2014年湖南省常德市中考数学真题试卷附答案
日期:2014-08-13 17:53

(单词翻译:单击)

一、选择题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)

1.等于

A.2 B. C. D.

2.如图1所示的几何体的主视图是

3.下列各数:,其中无理数的个数是

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.下列各式与是同类二次根式的是

A. B. C. D.

5.如图2,已知AC∥BD,∠CAE=30°,∠DBE=45,则∠AEB等于

A.30° B.45°

C.60° D.75°

6.某班体育委员记录了7位女生1分钟仰卧起坐的个数分别为28,38,38,35,35,38,48,这组数据的中位数和众数分别是

A.35,38 B.38,35 C.38,38 D.35,35

7.下面分解因式正确的是

A. B.

C. D.

8.阅读理解:如图3,在平面内选一定点,引一条有方向的射线,再选定一个单位长度,那么平面上任一点M的位置可由的度数的长度m确定,有序数对(,m)称为点的“极坐标”,这样建立的坐标系称为“极坐标系”.

应用:在图4的极坐标系下,如果正六边形的边长为2,有一边OA在射线上,则正六边形的顶点C的极坐标应记为

A.(60°,4) B.(45°,4) C.(60°,2) D.(50°,2)

图3 图4

二、填空题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)

9.要使式子在实数范围内有意义,则的取值范围是________________.

10.古生物学家发现350 000 000年前,地球上每年大约是400天,用科学记数法表示350 000 000=_______________.

11.下列关于反比例函数的三个结论:①它的图象经过点(7,3);②它的图象在每一个象限内,的增大而减小;③它的图象在二、四象限内.其中正确的是________________.

12.计算:=___________.


13.一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是________________.

14.如图5所示,AB为⊙O的直径,CD⊥AB,若AB=10,CD=8,则圆心O到弦CD的距离为_________.

15.如图6,已知△ABC三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,AD=AO,若∠BAC=,则∠BCA的度数为_________.


16.已知:计算: ———————;

猜想: ————————.


三、 (本大题2个小题,每小题5分,满分10分)

17.计算: 18.解方程:


四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)

19.解不等式组

20.小美周末来到公园,发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了一只兔子和一个有A、B、C、D、E五个出入口的兔笼,而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的. 规定①玩家只能将小兔从A、B两个出入口放入,②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开,则可获得一只价值5元小兔玩具,否则应付费3元.

(1)问小美得到小兔玩具的机会有多大?

(2)假设有100人次玩此游戏, 估计游戏设计者可赚多少元?


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五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分)

21.2014年5月12日,国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》,报告显示:我国农民工收入持续快速增长.某地区农民工人均月收入增长率如图7所示,并将人均月收入绘制成如图8所示的不完整的条形统计图.

图7 图8

根据以上统计图解答下列问题:

(1)2013年农民工人均月收入的增长率是多少?

(2)2011年农民工人均月收入是多少?

(3)小明看了统计图后说:“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了.”你认为小明的说法正确吗?请说明理由.


22.如图9,A,B,C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置,AB,BC表示连接缆车站的钢缆.已知A,B,C所处位置的海拔AA1,BB1,CC1,分别为160米,400米,1000米,钢缆AB,BC分别与水平线AA2,BB2所成的夹角为30°,45°,求钢缆AB和BC的总长度.(结果精确到1米)


六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)

23.如图10,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.

(1)求证:ED是⊙O的切线.

(2)当OA=3,AE=4时,求BC的长度.


24.在体育局的策划下,市体育馆将组织明星篮球赛,为此体育局推出两种购票方案(设购票张数为,购票总价为):

方案一: 提供8 000元赞助后,每张票的票价为50元;

方案二: 票价按图11中的折线OAB所表示的函数关系确定.

(1)若购买120张票时, 按方案一和方案二分别应付的购票款是多少?

(2)求方案二中的函数关系式;

(3)至少买多少张票时选择方案一比较合算?

