一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）（2014•抚顺）的倒数是（　　）

A． ﹣2 B． 2 C． D．

考点： 倒数．

专题： 常规题型．

分析： 根据倒数的定义求解．

解答： 解：﹣的倒数是﹣2．

故选：A．

点评： 本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记定义．

2．（3分）（2014•抚顺）若一粒米的质量约是0.000012kg，将数据0.000012用科学记数法表示为（　　）

A． 21×10﹣4 B． 2.1×10﹣6 C． 2.1×10﹣5 D． 2.1×10﹣4

考点： 科学记数法—表示较小的数．.

分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

解答： 解：0.000012=1.2×10﹣5；

故选：C．

点评： 题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．（3分）（2014•抚顺）如图所示，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，当∠A=120°时，∠ECD的度数是（　　）

A． 45° B． 40° C． 35° D． 30°

考点： 平行线的性质．.

分析： 根据平行线的性质求出∠DCA，根据角平分线定义求出∠DCE即可．

解答： 解：∵AB∥CD，∠A=120°，

∴∠DCA=180°﹣∠A=60°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ECD=∠DCA=30°，

故选：D．

点评： 本题考查了平行线的性质，角平分线定义的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．

4．（3分）（2014•抚顺）如图放置的几何体的左视图是（　　）

考点： 简单组合体的三视图．.

分析： 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

解答： 解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示，．

故选：C．

点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意中间看不到的线用虚线表示．

5．（3分）（2014•抚顺）下列事件是必然事件的是（　　）

A． 如果|a|=|b|，那么a=b

B． 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

C． 半径分别为3和5的两圆相外切，则两圆的圆心距为8

D． 三角形的内角和是360°

考点： 随机事件．.

分析： 必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．

解答： 解：A、如果|a|=|b|，那么a=b或a=﹣b，故A选项错误；

B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，此时被平分的弦不是直径，故B选项错误；

C、半径分别为3和5的两圆相外切，则两圆的圆心距为8，故C选项正确；

D、三角形的内角和是180°，故D选项错误，

故选：C．

点评： 考查了随机事件，解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

6．（3分）（2014•抚顺）函数y=x﹣1的图象是（　　）

考点： 一次函数的图象．.

分析： 根据函数解析式求得该函数图象与坐标轴的交点，然后再作出选择．

解答： 解：∵一次函数解析式为y=x﹣1，

∴令x=0，y=﹣1．

令y=0，x=1，

即该直线经过点（0，﹣1）和（1，0）．

故选：D．

点评： 本题考查了一次函数图象．此题也可以根据一次函数图象与系数的关系进行解答．

7．（3分）（2014•抚顺）下列运算正确的是（　　）

A． ﹣2（a﹣1）=﹣2a﹣1 B． （﹣2a）2=﹣2a2 C． （2a+b）2=4a2+b2 D． 3x2﹣2x2=x2

考点： 完全平方公式；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方．.

分析： A、原式利用去括号法则计算得到结果，即可做出判断；

B、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；

C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；

D、原式合并得到结果，即可做出判断．

解答： 解：A、﹣2（a﹣1）=﹣2a+2，故A选项错误；

B、（﹣2a）2=4a2，故B选项错误；

C、（2a+b）2=4a2+4ab+b2，故C选项错误；

D、3x2﹣2x2=x2，故D选项正确．

故选：D．

点评： 此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

8．（3分）（2014•抚顺）甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为（　　）

A．+=2 B．﹣=2 C．+= D．﹣=

考点： 由实际问题抽象出分式方程．.

分析： 设原来的平均速度为x千米/时，高速公路开通后平均速度为1.5x千米/时，根据走过相同的距离时间缩短了2小时，列方程即可．

解答： 解：设原来的平均速度为x千米/时，

由题意得，﹣=2．

故选：B．

点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

9．（3分）（2014•抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（　　）

A． 逐渐增大 B． 不变 C． 逐渐减小 D． 先增大后减小

考点： 反比例函数系数k的几何意义．.

分析： 由双曲线y=（x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式即可判定．

解答： 解：设点P的坐标为（x，），

∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，

∴四边形OAPB是个直角梯形，

∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）•BO=（x+AO）•=+=+•，

∵AO是定值，

∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．

故选：C．

点评： 本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用点的坐标求出四边形OAPB的面积的函数关系式．

10．（3分）（2014•抚顺）如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是（　　）

考点： 动点问题的函数图象．.

