一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）(2014年湖北随州)2的相反数是（　　）

A． B． ﹣2 C． 2 D．

考点： 相反数．菁优网版权所有

分析： 根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．

解答： 解：2的相反数是﹣2．

故选B．

点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

2．（3分）(2014年湖北随州)如图所示的物体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．菁优网版权所有

分析： 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

解答： 解：从上面向下看，易得到横排有3个正方形．

故选D．

点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面向下看得到的视图．

3．（3分）(2014年湖北随州)2013年，我市以保障和改善民生为重点的“十件实事”全面完成，财政保障民生支出达74亿元，占公共财政预算支出的75%，数据74亿元用科学记数法表示为（　　）

A． 74×108元 B． 7.4×108元 C． 7.4×109元 D． 0.74×1010元

考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：74亿=74 0000 0000=7.4×109，

故选：C．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）(2014年湖北随州)如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（　　）

A． 1：4 B． 2：3 C． 1：3 D． 1：2

考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有

分析： 根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．

解答： 解：∵BE和CD是△ABC的中线，

∴DE=BC，DE∥BC，

∴=，△DOE∞△COB，

∴=（）2=（）2=，

故选A．

点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

5．（3分）(2014年湖北随州)计算（﹣xy2）3，结果正确的是（　　）

A． x2y4 B． ﹣x3y6 C． x3y6 D． ﹣x3y5

考点： 幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有

分析： 根据积的乘方的性质进行计算，然后再选取答案．

解答： 解：原式=﹣（）3x3y6=﹣x3y6．

故选B．

点评： 本题考查了积的乘方的性质：等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

6．（3分）(2014年湖北随州)在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（　　）

A． 18，18，1 B． 18，17.5，3 C． 18，18，3 D． 18，17.5，1

考点： 方差；折线统计图；中位数；众数．菁优网版权所有

分析： 根据众数、中位数的定义和方差公式分别进行解答即可．

解答： 解：这组数据18出现的次数最多，出现了3次，则这组数据的众数是18；

把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（18+18）÷2=18，则中位数是18；

这组数据的平均数是：（17×2+18×3+20）÷6=18，

则方差是：[2×（17﹣18）2+3×（18﹣18）2+（20﹣18）2]=1；

故选A．

点评： 本题考查了众数、中位数和方差，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．

7．（3分）(2014年湖北随州)如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（　　）

A． 100米 B． 50米 C． 米 D． 50米

考点： 解直角三角形的应用．菁优网版权所有

分析： 过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．

解答： 解：过B作BM⊥AD，

∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，

∴∠ABC=30°，

∴AC=CB=100米，

∵BM⊥AD，

∴∠BMC=90°，

∴∠CBM=30°，

∴CM=BC=50米，

∴BD==50米，

故选：B．

点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．

8．（3分）(2014年湖北随州)关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（　　）

A． 图象经过点（1，1） B． 两个分支分布在第二、四象限

C． 两个分支关于x轴成轴对称 D． 当x＜0时，y随x的增大而减小

考点： 反比例函数的性质．菁优网版权所有

分析： 根据反比例函数的性质，k=2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．

解答： 解：A、把点（1，1）代入反比例函数y=得2≠1不成立，故选项错误；

B、∵k=2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故选项错误；

C、图象的两个分支关于y=﹣x对称，故错误．

D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项正确．

故选D．

点评： 本题考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：

①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．

②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．

9．（3分）(2014年湖北随州)在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到

△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（　　）

A． AE∥BC B． ∠ADE=∠BDC

C． △BDE是等边三角形 D． △ADE的周长是9

考点： 旋转的性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有

分析： 首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．

解答： 解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠C=60°，

∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，

∴∠AEB=∠C=60°，

∴AE∥BC，故选项A正确；

：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=BC=5，

∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，

∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，

∴AE+AD=AD+CD=AC=5，

∵∠EBD=60°，BE=BD，

∴△BDE是等边三角形，故选项C正确；

∴DE=BD=4，

∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；

而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC，

∴结论错误的是B，

故选B．

点评： 本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．

10．（3分）(2014年湖北随州)某通讯公司提供了两种移动电话收费方式：方式1，收月基本费20元，再以每分钟0.1元的价格按通话时间计费；方式2，收月基本费20元，送80分钟通话时间，超过80分钟的部分，以每分钟0.15元的价格计费．