七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)

25.如图12, 已知二次函数的图像过点O(0,0), A(4,0),B(),M是OA的中点.


(1)求此二次函数的解析式;

(2)设P是抛物线上的一点,过P作轴的平行线与抛物线交于另一点Q,要使四边形PQAM是菱形,求P点的坐标;

(3)将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折,得曲线OB′A(B′为B关于轴的对称点),在原抛物线轴的上方部分取一点C,连接CM,CM与翻折后的曲线OB′A交于点D,若△CDA的面积是△MDA面积的2倍,这样的点C是否存在?若存在求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.

26.如图13,14,已知四边形ABCD为正方形,在射线AC上有一动点P,作PE⊥AD(或延长线)于E,作PF⊥DC(或延长线)于F,作射线BP交EF于G.

(1)在图13中,设正方形ABCD的边长为2, 四边形ABFE的面积为y, AP=,求y关于的函数表达式.

(2)结论GB⊥EF对图13,图14都是成立的,请任选一图形给出证明;

(3)请根据图14证明:△FGC∽△PFB.

图13 图14


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2014年常德市初中毕业学业考试

数学参考答案及评分标准

一、选择题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)

1.A 2.B 3.B 4.D 5.D 6.C 7.C 8.A


二、填空题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)

9. 10.3.5×108 11.①② 12. 13.

14.3 15.60° 16.

注:16题对一空记2分,对二空记3分.


三、 (本大题2个小题,每小题5分,满分10分)

17.解:原式=4+14 …………………………………………4分

= …………………………………………5分

注:第一个等号每算对一个运算给1分,共4分

18.解:方程两边同乘以,得

……………………………2分

……………………………4分

经检验:是原方程的根

所以原方程的解是. ……………………………5分


四、 (本大题2个小题,每小题6分,满分12分)

19.解:解不等式①,得 ……………………………2分

解不等式②,得 ……………………………4分

所以不等式组的解集是 ……………………………6分

20.解:(1)画树状图(或列表略)

……………………………2分

小美得到小兔玩具的概率= ……………………………4分

(2)100人次玩此游戏,估计有人次会获得玩具,花费20×5=100元,估计将有100-20=80人次要付费,

估计游戏设计者可赚80×3-100=140(元). ……………………………6分


五、 (本大题2个小题,每小题7分,满分14分)

21.解:

(1)10% ……………………………2分

(2)2205元 ……………………………4分

(3)不正确 ……………………………5分

2012的人均月收入= …………7分

22.解:在Rt△ABD中, BD=400-160=240, ∠BAD=30° ……………………………1分

则AB=2BD=480 m.        ……………………………3分

在Rt△BCB2中, CB2=1000-400=600,∠CBB2=45° ……………………………4分

则CB=600m. ……………………………6分

所以AB+BC=480+600

≈1328 (米)

答:钢缆AB和BC的总长度约为1328米. ……………………………7分

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六、 (本大题2个小题,每小题8分,满分16分)

23.解:(1)证明:连结OD.

∵OD=OA,EA=ED,

∴∠3=∠4, ∠1=∠2 ……………2分

∴∠1+∠3=∠2+∠4 , 即∠ODE=∠OAE

∵AB⊥AC, ∠OAE=90°

∴∠ODE=90°∴DE是⊙O的切线. ………4分

(2)∵OA=3, AE=4 ∴OE=5 ………5分


又∵AB是直径, ∴AD⊥BC

∴∠1+∠5=90°,∠2+∠6=90°

又∵∠1=∠2 ∴∠5=∠6 ,∴DE=EC, ……………………………6分

∴E是AC的中点.

∴OE∥BC且 OE=BC

∴BC=10 ……………………………8分

24.解:(1)按方案一购120张票时,(元);

按方案二购120张票时,由图知(元)……………………2分

(2)当时,设,则,

. ……………………………3分

时, 设,

解得,

综合上面所得 …………………………5分

(3)由(1)知, 购120张票时,按方案一购票不合算.

