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第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共l0小题.每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的.
1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x≤3},则M∩N =
(A)[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]
【答案】A
【解析】因为,所以,故选A.
2.复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
【答案】D
【解析】因为,故复数z对应点在第四象限,选D.
3.若点(a,9)在函数的图象上,则tan=的值为
(A)0 (B) (C) 1 (D)
【答案】D
【解析】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.
4.曲线在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是
(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15
5.已知a,b,c∈R,命题“若=3,则≥3”,的否命题是
(A)若a+b+c≠3,则<3
(B)若a+b+c=3,则<3
(C)若a+b+c≠3,则≥3
(D)若≥3,则a+b+c=3
【答案】A
【解析】命题“若,则”的否命题是“若,则”,故选A.
6.若函数 (ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=
(A) (B) (C)2 (D)3
【答案】B
【解析】由题意知,函数在处取得最大值1,所以1=sin,故选B.
7.设变量x,y满足约束条件,则目标函数的最大值为
(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5
【答案】B
【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线平移至点A(3,1)时, 目标函数取得最大值为10,故选B.
8.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元
【答案】B
【解析】由表可计算,,因为点在回归直线上,且为9.4,所以, 解得,故回归方程为, 令x=6得65.5,选B.
9.设M(,)为抛物线C:上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交,则的取值范围是
(A)(0,2) (B)[0,2] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)
【答案】C
【解析】设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心, 抛物线C的准线方程为,由圆与准线相切知4<r,因为点M(,)为抛物线C:上一点,所以有,又点M(,)在圆 ,所以,所以,即有,解得或, 又因为, 所以, 选C.
的距离为,
【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得选C正确.
11.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
【答案】A
【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱;容易判断②③可以.
12.设,,,是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 (λ∈R),(μ∈R),且,则称,调和分割, ,已知点C(c,o),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是
(A)C可能是线段AB的中点
(B)D可能是线段AB的中点
(C)C,D可能同时在线段AB上
(D) C,D不可能同时在线段AB的延长线上
【答案】D
【解析】由 (λ∈R),(μ∈R)知:四点,,,在同一条直线上,
因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且, 故选D.
第II卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为 .
【答案】16
【解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为40=16.
14.执行右图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是
【答案】68
【解析】由输入l=2,m=3,n=5,计算得出y=278,第一次得新的y=173;第二次得新的y=68<105,输出y.
15.已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .
16.已知函数=当2<a<3<b<4时,函数的零点 .
【答案】5
【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.
三、解答题:本大题共6小题,共74分.
17.(本小题满分12分)
在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.
(I)求的值;
(II)若cosB=,
【解析】(1)由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.
(2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,又因为的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得:
,即,解得a=1,所以b=2.
18.(本小题满分12分)
甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(I)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
(II)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
【解析】(1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男),共9种;选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2),共4种,所以选出的2名教师性别相同的概率为.
(2)从报名的6名教师中任选2名,所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2),共15种;选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2),共6种,所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱台中,平面,底面是平行四边形,,,60°
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)证明:.
【解析】(Ⅰ)证明:因为,所以设
AD=a,则AB=2a,又因为60°,所以在中,由余弦定理得:,所以BD=,所以,故BD⊥AD,又因为
平面,所以BD,又因为, 所以平面,故.
(2)连结AC,设ACBD=0, 连结,由底面是平行四边形得:O是AC的中点,由四棱台知:平面ABCD∥平面,因为这两个平面同时都和平面相交,交线分别为AC、,故,又因为AB=2a, BC=a, ,所以可由余弦定理计算得AC=,又因为A1B1=2a, B1C1=, ,所以可由余弦定理计算得A1C1=,所以A1C1∥OC且A1C1=OC,故四边形OCC1A1是平行四边形,所以CC1∥A1O,又CC1平面A1BD,A1O平面A1BD,所以.
20.(本小题满分12分)
等比数列中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 | 第二列 | 第三列 | |
第一行 | 3 | 2 | 10 |
第二行 | 6 | 4 | 14 |
第三行 | 9 | 8 | 18 |
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足:,求数列的前项和.
【解析】(Ⅰ)由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.
(Ⅱ)因为=, 所以
=-=-=
-,所以=-=-.
21.(本小题满分12分)
某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.
(Ⅰ)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的.
【解析】(Ⅰ)因为容器的体积为立方米,所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).
(Ⅱ)因为+=,所以令得:; 令得:,所以米时, 该容器的建造费用最小.
22.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若∙,(i)求证:直线过定点;
(ii)试问点,能否关于轴对称?若能,求出此时的外接圆方程;若不能,请说明理由.
【解析】(Ⅰ)由题意:设直线,
由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上,所以,即,解得
,所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.
(Ⅱ)(i)证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙,所以,又由(Ⅰ)知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).
(ii)假设点,关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,
由(i)知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为,又因为,所以解得或6,又因为,所以舍去,即,此时k=1,m=1,E,AB的中垂线为2x+2y+1=0,圆心坐标为,G(,圆半径为,圆的方程为.综上所述, 点,关于轴对称,此时的外接圆的方程为.