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第I卷(选择题 共30分)
一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分)
1.下列各数中,最大的是( )
A.-3 B.0 C.1 D.2
答案:D
解析:0大于负数,正数大于0,也大于负数,所以,2最大,选D。
2.式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.<1 B.≥1 C.≤-1 D.<-1<>
答案:B
解析:由二次根式的意义,知:x-1≥0,所以x≥1。
3.不等式组的解集是( )
A.-2≤≤1 B.-2<<1 C.≤-1 D.≥2
答案:A
解析:解(1)得:x≥-2,解(2)得x≤1,所以,-2≤≤1
4.袋子中装有4个黑球和2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出三个球.下列事件是必然事件的是( )
A.摸出的三个球中至少有一个球是黑球.
B.摸出的三个球中至少有一个球是白球.
C.摸出的三个球中至少有两个球是黑球.
D.摸出的三个球中至少有两个球是白球.
答案:A
解析:因为白球只有2个,所以,摸出三个球中,黑球至少有一个,选A。
5.若,是一元二次方程的两个根,则的值是( )
A.-2 B.-3 C.2 D.3
答案:B
解析:由韦达定理,知:=-3。
6.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是( )
A.18° B.24° C.30° D.36°
答案:A
解析:因为AB=AC,所以,∠C=∠ABC=(180°-36°)=72°,
又BD为高,所以,∠DBC=90°72°=18°
7.如图,是由4个相同小正方体组合而成的几何体,它的左视图是( )
A. B. C. D.
答案:C
解析:由箭头所示方向看过去,能看到下面三个小正方形,上面一个小正方形,所以选C。
8.两条直线最多有1个交点,三条直线最多有3个交点,四条直线最多有6个交点,……,那么六条直线最多有( )
A.21个交点 B.18个交点 C.15个交点 D.10个交点
答案:C
解析:两条直线的最多交点数为:×1×2=1,
三条直线的最多交点数为:×2×3=3,
四条直线的最多交点数为:×3×4=6,
所以,六条直线的最多交点数为:×5×6=15,
9.为了解学生课外阅读的喜好,某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查,调查要求每人只选取一种喜欢的书籍,如果没有喜欢的书籍,则作“其它”类统计。图(1)与图(2)是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图。以下结论不正确的是( )
A.由这两个统计图可知喜欢“科普常识”的学生有90人.
B.若该年级共有1200名学生,则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有360个.
C.由这两个统计图不能确定喜欢“小说”的人数.
D.在扇形统计图中,“漫画”所在扇形的圆心角为72°.
答案:C
解析:读左边图,知“其它”有30人,读右边图,知“其它”占10%,所以,总人数为300人,“科普知识”人数:30%×300=90,所以,A正确;该年级“科普知识”人数:30%×1200=360,所以,B正确;,因为“漫画”有60人,占20%,圆心角为:20%×360=72°,
小说的比例为:1-10%-30%-20%=40%,所以,D正确,C错误,选C。
10.如图,⊙A与⊙B外切于点D,PC,PD,PE分别是圆的切线,C,D,E是切点,
若∠CED=°,∠ECD=°,⊙B的半径为R,则的长度是( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:由切线长定理,知:PE=PD=PC,设∠PEC=z°
所以,∠PED=∠PDE=(x+z)°,∠PCE=∠PEC=z°,
∠PDC=∠PCD=(y+z)°,
∠DPE=(180-2x-2z)°,∠DPC=(180-2y-2z)°,
在△PEC中,2z°+(180-2x-2z)°+(180-2y-2z)°=180°,
化简,得:z=(90-x-y)°,
在四边形PEBD中,∠EBD=(180°-∠DPE)=180°-(180-2x-2z)°=(2x+2z)°=(2x+180-2x-2y)=(180-2y)°,
所以,弧DE的长为:=
选B。
第II卷(非选择题 共84分)
二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分)
11.计算= .
答案:
解析:直接由特殊角的余弦值,得到。
12.在2013年的体育中考中,某校6名学生的分数分别是27、28、29、28、26、28.这组
数据的众数是 .
答案:28
解析:28出现三次,出现的次数最多,所以,填28。
13.太阳的半径约为696 000千米,用科学记数法表示数696 000为 .
答案:
解析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
696 000=
14.设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶,开始甲车在乙车的前面,当乙车追上甲车后,两车停下来,把乙车的货物转给甲车,然后甲车继续前行,乙车向原地返回.设秒后两车间的距离为千米,关于的函数关系如图所示,则甲车的速度是 米/秒.
答案:20
解析:设甲车的速度为v米/秒,乙车的速度为u米/秒,由图象可得方程:
,解得v=20米/秒
15.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,BC=2AB,A,B两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C,D两点在反比例函数的图象上,则的值等于 .
答案:-12
解析:如图,过C、D两点作x轴的垂线,垂足为F、G,CG交AD于M点,过D点作DH⊥CG,垂足为H,
∵CD∥AB,CD=AB,∴△CDH≌△ABO(AAS),
∴DH=AO=1,CH=OB=2,设C(m,n),D(m-1,n-2),
则mn=(m-1)(n-2)=k,解得n=2-2m,
设直线BC解析式为y=ax+b,将B、C两点坐标代入得
,又n=2-2m,
BC==,AB=,因为BC=2AB,
解得:m=-2,n=6,所以,k=mn=-12
16.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 .