即选择方案一比较合算时,应超过120. …………………………6分

设至少购买张票时选择方案一比较合算

则应有,

解得:(张)

∴至少买200张时选方案一. …………………………8分


七、 (本大题2个小题,每小题10分,满分20分)

25.解: (1)方法一:设二次函数的解析式为

……3分

方法二:∵图像过点O(0,0), A(4,0),

∴设,

又B()在曲线上,∴,∴

……………………………………3分

(2)∵M是OA的中点,OA=4,∴MA=2,

若四边形PQAM是菱形,则PQ=2,

又根据抛物线关于对称轴对称,即P、Q关于直线对称,

∴P的横坐标为1, Q的横坐标为3. ……………………………………5分

∴P的坐标为(1,, Q的横坐标为(3,.

而计算PM=,故所求的P(1,满足四边形PQAM是菱形 ………6分

(3)设存在这样的C点.设C、D的坐标分别为

∵二次函数在轴下方的部分向上翻折,得曲线OB′A,

∴曲线OB′A的解析式为……………………………………7分

若△CDA的面积是△MDA面积的2倍,

∴△CMA的面积是△MDA面积的3倍,

, ∴,即,

……………① …………………………8分

过D,C分别作DD1,CC1垂直于轴,

∴△MD1D∽△MC1C,

,∴

………………② …………………………9分

将②代入①得:

,代入二次函数的解析式得

故C的坐标为,或. ………………………10分

26.解:(1)∵EPAD,PFDC,∴四边形EPFD是矩形,

∵AP=

∴AE=EP=DF=

, …………………………1分

………………………………3分

(2)在图13中证明GB⊥EF.

①证法一:延长FP交AB于H,

∵PF⊥DC,PE⊥AD,∴PF⊥PE,PH⊥HB,

即∠BHP=90° ………………………………4分

∴在Rt△FPE与Rt△BHP中

因 ABCD是正方形,

∴易知PF=FC=HB,EP=PH

∴Rt△FPE≌Rt△BHP……………………………5分

∴∠PFE=∠PBH,

又∠FPG=∠BPH,

∴△FPG∽ △BPH,

∴∠FGP=∠BHP=90°,即GB⊥EF ………………………………6分

分析: 要GB⊥EF,只要∠5 +∠3=90°,而∠5 +∠4=90°,只要证∠3=∠4,

而∠2 =∠3, ,只要证∠4=∠2,而∠4=∠1,故只要∠1=∠2.

证法二: 如答案图13-2,连接PD,延长FP交AB于H,延长EP交BC于M,易知DC=BC, ∠DCP=∠BCP=45°,PC=PC,

∴△DPC≌△BPC……………………4分

∴∠DPC=∠BPC,即∠1+45°=45°+∠2,

∴∠1=∠2,……………………………5分

而∠1=∠4, ∠2 =∠3,

∴∠3=∠4,

而∠5 +∠4=90°,∴∠5 +∠3=90°,

∴∠PGE=180°-(∠5 +∠3)=90°,

即GB⊥EF.……………………………6分

注:在图14中证法与上面类似.

(3)证法一:

∵GB⊥EF,∴…①……7分

连接PD,在△DPC和△BPC中

∵DC=BC, ∠DCP=∠BCP=135°,PC=PC,

∴ △DPC≌△BPC,∴PD=PB. ………………………8分

而PD=EF, ∴EF=PB.

又∵GB⊥EF,∴

而PF=FC, ∴ ………………………9分

………②

∴由①②得△FGC∽△PFB. ………………………10分

证法二:

∵GB⊥EF,∴………① ………………………7分

又∵

取BF的中点M,则有:

∴B,C,G,F四点在以M为圆心,MB为半径的圆上. …………………………9分

………②

∴由①②得△FGC∽△PFB. …………………………10分

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