下列结论：

①如图描述的是方式1的收费方法；

②若月通话时间少于240分钟，选择方式2省钱；

③若月通讯费为50元，则方式1比方式2的通话时间多；

④若方式1比方式2的通讯费多10元，则方式1比方式2的通话时间多100分钟．

其中正确的是（　　）

A． 只有①② B． 只有③④ C． 只有①②③ D． ①②③④

考点： 一次函数的应用．菁优网版权所有

分析： 根据收费标准，可得相应的函数解析式，根据函数解析式的比较，可得答案．

解答： 解：根据题意得：方式一的函数解析式为y=0.1x+20，方式二的函数解析式为y=0.15x+8，

①当x=80时，方式一的收费是28元，故①说法正确；

②0.1x+20＞0.15x+8，解得x＜240，故②的说法正确；

③当y=50元时，方式一0.1x+20=50，解得x=300分钟，方式二0.15x+8=50，解得x=280分钟，故③说法正确；

④0.1x+20﹣0.15x﹣8=10，解得x=40，故④说法错误；

故选：C．

点评： 本题考查了一次函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）(2014年湖北随州)计算：|﹣3|++（﹣1）0=　2　．

考点： 实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有

专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用立方根定义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．

解答： 解：原式=3﹣2+1

=2．

故答案为：2．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．（3分）(2014年湖北随州)不等式组的解集是　﹣1＜x≤2　．

考点： 解一元一次不等式组．菁优网版权所有

分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

解答： 解：，

由①得x≤1，

由②得x＞﹣1，

故此不等式的解集为：﹣1＜x≤2．

故答案为：﹣1＜x≤2．

点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

13．（3分）(2014年湖北随州)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为　75　度．

考点： 三角形内角和定理；平行线的性质．菁优网版权所有

专题： 计算题；压轴题．

分析： 根据三角形三内角之和等于180°求解．

解答： 解：如图．

∵∠3=60°，∠4=45°，

∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．

故答案为：75．

点评： 考查三角形内角之和等于180°．

14．（3分）(2014年湖北随州)某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　20%　．

考点： 一元二次方程的应用．菁优网版权所有

专题： 增长率问题．

分析： 本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．

解答： 解：设这个增长率是x，根据题意得：

2000×（1+x）2=2880

解得：x1=20%，x2=﹣220%（舍去）

故答案为：20%．

点评： 本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．

15．（3分）(2014年湖北随州)圆锥的底面半径是2cm，母线长6cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为　120　度．

考点： 圆锥的计算．菁优网版权所有

分析： 根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．

解答： 解：∵圆锥的底面半径是2cm，

∴圆锥的底面周长为4π，

设圆心角为n°，根据题意得：=4π，

解得n=120．

故答案为：120．

点评： 考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．

16．（3分）(2014年湖北随州)如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断：

①当x=1时，点P是正方形ABCD的中心；

②当x=时，EF+GH＞AC；

③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；

④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．

其中正确的是　①④　（写出所有正确判断的序号）．

考点： 翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．菁优网版权所有

分析： （1）由正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以当AE=1时，重合点P是BD的中点，即点P是正方形ABCD的中心；

（2）由△BEF∽△BAC，得出EF=AC，同理得出GH=AC，从而得出结论．

（3）由六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．得出函数关系式，进而求出最大值．

（4）六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．

解答： 解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，

∴△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，

∴当AE=1时，重合点P是BD的中点，

∴点P是正方形ABCD的中心；

故①结论正确，

（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，

∴△BEF∽△BAC，

∵x=，

∴BE=2﹣=，

∴=，即=，

∴EF=AC，

同理，GH=AC，

∴EF+GH=AC，

故②结论错误，

（3）六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．

∵AE=x，

∴六边形AEFCHG面积=22﹣BE•BF﹣GD•HD=4﹣×（2﹣x）•（2﹣x）﹣x•x=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，

∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，

故③结论错误，

（4）当0＜x＜2时，

∵EF+GH=AC，

六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2=4+2

故六边形AEFCHG周长的值不变，

故④结论正确．

故答案为：①④．

点评： 考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，本题关键是得到EF+GH=AC，综合性较强，有一定的难度．

三、解答题（共72分）

17．（6分）(2014年湖北随州)先简化，再求值：（﹣）+，其中a=+1．

考点： 分式的化简求值．菁优网版权所有

专题： 计算题．

分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．

解答： 解：原式=•（a+1）（a﹣1）

=a2﹣3a，

当a=+1时，原式=3+2﹣3﹣3=﹣．

点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（7分）(2014年湖北随州)已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）填空：当AB：AD=　1：2　时，四边形MENF是正方形．

考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．菁优网版权所有

分析： （1）根据矩形性质得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根据全等三角形的判定推出即可；

（2）求出四边形MENF是平行四边形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠A=∠D=90°，

∵M为AD的中点，

∴AM=DM，

在△ABM和△DCM中

∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，

理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，

∴AB=AM=DM=DC，

∵∠A=∠D=90°，

∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，

∴∠BMC=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠DCB=90°，

∴∠MBC=∠MCB=45°，

∴BM=CM，

∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，

∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，

∴四边形MENF是平行四边形，

∵ME=MF，∠BMC=90°，

∴四边形MENF是正方形，

即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，

故答案为：1：2．

点评： 本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．

19．（7分）(2014年湖北随州)近几年我市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会效果．某校随机调查了九年级m名学生的升学意向，并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表：

升学意向 人数 百分比

省级示范高中 15 25%

市级示范高中 15 25%

一般高中 9 n

职业高中

其他 3 5%

m 100%

请你根据图表中提供的信息解答下列问题：

（1）表中m的值为　60　，n的值为　15%　；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校九年级有学生500名，估计该校大约有多少名毕业生的升学意向是职业高中？

考点： 条形统计图；用样本估计总体；统计表．菁优网版权所有

专题： 计算题．

分析： （1）由省级示范高中人数除以占的百分比得到总学生数，确定出m的值；进而确定出职业高中学生数，求出占的百分比，确定出n的值；

（2）补全条形统计图，如图所示；

（3）由职业高中的百分比乘以500即可得到结果．

解答： 解：（1）根据题意得：15÷25%=60（人），即m=60，

职业高中人数为60﹣（15+15+9+3）=18（人），占的百分比为18÷60×100%=30%，

则n=1﹣（25%+25%+30%+5%）=15%；

故答案为：60；15%；

（2）补全条形统计图，如图所示：

（3）根据题意得：500×30%=150（名），

则估计该校大约有150名毕业生的升学意向是职业高中．

点评： 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

20．（7分）(2014年湖北随州)某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：若由两个工程队合做，12天恰好完成；若两个队合做9天后，剩下的由甲队单独完成，还需5天时间，现需从这两个工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？

考点： 分式方程的应用．菁优网版权所有

专题： 应用题．

分析： 设甲队单独完成工程需x天，则甲队的工作效率为，等量关系：甲乙9天的工作量+甲5天的工作量=1，可得方程，解出即可．

解答： 解：设甲队单独完成工程需x天，

由题意，得：×9+×5=1，

解得：x=20，

经检验得：x=20是方程的解，

∵﹣=，

∴乙单独完成工程需30天，

∵20＜30，

∴从缩短工期角度考虑，应该选择甲队．

点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系：甲乙9天的工作量+甲5天的工作量=1．

21．（7分）(2014年湖北随州)四张扑克牌的牌面如图1，将扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上，小明和小亮设计了A、B两种游戏方案：

