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一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。
3.曲线在点(1,2)处的切线方程为
(A) (B) (C) (D)
【命题意图】本题考查利用导数求函数的切线,是容易题.
【解析】∵=,∴切线斜率为3,则过(1,2)的切线方程为,即,故选A.
【答案】A
4.从一堆苹果中任取10只称得它的质量如下(单位:克)
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为
(A)0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5
6.设=,=,=,则,,的大小关系是
(A) << (B) << (C) << (D) <<
【命题意图】本题考查对数函数的图像与性质,是简单题.
【解析】∵与在(0,+∞)都是减函数,且0<<1,0<<1,
∴=>0,=>0,
又∵在(0,+∞)上是增函数,且0<<1,∴=<0,即最小,只有B符合,故选B.
【答案】B
7.若函数=(>2)在=处有最小值,则=
(A) (B) (C)3 (D)4
9.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点,左焦点为在以才为之直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为
(A) (B) (C) (D)
【命题意图】本题考查双曲线的性质、点与圆的位置关系,考查学生转化与化归能力、解不等式能力,难度较大.
【解析】双曲线的左准线为=,渐近线方程为,联立解得(,),
∴=,根据题意得,<,即,即,即,即,即,又>1,,1<<,故选B.
【答案】B
10.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形,点、、、、均在半径为1的同一球面上,则底面的中心与顶点之间的距离为
(A) (B) (C) (D)
【命题意图】本题考查四棱锥与其外接球的相关知识,考查空间想象能力、转化化归能力以及运算求解能力,是难题.
【解析】如图,设四棱锥的外接球球心为,则⊥面,在中,=1,,∴=,
∵设四棱锥的高=,∴∥且=,
取的中点,连结,则四边形为矩形,∴⊥,=,在中,=1,则=,∴=,
在中,== ,故选A.
【答案】A
二.填空题,本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡相应位置上
11. 的展开式中的系数是___________.
14.从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动,则所选3位中有甲但没有乙的概率为_________
【命题意图】本题考查组合计算和等可能事件的概率计算,是中档题.
【解析】10位同学任选3人共有种选法,其中含甲不含乙共有种选法,故所选3位中有甲但没有乙的概率为=.
【答案】
15.若实数,,满足=,=,则的最大值是 .
【命题意图】本题考查基本不等式的应用,指数、对数等相关知识,考查了转化与化归思想,是难题.
【解析】∵=≥,∴≥4,
又∵=,∴=,∴=≥4,即≥4,即≥0,∴≤,∴≤=,∴的最大值为.
【答案】
三、解答是:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分.)设{}是公比为正数的等比数列,=2,=.
(Ⅰ)求{}的通项公式;
(Ⅱ)设{}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{}的前项和.
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和等比数列、等差数列的前项和公式,考查函数与方程思想和运算求解能力,是简单题.
【解析】(Ⅰ)设等比数列{}的公比为,由=2,=知,,
即,解得=2或=-1(舍去),∴=2,
∴{}的通项公式=();
(Ⅱ) ==.
17.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)某市公租房的房源位于、、三个片区.设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.求该市的4位申请人中:
(Ⅰ)没有人申请A片区房源的概率;
(Ⅱ)每个片区的房源都有人申请的概率.
【命题意图】本题考查应用排列组合知识和两个计数原理求等可能事件的概率、独立重复试验,考查运用概率知识分析解决问题能力,是中档题.
【解析】(Ⅰ) (法1)设事件A表示“没有人申请A片区房源”所有可能的申请方式有种,其中没有人申请A片区房源方式有种,则没有人申请A片区房源的概率为==.
(法2)设“申请A片区房源”为事件A,
∵每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,
∴=,
对每位申请房源作为一次试验,应为每人申请房源相互独立,4人申请房源可以看成4次独立重复试验,故没人申请A片房源的概率为==;
(Ⅱ)记“每个片区的房源都有人申请”为事件B,所有可能的申请方式有种,其中每个片区的房源都有人申请的方式有种,
∴每个片区的房源都有人申请的概率为==.
18. (本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分.)设函数=().
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)若函数的图象按=(,)平移后得到函数的图象,求在[0,]上的最大值.
【命题意图】本题考查诱导公式、两角和与差的正余弦公式、周期公式、向量平移、三角函数在某个区间上的最值求法和运算求解能力,是中档题.
【解析】(Ⅰ) ==
=,
∴的最小正周期为==.
(Ⅱ)依题意得==
=
当∈[0,]时,∈,∴≤≤,
∴≤≤, ∴在[0,]的最大值为.
19. (本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)
设=的导数为,若函数=的图象关于直线=对称,且=0.
(Ⅰ)求实数,的值;
(Ⅱ)求函数的极值.
【命题意图】本题考查考查利用导数求函数的极值、二次函数的图像与性质,考查方程与不等式思想、转化和化归思想,属容易题.
【解析】(Ⅰ)=,
∵若函数=的图象关于直线=对称,且=0,
∴=且,解得=3,=-12.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知=,
==,
的变化如下:
(-∞,-2) | -2 | (-2,1) | 1 | (1,+∞) | |
+ | 0 | - | 0 | + | |
极大值21 | 极小值-6 |
∴当=-2时,取极大值,极大值为21,当=1时,取极小值,极小值为-6.
20.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分.如图,在四面体中,平面⊥平面,⊥,==2,==1.
(Ⅰ)求四面体的体积;
(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值.
【命题意图】本题考查简单几何体的体积计算、二面角的求法,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及转化与化归思想,是中档题.
【解析】(Ⅰ) 如图,过作⊥于,∵平面⊥平面,
∴⊥平面,则是四面体的面上的高,
设中点为,∵==2,∴⊥,
∴===,
∵=, ∴==,
在中,==,∴==,
∴四棱锥的体积==.
(Ⅱ)(几何法)过作⊥与,连结,由(Ⅰ)知⊥面,
由三垂线定理知⊥,∴为二面角的平面角,
在中,===,
在中,∥, ∴, ∴==,
在中,==.
21. (本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分.)如图,椭圆的中心为原点,离心率=,一条准线的方程是=.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点满足:=,其中,是椭圆上的点,直线与的斜率之积为.问:是否存在定点,使得与点到直线:=的距离之比为定值?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由.
【命题意图】本题考查了椭圆标准方程的求解与椭圆的定植问题,考查学生综合运用知识解决问题能力、运算求解能力和探究问题能力,难度较大.
【解析】(Ⅰ) ∵==,=,解得=2,=,∴==2,
∴椭圆的标准方程为;
(Ⅱ)设P(,),,,则由=,得
==,
∴=,=,
∵,在椭圆上,∴,,
∴==
==.
设,分别表示直线,的斜率,由题设条件知,==,
∴, ∴=20,
∴点在椭圆上,该椭圆的右焦点为(,0),离心率=,右准线为:=,
∴根据椭圆的第二定义,存在定点(,0),使得与点到直线的距离之比为定值.