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一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集则( )
A. B. C. D.
答案:B
2.若为虚数单位,且,则
A. B. C. D.
答案:C
3.的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
答案:A
4.设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
答案:D
5.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
由
附表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
参照附表,得到的正确结论是( )
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
答案:A
6.设双曲线的渐近线方程为则的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案:C
7.曲线在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
答案:B
8.已知函数若有则的取值范围为
A. B. C. D.
答案:B
二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题解分,共青团员5分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
(一)选做题(请考生在第9,10两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)
9.在直角坐标系中,曲线的参数方程为.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为则与的交点个数为 .
答案:2
10.已知某试验范围为[10,90],若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是 .
答案:40或60(只填一个也正确)
(二)必做题(11-16题)
11.若执行如图2所示的框图,输入则输出的数等于 .
答案:
解析:由框图功能可知,输出的数等于。
12.已知为奇函数, .
答案:6
13.设向量满足且的方向相反,则的坐标为 .
答案:
14.设在约束条件下,目标函数的最大值为4,则的值为 .
答案:3
15.已知圆直线
(1)圆的圆心到直线的距离为 .
(2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 .
答案:5,
(2)由(1)可知圆心到直线的距离为5,要使圆上点到直线的距离小于2,即与圆相交所得劣弧上,由半径为,圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为,故所求概率为.
16、给定,设函数满足:对于任意大于的正整数,
(1)设,则其中一个函数在处的函数值为 ;
(2)设,且当时,,则不同的函数的个数为 。
答案:(1),(2)16
(2)由题可知,则,而时,即,即,,由乘法原理可知,不同的函数的个数为。
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在中,角所对的边分别为且满足
(I)求角的大小;
(II)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.
18.(本题满分12分)
某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5;已知近20年X的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(I)完成如下的频率分布表:
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 | 70 | 110 | 140 | 160 | 200 | 220 |
频率 |
(II)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.
解:(I)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个,故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 | 70 | 110 | 140 | 160 | 200 | 220 |
频率 |
(II)
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.
19.(本题满分12分)
如图3,在圆锥中,已知的直径的中点.
(I)证明:
(II)求直线和平面所成角的正弦值.
(II)由(I)知,又所以平面在平面中,过作则连结,则是上的射影,所以是直线和平面所成的角.
在
在
20.(本题满分13分)
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.
(I)求第n年初M的价值的表达式;
(II)设若大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年初对M更新,证明:须在第9年初对M更新.
解析:(I)当时,数列是首项为120,公差为的等差数列.
当时,数列是以为首项,公比为为等比数列,又,所以
因此,第年初,M的价值的表达式为
(II)设表示数列的前项和,由等差及等比数列的求和公式得
当时,
当时,
因为是递减数列,所以是递减数列,又
所以须在第9年初对M更新.
21.已知平面内一动点到点F(1,0)的距离与点到轴的距离的等等于1.
(I)求动点的轨迹的方程;
(II)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.
(II)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设为,则的方程为.
由,得
设则是上述方程的两个实根,于是
.
因为,所以的斜率为.
设则同理可得
故
当且仅当即时,取最小值16.
22.(本小题13分)
设函数
(I)讨论的单调性;
(II)若有两个极值点,记过点的直线的斜率为,问:是否存在,使得若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.