一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

3.曲线在点（1，2）处的切线方程为

(A) 　　　(B) (C) (D)

【命题意图】本题考查利用导数求函数的切线，是容易题.

【解析】∵=,∴切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为，即，故选A.

【答案】A

4.从一堆苹果中任取10只称得它的质量如下（单位：克）

125 120 122 105 130 114 116 95 120 134

则样本数据落在[114.5,124.5）内的频率为

(A)0.2　　　　(B)0.3 (C)0.4 (D)0.5

6.设=,=,=,则,,的大小关系是

(A) ＜＜　　　　(B) ＜＜ (C) ＜＜　　　　(D) ＜＜

【命题意图】本题考查对数函数的图像与性质，是简单题.

【解析】∵与在（0，+∞）都是减函数，且0＜＜1,0＜＜1，

∴=＞0，=＞0，

又∵在（0，+∞）上是增函数，且0＜＜1，∴=＜0，即最小，只有B符合，故选B.

【答案】B

7.若函数=（＞2）在=处有最小值，则=

（A） （B） （C）3 （D）4

9.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点为在以才为之直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为

（A） （B） （C） （D）

【命题意图】本题考查双曲线的性质、点与圆的位置关系，考查学生转化与化归能力、解不等式能力，难度较大.

【解析】双曲线的左准线为=，渐近线方程为，联立解得（，），

∴=，根据题意得，＜，即，即，即，即，即，又＞1，,1＜＜，故选B.

【答案】B

10.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、、、、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为

（A） （B） （C） （D）

【命题意图】本题考查四棱锥与其外接球的相关知识，考查空间想象能力、转化化归能力以及运算求解能力，是难题.

【解析】如图，设四棱锥的外接球球心为，则⊥面，在中，=1，,∴=，

∵设四棱锥的高=，∴∥且=，

取的中点，连结，则四边形为矩形，∴⊥，=，在中，=1，则=，∴=，

在中，== ,故选A.

【答案】A

二.填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上

11. 的展开式中的系数是___________.

14.从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为_________

【命题意图】本题考查组合计算和等可能事件的概率计算，是中档题.

【解析】10位同学任选3人共有种选法,其中含甲不含乙共有种选法，故所选3位中有甲但没有乙的概率为=.

【答案】

15.若实数，，满足=,=，则的最大值是 .

【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题.

【解析】∵=≥，∴≥4，

又∵=，∴=，∴=≥4，即≥4，即≥0，∴≤，∴≤=，∴的最大值为.

【答案】

三、解答是：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)设{}是公比为正数的等比数列，=2,=.

(Ⅰ)求{}的通项公式;

(Ⅱ)设{}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}的前项和.

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和等比数列、等差数列的前项和公式，考查函数与方程思想和运算求解能力，是简单题.

【解析】(Ⅰ)设等比数列{}的公比为，由=2,=知，，

即，解得=2或=－1（舍去），∴=2，

∴{}的通项公式=（）；

(Ⅱ) ==.

17.(本小题满分13分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问7分.)某市公租房的房源位于、、三个片区.设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的.求该市的4位申请人中:

(Ⅰ)没有人申请A片区房源的概率;

(Ⅱ)每个片区的房源都有人申请的概率.

【命题意图】本题考查应用排列组合知识和两个计数原理求等可能事件的概率、独立重复试验，考查运用概率知识分析解决问题能力，是中档题.

【解析】(Ⅰ) (法1)设事件A表示“没有人申请A片区房源”所有可能的申请方式有种，其中没有人申请A片区房源方式有种，则没有人申请A片区房源的概率为==.

（法2）设“申请A片区房源”为事件A，

∵每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，

∴=,

对每位申请房源作为一次试验，应为每人申请房源相互独立，4人申请房源可以看成4次独立重复试验，故没人申请A片房源的概率为==；

(Ⅱ)记“每个片区的房源都有人申请”为事件B,所有可能的申请方式有种，其中每个片区的房源都有人申请的方式有种，

∴每个片区的房源都有人申请的概率为==.

18. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)设函数=（）.

(Ⅰ)求的最小正周期;

(Ⅱ)若函数的图象按=（，）平移后得到函数的图象,求在[0，]上的最大值.

【命题意图】本题考查诱导公式、两角和与差的正余弦公式、周期公式、向量平移、三角函数在某个区间上的最值求法和运算求解能力，是中档题.

【解析】(Ⅰ) ==

=，

∴的最小正周期为==.

(Ⅱ)依题意得==

=

当∈[0,]时，∈，∴≤≤，

∴≤≤， ∴在[0,]的最大值为.

19. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)

设=的导数为,若函数=的图象关于直线=对称，且=0.

(Ⅰ)求实数,的值;

(Ⅱ)求函数的极值.

【命题意图】本题考查考查利用导数求函数的极值、二次函数的图像与性质，考查方程与不等式思想、转化和化归思想，属容易题.

【解析】(Ⅰ)=,

∵若函数=的图象关于直线=对称，且=0,

∴=且，解得=3，=－12.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知=，

==，

的变化如下：

∴当=－2时，取极大值，极大值为21，当=1时，取极小值，极小值为－6.

20.(本小题满分12分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问6分.如图，在四面体中，平面⊥平面，⊥，==2，==1.

(Ⅰ)求四面体的体积;

(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值.

【命题意图】本题考查简单几何体的体积计算、二面角的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及转化与化归思想，是中档题.

【解析】(Ⅰ) 如图，过作⊥于，∵平面⊥平面，

∴⊥平面，则是四面体的面上的高，

设中点为，∵==2，∴⊥，

∴===,

∵=, ∴==,

在中，==,∴==,

∴四棱锥的体积==.

(Ⅱ)（几何法）过作⊥与，连结，由(Ⅰ)知⊥面，

由三垂线定理知⊥，∴为二面角的平面角，

在中，===,

在中，∥， ∴, ∴==,

在中，==.

21. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问8分.)如图，椭圆的中心为原点，离心率=,一条准线的方程是=.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)设动点满足:=,其中,是椭圆上的点，直线与的斜率之积为.问:是否存在定点,使得与点到直线：=的距离之比为定值？若存在,求的坐标;若不存在,说明理由.

【命题意图】本题考查了椭圆标准方程的求解与椭圆的定植问题，考查学生综合运用知识解决问题能力、运算求解能力和探究问题能力，难度较大.

【解析】(Ⅰ) ∵==,=,解得=2，=，∴==2，

∴椭圆的标准方程为；

(Ⅱ)设P(，)，，，则由=，得

==，

∴=，=，

∵,在椭圆上，∴，，

∴==

==.

设,分别表示直线，的斜率，由题设条件知，==，

∴， ∴=20，

∴点在椭圆上，该椭圆的右焦点为(,0),离心率=，右准线为：=，

∴根据椭圆的第二定义，存在定点(,0)，使得与点到直线的距离之比为定值.