方案A：随机抽一张扑克牌，牌面数字为5时小明获胜；否则小亮获胜．

方案B：随机同时抽取两张扑克牌，两张牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小亮获胜．

请你帮小亮选择其中一种方案，使他获胜的可能性较大，并说明理由．

考点： 列表法与树状图法．菁优网版权所有

分析： 由四张扑克牌的牌面是5的有2种情况，不是5的也有2种情况，可求得方案A中，小亮获胜的概率；

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小亮获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案；比较其大小，即可求得答案．

解答： 解：小亮选择A方案，使他获胜的可能性较大．

方案A：∵四张扑克牌的牌面是5的有2种情况，不是5的也有2种情况，

∴P（小亮获胜）==；

方案B：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两张牌面数字之和为偶数的有4种情况，不是偶数的有8种情况，

∴P（小亮获胜）==；

∴小亮选择A方案，使他获胜的可能性较大．

点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．（8分）(2014年湖北随州)如图，⊙O中，点C为的中点，∠ACB=120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D=∠B．

（1）求证：AD与⊙O相切；

（2）若点C到弦AB的距离为2，求弦AB的长．

考点： 切线的判定；解直角三角形．菁优网版权所有

分析： （1）连接OA，由=，得CA=CB，根据题意可得出∠O=60°，从而得出∠OAD=90°，则AD与⊙O相切；

（2）设OC交AB于点E，由题意得OC⊥AB，求得CE=2，Rt△BCE中，由三角函数得BE=2，即可得出AB的长．

解答： （1）证明：如图，连接OA，

∵=，

∴CA=CB，

又∵∠ACB=120°，

∴∠B=30°，

∴∠O=2∠B=60°，

∵∠D=∠B=30°，

∴∠OAD=180°﹣（∠O+∠D）=90°，

∴AD与⊙O相切；

（2）解：设OC交AB于点E，由题意得OC⊥AB，

∴CE=2，

在Rt△BCE中，BE==2×=2．

∴AB=2BE=4．

点评： 本题考查了切线的判定和解直角三角形，是中学阶段的中点，要熟练掌握．

23．（8分）(2014年湖北随州)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．

（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；

（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）

考点： 一元二次方程的应用；分段函数．菁优网版权所有

分析： （1）根据分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；

（2）由销售利润=销售价﹣进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论．

解答： 解：（1）由题意，得

当0＜x≤5时

y=30．

当5＜x≤30时，

y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．

∴y=；

（2）当0＜x≤5时，

（32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，

当5＜x≤30时，

[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，

解得：x1=﹣25（舍去），x2=10．

答：该月需售出10辆汽车．

点评： 本题考查了分段函数的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出分段函数的解析式是关键．

24．（10分）(2014年湖北随州)已知两条平行线l1、l2之间的距离为6，截线CD分别交l1、l2于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P不与点C、D重合），直角的两边分别交l1、l2与A、B两点．

（1）操作发现

如图1，过点P作直线l3∥l1，作PE⊥l1，点E是垂足，过点B作BF⊥l3，点F是垂足．此时，小明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？

（2）猜想论证

将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想．

（3）延伸探究

在（2）的条件下，当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数x，使△PAB的边AB的长为4？请说明理由．

考点： 几何变换综合题．菁优网版权所有

分析： （1）根据题意得到：∠EPA+∠APF=90°，∠FPB+∠APF=90°，从而得到∠EPA=∠FPB，然后根据∠PEA=∠PFB=90°证得△PEA∽△PFB；

（2）根据∠APB=90°得到要使△PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，然后根据当AE=BF时，PA=PB，从而得到△PEA≌△PFB，利用全等三角形的性质证得结论即可；

（3）在Rt△PEC中，CP=x，∠PCE=30°从而得到PE=x，然后利用PE+BF=6，BF=AE得到AE=6﹣x，然后利用勾股定理得到PE2+AE2=PA2，代入整理后得到一元二次方程x2﹣12x﹣8=0，求得x的值后大于12，从而得到矛盾说明不存在满足条件的x．

