第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.

（1）已知全集U=R，集合M={x||x-1|2},则=

（A）{x|-1<x<3} (B){x|-1x3}

(C){x|x<-1或x>3} (D){x|x-1或x3}

(2) 已知（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=

(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3

(3)在空间，下列命题正确的是

（A）平行直线的平行投影重合

（B）平行于同一直线的两个平面平行

（C）垂直于同一平面的两个平面平行

（D）垂直于同一平面的两条直线平行

（4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=

(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3

(5)已知随机变量Z服从正态分布N（0，）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=

(A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977

(6)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为

(A) (B) (C) (D)2

(7)由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为

（A） (B) (C) (D)

（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有

（A）36种 （B）42种 (C)48种 （D）54种

（9）设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的

（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（10）设变量x、y满足约束条件,则目标函数z=3x－4y的最大值和最小值分别为

（A）3，－11 （B) －3, －11

(C)11, －3 (D)11,3

(11)函数y=2x -的图像大致是

(12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令，下面说法错误的是

（A）若a与b共线，则a⊙b＝0

（B）a⊙b=b⊙a

(C)对任意的R，有（a）⊙b=（a⊙b）

(D) （a⊙b）2+(a·b)2=

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

（13）执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 ．

（14）若对任意，恒成立，则的取值范围是__________．

（15）在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，，则角的大小为_________．

（16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为_________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

（17）（本小题满分12分）

已知函数，其图象过点（,）．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在[0, ]上的最大值和最小值．

（18）（本小题满分12分）

已知等差数列满足：，．的前n项和为．

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．

（19）（本小题满分12分）

如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．

（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；

（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．

（20）（本小题满分12分）

某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：

① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；

② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；

③ 每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.

假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.

(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；

（Ⅱ）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学的.

（21）（本小题满分12分）

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

(22)(本小题满分14分)

已知函数.

(Ⅰ)当时，讨论的单调性；

（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使

，求实数取值范围.

山东理数答案

一．选择题

1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.D 7.A 8.B 9.C 10.A 11.A 12.B

二．填空题

13. 14. 15. 16.

三.解答题

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，可知

因为 ，

所以 ，

因此 ，

故 。

所以 在上的最大值和最小值分别为和.

（18）本小题主要考查等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力。

解：（Ⅰ） 设等差数列的首项为，公差为d

所以数列的前n项和=

(19)本小题主要考察空间中的基本关系，考察线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和集合体体积的计算，考查识图能力、空间想象力和逻辑推理能力，满分12分

（｜）证明：

在△ABC中，因为∠ABC=45°，BC=4，AB=，

所以AC2=AB+BC2-2AB·BC·cos45°=8

因此 AC=，

故BC2=AC2+AB2,

所以∠BAC=90°----------------------------------------------------

又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，

所以CD⊥PA,CD⊥AC,

又 PA,AC 平面PAC,且PAAC=A，

所以 CD⊥PAC,又 CD平面PCD，

所以 平面PCD⊥平面PAC--------------------------------------------

则,

又 ，

所以

解法二：

由（｜）知AB,AC,AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于△PAB是等腰三角形，

所以 PA=AB=,

又AC=,

所以，

因此直线PB与平面PCD所成的角为

（Ⅲ）因为AC∥ED,CD⊥AC，

所以 四边形ACDE是直角梯形，

因为 AE=2,∠ABC=45°，AE∥BC，

所以 ∠BAE=135°，

因此 ∠CAE=45°,

故 CD=AE·sin45°==2×=，

所以

又 PA⊥平面ABCDE，

所以

（20）本小题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查对立事件、独立事件的概率和求解方法，考查用概率知识解决实际问题的能力.

解：设分别为第一、二、三、四个问题.用表示甲同学第个问题回答正确，用表示甲同学第个问题回答错误，则与是对立事件.由题意得

所以

（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件，

则

（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为：.

由于每题答题结果相互独立，

所以

因此 随机变量的分布列为

所以

.

（21）本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质。考查直线和椭圆的位置关系，考查坐标化、定值和存在性问题，考查数行结合思想和探求问题的能力。

解（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a+2c=4(+1)

所以a=2，c=2，

又=，因此b=2。

故 椭圆的标准方程为

由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。

所以m=2，

因此 双曲线的标准方程为

（Ⅱ）设A（，），B（），P（），

则=，。

因为点P在双曲线上，所以。

因此，

即

同理可得

.

则 ，

又 ，

所以 .

故

因此 存在，使恒成立.

（22）本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。

解：（Ⅰ）因为，

所以 ，

令 ，

①当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减；

②当，

时，，此时，函数单调递减；

时，此时，函数 单调递增；

时，，此时，函数单调递减；

③当时，由于，

，,此时，函数 单调递减；

时，，此时，函数单调递增.

综上所述：

（Ⅱ）因为a=，由（Ⅰ）知，=1，=3，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。

由于“对任意，存在，使”等价于

“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）

又=，，所以

①当时，因为，此时与（*）矛盾

②当时，因为，同样与（*）矛盾

③当时，因为，解不等式8-4b，可得

综上，b的取值范围是。