分析： 作PH⊥AB于H，根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°，AH=BH=AB=1，则可判断△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，得到PA=PB=AH=，∠HPB=45°，由于∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，而∠CPD=45°，所以1≤x≤2，再证明∠2=∠BPM，这样可判断△ANP∽△BPM，利用相似比得=，则y=，所以得到y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．

解答： 解：作PH⊥AB于H，如图，

∵△PAB为等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°，AH=BH=AB=1，

∴△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，

∴PA=PB=AH=，∠HPB=45°，

∵∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N

而∠CPD=45°，

∴1≤AN≤2，即1≤x≤2，

∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°，∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°，

∴∠2=∠BPM，

而∠A=∠B，

∴△ANP∽△BPM，

∴=，即=，

∴y=，

∴y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．

故选A．

点评： 本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）（2014•抚顺）函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠2　．

考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．.

专题： 计算题．

分析： 求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．

解答： 解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，

解得：x≠2．

故答案为：x≠2．

点评： 本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．

12．（3分）（2014•抚顺）一组数据3，5，7，8，4，7的中位数是　6　．

考点： 中位数．.

分析： 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．

解答： 解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：3，4，5，7，7，8．

位于中间的两个数是5，7，

所以这组数据的中位数是（5+7）÷2=6．

故答案为：6．

点评： 本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

13．（3分）（2014•抚顺）把标号分别为a，b，c的三个小球（除标号外，其余均相同）放在一个不透明的口袋中，充分混合后，随机地摸出一个小球，记下标号后放回，充分混合后，再随机地摸出一个小球，两次摸出的小球的标号相同的概率是　　．

14．（3分）（2014•抚顺）将抛物线y=（x﹣3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为　y═（x﹣2）2+3　．

考点： 二次函数图象与几何变换．.

分析： 根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．

解答： 解：抛物线y=（x﹣3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为y=（x﹣3+1）2+1+2=（x﹣2）2+3，

即：y=（x﹣2）2+3．

故答案为：y=（x﹣2）2+3．

点评： 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

15．（3分）（2014•抚顺）如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H，点P是上的一点，则tan∠EPF的值是　1　．

考点： 切线的性质；正方形的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义．.

分析： 连接HF，EG，FG，根据切线的性质和正方形的性质可知：FH⊥EG，再由圆周角定理可得：∠EPF=∠OGF，而∠OGF=45°，问题得解．

解答： 解：连接HF，EG，FG，

∵⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H，

∴FH⊥EG，

∵OG=OF，

∴∠OGF=45°，

∵∠EPF=∠OGF，

∴tan∠EPF=tan45°=1，

故答案为：1．

点评： 本题考查了正方形的性质、切线的性质、圆周角定理以及锐角三角函数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．

16．（3分）（2014•抚顺）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为　　米．

考点： 解直角三角形的应用．.

分析： 过点P作PE⊥AB于点E，先求出∠APE及∠BPE的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答： 解：过点P作PE⊥AB于点E，

∵∠APC=75°，∠BPD=30°，

∴∠APE=15°，∠BPE=60°，

∴AE=PE•tan15°，BE=PE•tan60°，

∴AB=AE+BE=PE•tan15°+PE•tan60°=300，

即PE（tan15°+）=300，

解得PE=（米）．

故答案为：．

点评： 本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

17．（3分）（2014•抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=　70　度．

考点： 三角形内角和定理；多边形内角与外角．.

分析： 分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．

解答： 解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，

∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，

∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，

∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，

∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，

∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．

故答案为：70°．

点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．

18．（3分）（2014•抚顺）如图，已知CO1是△ABC的中线，过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC交BC于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC交BC于点E3，…，如此继续，可以依次得到点O4，O5，…，On和点E4，E5，…，En．则OnEn=　　AC．（用含n的代数式表示）

考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．.

专题： 规律型．

分析： 由CO1是△ABC的中线，O1E1∥AC，可证得=，，以此类推得到答案．

解答： 解：∵O1E1∥AC，

∴△BO1E1∽△BAC，

∴，

∵CO1是△ABC的中线，

∴=，

∵O1E1∥AC，

∴△O2O1E1∽△ACO2，

∴，

由O2E2∥AC，

可得：，

…

可得：OnEn=AC．

故答案为：．

点评： 本题主要考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的理解和掌握，能得出规律是解此题的关键．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．（10分）（2014•抚顺）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=（+1）0+（）﹣1•tan60°．

考点： 分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

专题： 计算题．

分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、负指数幂法则以及特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．

解答： 解：原式=•=•=x+1，

∵x=（+1）0+（）﹣1•tan60°=1+2，

∴当x=1+2时，

原式=2+2．

点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（12分）（2014•抚顺）居民区内的“广场舞”引起媒体关注，辽宁都市频道为此进行过专访报道．小平想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）求本次被抽查的居民有多少人？

（2）将图1和图2补充完整；

（3）求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；

（4）估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有多少人．

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．.

