+OB2===OD．

故选C．

点评： 此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分母有理化的知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

10．（4分）（2013•绍兴）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（　　）

A． 7：20 B． 7：30 C． 7：45 D． 7：50

考点： 反比例函数的应用．

分析： 第1步：求出两个函数的解析式；

第2步：求出饮水机完成一个循环周期所需要的时间；

第3步：求出每一个循环周期内，水温不超过50℃的时间段；

第4步：结合4个选择项，逐一进行分析计算，得出结论．

解答： 解：∵开机加热时每分钟上升10℃，

∴从30℃到100℃需要7分钟，

设一次函数关系式为：y=k1x+b，

将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30

∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2；

设反比例函数关系式为：y=，

将（7，100）代入y=得k=700，∴y=，

将y=30代入y=，解得x=；

∴y=（7≤x≤），令y=50，解得x=14．

所以，饮水机的一个循环周期为 分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，水温不超过50℃．

逐一分析如下：

选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣×3=15，位于14≤x≤时间段内，故可行；

选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；

选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣×2=≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；

选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣×2=≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行．

综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．

故选A．

点评： 本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题．同学们在解答时要读懂题意，才不易出错．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．（5分）（2013•绍兴）分解因式：x2﹣y2=　（x+y）（x﹣y）　．

考点： 因式分解-运用公式法．

分析： 因为是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解即可．

解答： 解：x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）．

点评： 本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反，是解题的关键．

12．（5分）（2013•绍兴）分式方程=3的解是　x=3　．

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答： 解：去分母得：2x=3x﹣3，

解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解．

故答案为：x=3

点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

13．（5分）（2013•绍兴）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有　22　只，兔有　11　只．

考点： 二元一次方程组的应用．

分析： 设鸡有x只，兔有y只，就有x+y=33，2x+4y=88，将这两个方程构成方程组求出其解即可．

解答： 解：设鸡有x只，兔有y只，由题意，得

，

解得：，

∴鸡有22只，兔有11只．

故答案为：22，11

点评： 本题考查了列二元一次方程解生活实际问题的运用，二元一次方程的解法的运用，解答时根据条件找到反应全题题意的等量关系建立方程是关键．

14．（5分）（2013•绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是　2或﹣2　．

考点： 坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征．

分析： 根据反比例函数的性质得出B点坐标，进而得出A点坐标．

解答： 解：如图所示：

∵点A与双曲线y=上的点B重合，点B的纵坐标是1，

∴点B的横坐标是，

∴OB==2，

∵A点可能在x轴的正半轴也可能在负半轴，

∴A点坐标为：（2，0），（﹣2，0）．

故答案为：2或﹣2．

点评： 此题主要考查了勾股定理以及反比例函数的性质等知识，根据已知得出BO的长是解题关键．

15．（5分）（2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是　12°　．

考点： 等腰三角形的性质．

分析： 设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．

解答： 解：设∠A=x，

∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，

∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，

∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，

∴∠P2P3P4=∠P13P12P10=3x，

…，

∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，

∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，

在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，

即x+7x+7x=180°，

解得x=12°，

即∠A=12°．

故答案为：12°．

点评： 本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．

16．（5分）（2013•绍兴）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为　2.8　．

考点： 几何变换综合题．

分析： 如解答图所示，本题要点如下：

（1）证明矩形的四个顶点A、B、C、D均在菱形EFGH的边上，且点A、C分别为各自边的中点；

（2）证明菱形的边长等于矩形的对角线长；

（3）求出线段AP的长度，证明△AON为等腰三角形；

（4）利用勾股定理求出线段OP的长度；

（5）同理求出OQ的长度，从而得到PQ的长度．

解答： 解：由矩形ABCD中，AB=4，AD=3，可得对角线AC=BD=5．

依题意画出图形，如右图所示．

由轴对称性质可知，∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°，

∴点A在菱形EFGH的边EF上．同理可知，点B、C、D均在菱形EFGH的边上．

∵AP=AE=AF，∴点A为EF中点．同理可知，点C为GH中点．

连接AC，交BD于点O，则有AF=CG，且AF∥CG，

∴四边形ACGF为平行四边形，

∴FG=AC=5，即菱形EFGH的边长等于矩形ABCD的对角线长．

∴EF=FG=5，

∵AP=AE=AF，∴AP=EF=2.5．

∵OA=AC=2.5，

∴AP=AO，即△APO为等腰三角形．

过点A作AN⊥BD交BD于点N，则点N为OP的中点．

由S△ABD=AB•AD=AC•AN，可求得：AN=2.4．

在Rt△AON中，由勾股定理得：ON===0.7，

∴OP=2ON=1.4；

同理可求得：OQ=1.4，

∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8．

故答案为：2.8．

点评： 本题是几何变换综合题，难度较大．首先根据题意画出图形，然后结合轴对称性质、矩形性质、菱形性质进行分析，明确线段之间的数量关系，最后由等腰三角形和勾股定理求得结果．