答案:
解析:
三、解答题(共9小题,共72分)
17.(本题满分6分)解方程:.
解析:方程两边同乘以,得
解得.
经检验,是原方程的解.
18.(本题满分6分)直线经过点(3,5),求关于的不等式≥0的解集.
解析:∵直线经过点(3,5)∴.
∴.
即不等式为≥0,解得≥.
19.(本题满分6分)如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.
求证:∠A=∠D.
解析:证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE, ∴∠A=∠D.
20.(本题满分7分)有两把不同的锁和四把不同的钥匙,其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁,其余的钥匙不能打开这两把锁.现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果;
(2)求一次打开锁的概率.
解析:(1)设两把不同的锁分别为A、B,能把两锁打开的钥匙分别为、,其余两把钥匙分别为、,根据题意,可以画出如下树形图:
由上图可知,上述试验共有8种等可能结果.(列表法参照给分)
(2)由(1)可知,任意取出一把钥匙去开任意一把锁共有8种可能的结果,一次打开锁的结果有2种,且所有结果的可能性相等.
∴P(一次打开锁)=.
21.(本题满分7分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),
C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△C;平移△ABC,若A的对应点
的坐标为(0,4),画出平移后对应的△;
(2)若将△C绕某一点旋转可以得到△,请直接写出旋转中心的坐标;
(3)在轴上有一点P,使得PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
解析:
(1)画出△A1B1C如图所示:
(2)旋转中心坐标(,);
(3)点P的坐标(-2,0).
22.(本题满分8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,点P是的中点,连接PA,PB,PC.
(1)如图①,若∠BPC=60°,求证:;
(2)如图②,若,求的值.
解析:
(1)证明:∵弧BC=弧BC,∴∠BAC=∠BPC=60°.
又∵AB=AC,∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB=60°,∵点P是弧AB的中点,∴∠ACP=30°,
又∠APC=∠ABC=60°,∴AC=AP.
(2)解:连接AO并延长交PC于F,过点E作EG⊥AC于G,连接OC.
∵AB=AC,∴AF⊥BC,BF=CF.
∵点P是弧AB中点,∴∠ACP=∠PCB,∴EG=EF.
∵∠BPC=∠FOC,
∴sin∠FOC=sin∠BPC=.
设FC=24a,则OC=OA=25a,
∴OF=7a,AF=32a.
在Rt△AFC中,AC2=AF2+FC2,∴AC=40a.
在Rt△AGE和Rt△AFC中,sin∠FAC=,
∴,∴EG=12a.
∴tan∠PAB=tan∠PCB=.
23.(本题满分10分)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节,科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表):
温度/℃ | …… | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 4.5 | …… |
植物每天高度增长量/mm | …… | 41 | 49 | 49 | 41 | 25 | 19.75 | …… |
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由;
(2)温度为多少时,这种植物每天高度的增长量最大?
(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.
解析:
(1)选择二次函数,设,得,解得
∴关于的函数关系式是.
不选另外两个函数的理由:
注意到点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以不是的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以不是的一次函数.
(2)由(1),得,∴,
∵,∴当时,有最大值为50.
即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大.
(3).
24.(本题满分10分)已知四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的点,DE与CF交于点G.
(1)如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证;
(2)如图②,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得成立?并证明你的结论;
(3)如图③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF,请直接写出的值.
解析:
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ADC=90°,
∵DE⊥CF,∴∠ADE=∠DCF,∴△ADE∽△DCF,∴.
(2)当∠B+∠EGC=180°时,成立,证明如下:
在AD的延长线上取点M,使CM=CF,则∠CMF=∠CFM.
∵AB∥CD,∴∠A=∠CDM,
∵∠B+∠EGC=180°,
∴∠AED=∠FCB,∴∠CMF=∠AED.
∴△ADE∽△DCM,
∴,即.
(3).
25.(本题满分12分)如图,点P是直线:上的点,过点P的另一条直线交抛物线于A、B两点.
(1)若直线的解析式为,求A、B两点的坐标;
(2)①若点P的坐标为(-2,),当PA=AB时,请直接写出点A的坐标;
②试证明:对于直线上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点A,使得PA=AB成立.
(3)设直线交轴于点C,若△AOB的外心在边AB上,且∠BPC=∠OCP,求点P的坐标.
解析:
(1)依题意,得解得,
∴A(,),B(1,1).
(2)①A1(-1,1),A2(-3,9).
②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线,垂足分别为G、H.
设P(,),A(,),∵PA=PB,∴△PAG≌△BAH,
∴AG=AH,PG=BH,∴B(,),
将点B坐标代入抛物线,得,
∵△=
∴无论为何值时,关于的方程总有两个不等的实数解,即对于任意给定的
点P,抛物线上总能找到两个满足条件的点A.
(3)设直线:交y轴于D,设A(,),B(,).
过A、B两点分别作AG、BH垂直轴于G、H.
∵△AOB的外心在AB上,∴∠AOB=90°,
由△AGO∽△OHB,得,∴.
联立得,依题意,得、是方程的两根,∴,∴,即D(0,1).
∵∠BPC=∠OCP,∴DP=DC=3.P
设P(,),过点P作PQ⊥轴于Q,在Rt△PDQ中,,
∴.∴(舍去),,∴P(,).
∵PN平分∠MNQ,∴PT=NT,∴,