解答： 解：（1）如图（1），由题意，得：∠EPA+∠APF=90°，∠FPB+∠APF=90°，

∴∠EPA=∠FPB，

又∵∠PEA=∠PFB=90°，

∴△PEA∽△PFB；

（2）证明：如图2，∵∠APB=90°，

∴要使△PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，

当AE=BF时，PA=PB，

∵∠EPA=∠FPB，∠PEA=∠PFB=90°，AE=BF，

∴△PEA≌△PFB，

∴PA=PB；

（3）如图2，在Rt△PEC中，CP=x，∠PCE=30°，

∴PE=x，

由题意，PE+BF=6，BF=AE，

∴AE=6﹣x，

当AB=4时，由题意得PA=2，

Rt△PEA中，PE2+AE2=PA2，

即（）2+（6﹣x）2=40，

整理得：x2﹣12x﹣8=0，

解得：x=6﹣2＜0（舍去）或x=6+2，

∵x=6+2＞6+6=12，又CD=12，

∴点P在CD的延长线上，这与点P在线段CD上运动相矛盾，

∴不合题意，

综上，不存在满足条件的实数x．

点评： 本题是一道几何变换的综合题，题目中涉及到了全等三角形、勾股定理等知识，知识网络比较复杂，难度较大．

25．（12分）(2014年湖北随州)平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点C的坐标为（﹣3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax2+bx+c经过C、O、A三点．

（1）直接写出这条抛物线的解析式；

（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCD的面积为S2，当S1≤S2时，求点E的纵坐标n的取值范围；

（3）如图2，D（0，﹣）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以个单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O﹣A﹣B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t＜6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有

分析： （1）求得菱形的边长，则A的坐标可以求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）首先求得菱形的面积，即可求得S1的范围，当S1取得最大值时即可求得直线的解析式，则n的值的范围即可求得；

（3）分当1＜t＜3.5时和3.5≤t≤6时两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求解．

解答： 解：（1）根据题意得：，

解得：，

则抛物线的解析式是：y=x2﹣x；

（2）设BC与y轴相交于点G，则S2=OG•BC=20，

∴S1≤5，

又OB所在直线的解析式是y=2x，OB==2，

∴当S1=5时，△EBO的OB边上的高是．

如图1，设平行于OB的直线为y=2x+b，则它与y轴的交点为M（0，b），与抛物线对称轴x=交于点E（，n）．

过点O作ON⊥ME，点N为垂足，若ON=，由△MNO∽△OGB，得OM=5，

∴y=2x﹣5，

由，

解得：y=0，

即E的坐标是（，0）．

∵与OB平行且到OB的距离是的直线有两条．

∴由对称性可得另一条直线的解析式是：y=2x+5．

则E′的坐标是（，10）．

由题意得得，n的取值范围是：0≤n≤10且n≠5．

（3）如图2，动点P、Q按题意运动时，

当1＜t＜3.5时，

OP=t，BP=2﹣t，OQ=2（t﹣1），

连接QP，当QP⊥OP时，有=，

∴PQ=（t﹣1），

若=，则有=，

又∵∠QPB=∠DOA=90°，

∴△BPQ∽△AOD，

此时，PB=2PQ，即2﹣t=（t﹣1），

10﹣t=8（t﹣1），

∴t=2；

当3.5≤t≤6时，QB=10﹣2（t﹣1）=12﹣2t，连接QP．

若QP⊥BP，

则有∠PBQ=∠ODA，

又∵∠QPB=∠AOD=90°，

∴△BPQ∽△DOA，

此时，PB=PB，即12﹣2t=（2﹣t），12﹣2t=10﹣t，

∴t=2（不合题意，舍去）．

若QP⊥BQ，则△BPQ∽△DAO，

此时，PB=BQ，

即2﹣t=（12﹣2t），2﹣t=12﹣2t，

解得：t=．

则t的值为2或．

点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．