三、解答题（本大题共有8小题，第17--20小题每小题8分，第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14分，共80分，解答需写出毕必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17．（8分）（2013•绍兴）

（1）化简：（a﹣1）2+2（a+1）

（2）解不等式：+≤1．

考点： 整式的混合运算；解一元一次不等式．

专题： 计算题．

分析： （1）原式第一项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．

解答： 解：（1）原式=a2﹣2a+1+2a+2=a2+3；

（2）去分母得：3（x+1）+2（x﹣1）≤6，

去括号得：3x+3+2x﹣1≤6，

解得：x≤1．

点评： 此题考查了整式的混合运算，以及解一元一次不等式，涉及的知识有：完全平方公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

18．（8分）（2013•绍兴）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：

（1）出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式．

（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）根据函数图象可以得出出租车的起步价是8元，设当x＞3时，y与x的函数关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出结论；

（2）将y=32代入（1）的解析式就可以求出x的值．

解答： 解：（1）由图象得：

出租车的起步价是8元，；

设当x＞3时，y与x的函数关系式为y=kx+b，由函数图象，得

，

解得：，

故y与x的函数关系式为：y=2x+2；

（2）当y=32时，

32=2x+2，

x=15

答：这位乘客乘车的里程是15km．

点评： 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键．

19．（8分）（2013•绍兴）如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移将矩形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向平移5个单位，得到矩形AnBnCnDn（n＞2）．

（1）求AB1和AB2的长．

（2）若ABn的长为56，求n．

考点： 平移的性质；一元一次方程的应用；矩形的性质．

专题： 规律型．

分析： （1）根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1，进而求出AB1和AB2的长；

（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×5+1求出n即可．

解答： 解：（1）∵AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，

第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，

∴AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1，

∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11，

∴AB2的长为：5+5+6=16；

（2）∵AB1=2×5+1=11，AB2=3×5+1=16，

∴ABn=（n+1）×5+1=56，

解得：n=10．

点评： 此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5是解题关键．

20．（8分）（2013•绍兴）某校体育组为了了解学生喜欢的体育项目，从全校同学中随机抽取了若干名同学进行调查，每位同学从兵乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜欢的项目，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图．根据以上统计图，解答下列问题：

（1）这次被调查的共有多少名同学？并补全条形统计图．

（2）若全校有1200名同学，估计全校最喜欢篮球和排球的共有多少名同学？

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析： （1）利用条形统计图可得喜欢排球的人数有12人，根据扇形统计图可得喜欢排球的人数有15%，利用12÷15%即可得到被调查的总人数；用总人数﹣喜欢乒乓球的人数﹣喜欢篮球的人数﹣喜欢羽毛球的人数﹣喜欢排球的人数可得喜欢跳绳的人数，再补图即可；

（2）计算出调查的人数中喜欢篮球和排球的人数所占百分比，再乘以1200即可．

解答： 解：（1）这次被调查的学生总数：30÷15%=200（人），

跳绳人数：200﹣70﹣40﹣30﹣12=48，如图所示：

（2）1200××100%=312（人）．

答：全校有1200名同学，估计全校最喜欢篮球和排球的共有312名同学．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．（10分）（2013•绍兴）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm

（1）求AM的长．

（2）当∠BAC=104°时，求AD的长（精确到1cm）．

备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．

考点： 解直角三角形的应用．

分析： （1）根据AM=AE+DE求解即可；

（2）先根据角平分线的定义得出∠EAD=∠BAC=52°，再过点E作EG⊥AD于G，由等腰三角形的性质得出AD=2AG，然后在△AEG中，利用余弦函数的定义求出AG的长，进而得到AD的长度．