分析： （1）由A层次的人数除以所占的百分比求出调查的学生总数即可；

（2）由D层次人数除以总人数求出D所占的百分比，再求出B所占的百分比，再乘以总人数可得B层次人数，用总人数乘以C层次所占的百分比可得C层次的人数不全图形即可；

（3）用360°乘以C层次的人数所占的百分比即可得“C”层次所在扇形的圆心角的度数；

（4）求出样本中A层次与B层次的百分比之和，乘以4000即可得到结果．

解答： 解：（1）90÷30%=300（人），

答：本次被抽查的居民有300人；

（2）D所占的百分比：30÷300=10%

B所占的百分比：1﹣20%﹣30%﹣10%=40%，

B对应的人数：300×40%=120（人），

C对应的人数：300×20%=60（人），

补全统计图，如图所示：

（3）360°×20%=72°，

答：“C”层次所在扇形的圆心角的度数为72°；

（4）4000×（30%+40%）=2800（人），

答：估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有2800人．

点评： 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21．（12分）（2014•抚顺）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；

（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；

（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．

考点： 作图-旋转变换；待定系数法求一次函数解析式；作图-平移变换．.

专题： 作图题．

分析： （1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据网格结构找出点D、E、F绕点O按顺时针方向旋转90°后的对应点D1、E1、F1的位置，然后顺次连接即可；

（3）根据轴对称的性质确定出对称轴的位置，然后写出直线解析式即可．

解答： 解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）△D1E1F1如图所示；

（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，

对称轴为直线y=x．

点评： 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置．

22．（12分）（2014•抚顺）近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某学校计划在教室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备，已知：购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元．

（1）求每台A种、B种设备各多少万元？

（2）根据学校实际，需购进A种和B种设备共30台，总费用不超过30万元，请你通过计算，求至少购买A种设备多少台？

考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．.

分析： （1）根据题意结合“购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元”，得出等量关系求出即可；

（2）利用（1）中所求得出不等关系求出即可．

解答： 解：（1）设每台A种、B种设备各x万元、y万元，根据题意得出：

，

解得：，

答：每台A种、B种设备各0.5万元、1.5万元；

（2）设购买A种设备z台，根据题意得出：

0.5z+1.5（30﹣z）≤30，

解得：z≥15，

答：至少购买A种设备15台．

点评： 此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的关键语句，列出方程和不等式．

五、解答题（满分12分）

23．（12分）（2014•抚顺）如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的点，且BE=BA，以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M，过点B作⊙A的切线BF，切点为F．

（1）请判断直线BE与⊙A的位置关系，并说明理由；

（2）如果AB=10，BC=5，求图中阴影部分的面积．

考点： 矩形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算．.

分析： （1）直线BE与⊙A的位置关系是相切，连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，再证明AH=AD即可；

（2）连接AF，则图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积．

解答： 解：（1）直线BE与⊙A的位置关系是相切，

理由如下：连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，

∵S△ABE=BE•AH=AB•EG，AB=BE，

∴AH=EG，

∵四边形ADEG是矩形，

∴AD=EG，

∴AH=AD，

∴BE是圆的切线；

（2）连接AF，

∵BF是⊙A的切线，

∴∠BFA=90°

∵BC=5，

∴AF=5，

∵AB=10，

∴∠ABF=30°，

∴∠BAF=60°，

∴BF=AF=5，

∴图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积=×5×5﹣=．

点评： 本题考查了矩形的性质、切线的判定和性质、三角形和扇形面积公式的运用以及特殊角的锐角三角函数值，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．

六、解答题（满分12分）

24．（12分）（2014•抚顺）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

考点： 二次函数的应用．.