解答： 解：（1）由题意，得AM=AE+DE=36+36=72（cm）．

故AM的长为72cm；

（2）∵AP平分∠BAC，∠BAC=104°，

∴∠EAD=∠BAC=52°．

过点E作EG⊥AD于G，

∵AE=DE=36，

∴AG=DG，AD=2AG．

在△AEG中，∵∠AGE=90°，

∴AG=AE•cos∠EAG=36•cos52°=36×0.6157=22.1652，

∴AD=2AG=2×22.1652≈44（cm）．

故AD的长约为44cm．

点评： 本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，其中涉及到角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角函数的定义，难度适中．

22．（12分）（2013•绍兴）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．

（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．

（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．

①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？

②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．

考点： 四边形综合题．

分析： （1）答案不唯一，根据已知举出即可；

（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出==，==，==，==，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，根据已知判断即可；

②设AM=h，根据△ABC∽△AB3C3，得出==，求出MN=GN=GH=HE=h，分为两种情况：当B3C3=2×h，时，当B3C3=×h时，代入求出即可．

解答： 解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；

（2）①以B1C1为一边的矩形不是方形．

理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，

∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，

∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，

∴=，==，==，==，

∵AM=20，BC=25，

∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，

∴MN=GN=GH=HE=4，

∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4，

即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，

∴以B1C1为一边的矩形不是方形；

②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h，

∴△ABC∽△AB3C3，

∴==，

则AG=h，

∴MN=GN=GH=HE=h，

当B3C3=2×h，时，=；

当B3C3=×h时，=．

综合上述：BC与BC边上的高之比是或．

点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应高的比等于相似比．

23．（12分）（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．

（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

分析： （1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；

（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．

解答： （1）证明：如图1，

在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，

∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．

∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，

∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，

∴AC=BE．

在△ACD与△BEF中，

，

∴△ACD≌△BEF，

∴CD=EF，即EF=CD；

（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，

∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，

∴四边形EQDH是矩形，

∴∠QEH=90°，

∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，

又∵∠EQF=∠EHG=90°，

∴△EFQ∽△EGH，

∴EF：EG=EQ：EH．

∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，

∴∠B=30°．

在△BEQ中，∵∠BQE=90°，

∴sin∠B==，

∴EQ=BE．

在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，

∴cos∠AEH==，

∴EH=AE．

∵点E为AB的中点，∴BE=AE，

∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．

点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．

24．（14分）（2013•绍兴）抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．

（1）求点B及点D的坐标．

（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．

①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．

②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）解方程（x﹣3）（x+1）=0，求出x=3或﹣1，根据抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将y=（x﹣3）（x+1）配方，写成顶点式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即可确定顶点D的坐标；

（2）①根据抛物线y=（x﹣3）（x+1），得到点C、点E的坐标．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则==，得出Q的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6，解方程组，即可求出点P的坐标；

②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在．

解答： 解：（1）∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），

∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0，

解得x=3或﹣1，

∴点B的坐标为（3，0）．

∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；

（2）①如右图．

∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，

∴C点坐标为（0，﹣3）．

∵对称轴为直线x=1，

∴点E的坐标为（1，0）．

连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），

∴CH=DH=1，

∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，

∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形．

分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．

∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，

∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，

∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，

∴∠CDB=∠QCO，

∴△BCD∽△QOC，

∴==，

∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．

∴直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3，

直线BD的解析式为y=2x﹣6．

由方程组，解得．

∴点P的坐标为（，﹣）；

②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．

若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE，

∴==，

∴MN=2CN．

设CN=a，则MN=2a．

∵∠CDE=∠DCF=45°，

∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，

∴NF=CN=a，CF=a，

∴MF=MN+NF=3a，

∴MG=FG=a，

∴CG=FG﹣FC=a，

∴M（a，﹣3+a）．

代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=，

∴M（，﹣）；

若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE，

∴==，

∴MN=2CN．

设CN=a，则MN=2a．

∵∠CDE=45°，

∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，

∴NF=CN=a，CF=a，

∴MF=MN﹣NF=a，

∴MG=FG=a，

∴CG=FG+FC=a，

∴M（a，﹣3+a）．

代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=5，

∴M（5，12）；

（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．

∵∠CMN=∠BDE＜45°，

∴∠MCN＞45°，

而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，

∴点M不存在．

综上可知，点M坐标为（，﹣）或（5，12）．

点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．（2）中第②问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．