分析： （1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；

（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；

（3）先把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．

解答： 解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得

，

解得，

∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）；

（2）W=（x﹣10）（﹣2x+60）

=﹣2x2+80x﹣600，

对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，

∵10≤x≤18，

∴当x=18时，W最大，最大为192．

即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．

（3）由150=﹣2x2+80x﹣600，

解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）

答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．

点评： 本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．

七、解答题（满分12分）

25．（12分）（2014•抚顺）已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．

（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．

考点： 几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．.

专题： 综合题．

分析： （1）易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形，从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，进而可以证到AD=DC′=A′D．

（2）易证∠BCC′=∠BAA′，从而证到△BOC∽△DOA，进而证到△BOD∽△COA，由相似三角形的性质可得∠ADO=CBO，∠BDO=∠CAO，由∠ACB=90°就可证到∠ADB=90°，由BA=BA′就可得到AD=A′D．

（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，有∠AC′B=90°，易证Rt△ACB≌Rt△AC′B（HL），从而可以求出旋转角α的度数．

解答： 答：（1）AD=A′D．

证明：如图1，

∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，

∴BC=BC′，BA=BA′．

∵∠A′BC′=∠ABC=60°，

∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形．

∴∠BAA′=∠BC′C=60°．

∵∠A′C′B=90°，

∴∠DC′A′=30°．

∵∠AC′D=∠BC′C=60°，

∴∠ADC′=60°．

∴∠DA′C′=30°．

∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．

∴AD=DC′，DC′=DA′．

∴AD=A′D．

（2）AD=A′D

证明：连接BD，如图2，

由旋转可得：BC=BC′，BA=BA′，∠CBC′=∠ABA′．

∴=．

∴△BCC′∽△BAA′．

∴∠BCC′=∠BAA′．

∵∠BOC=∠DOA，

∴△BOC∽△DOA．

∴∠ADO=∠OBC，=．

∵∠BOD=∠COA，

∴△BOD∽△COA．

∴∠BDO=∠CAO．

∵∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°．

∴∠BDO+∠ADO=90°，即∠ADB=90°．

∵BA=BA′，∠ADB=90°，

∴AD=A′D．

（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，

则有∠AC′B=180°﹣∠A′C′B=90°．

在Rt△ACB和Rt△AC′B中，

．

∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．

∴∠ABC=∠ABC′=60°．

∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．

点评： 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性．

26．（14分）（2014•抚顺）如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC，点M是线段OA上的一个动点（不与点O、A重合），过点M作MN∥AC，交OC于点N，将△OMN沿直线MN折叠，点O的对应点O′落在第一象限内，设OM=t，△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S．

（1）求抛物线的解析式；

（2）①当点O′落在AC上时，请直接写出此时t的值；

②求S与t的函数关系式；

（3）在点M运动的过程中，请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）应用待定系数法即可求得解析式．

（2）①根据平行线的性质及轴对称的性质求得∠AO′M=∠O′AM，从而求得OM=AM=，进而求得t的值；②根据平行线分线段成比例定理求得ON==t，即可求得三角形的面积S=t2；

（3）根据直线BC的斜率即可求得直线OO′的解析式y=2x，设O′（m，2m），根据O′N=t先求得m与t的关系式，然后根据O′C=OB即可求得．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式：y=﹣x2+x+2；

（2）①如图1，∵MN∥AC，

∴∠OMN=∠O′AM，∠O′MN=AO′M

∵∠OMN=∠O′MN，

∴∠AO′M=∠O′AM，

∴O′M=AM，

∵OM=O′M，

∴OM=AM=t，

∴t===2；

②由抛物线的解析式：y=﹣x2+x+2可知C（0，2）

∵A（4，0）、C（0，2），

∴OA=4，OC=2，

∵MN∥AC，

∴ON：OM=OC：OA=2：4=1：2，

∴ON=OM=t，

∴S===t2．

（3）如图2，∵B（﹣1，0），C（0，2），

∴直线BC的斜率为2，

∵OO′∥BC，

∴直线OO′的解析式为y=2x，

设O′（m，2m），

∵O′N=ON=t，

∴O′N2=m2+（2m﹣t）2=（）2，

∴t=m，

∴O′C2=m2+（2﹣2m）2，

∵OB=O′C，

∴m2+（2﹣2m）2=（﹣1）2，

解得m1=1，m2=，

∴O′（1，2）或（，），

∵C（0，2），

∴当O′（1，2）时，以O、B、C、O′为顶点的四边形是平行四边形，此时t=，

当O′（，）时，以O、B、C、O′为顶点的四边形是梯形，此时t=．