一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线与圆的位置关系为（ ）

A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离

2．已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）

A． B． C． D．

3．的展开式中的系数是（ ）

A．16 B．70 C．560 D．1120

4．已知，则向量与向量的夹角是（ ）

A． B． C． D．

5．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）

A． B． C． D．

7．设的三个内角，向量，，若，则=（ ）

A． B． C． D．

8．已知，其中，则的值为（ ）

A．6 B． C． D．

9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

10．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．

11．若，，则 ___________．

12．若是奇函数，则 __________．

13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有__________种（用数字作答）．

14．设，，，，则数列的通项公式= __________．

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）

设函数．

（Ⅰ）求的最小正周期．

（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．

17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：

（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；

（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．

18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）

设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：

（Ⅰ）点到平面的距离；

（Ⅱ）二面角的大小．

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．

（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；

（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．

（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；

（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；

2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题（理工农医类）答案

一、选择题：每小题5分，满分50分 .

(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C

(7) C (8) D (9) B (10) B.

二．填空题：每小题5分，满分25分 .

(11) (0,3) (12) (13) 36 (14) (15) (1, )

三．解答题：满分75分 .

(16)（本小题13分）

解：（Ⅰ）=

=

=

故的最小正周期为T = =8

(Ⅱ)解法一：

在的图象上任取一点，它关于的对称点 .

由题设条件，点在的图象上，从而

==

当时，，因此在区间上的最大值为

解法二：

因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值

由（Ⅰ）知＝

当时，

因此在上的最大值为

.

(17)（本小题13分）

解：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2

　　表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2

　　则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

, .

据此算得

　　 , , .

, , .

(Ⅰ) 所求概率为

　　　　　.

(Ⅱ) 解法一：

　　　　的所有可能值为0，1，2，3，4，且

,

,

= ,

.

.

综上知有分布列

从而，的期望为

（株）

解法二：

分布列的求法同上

令分别表示甲乙两种树成活的株数，则

故有

从而知

18、（本小题13分）

解（Ⅰ）因

又在x=0处取得极限值，故从而

由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知

该切线斜率为2，即

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

令

（1）当

（2）当

K=1时，g（x）在R上为增函数

（3）方程有两个不相等实根

当函数

当时，故上为减函数

时，故上为增函数

（19）（本小题12分）

解法一：

（Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。

因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中

(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.

由于E为BS边中点，故,在中，

,因，又

故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得

因此而在中，

在中，可得，故所求二面角的大小为

解法二：

（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面

即点A在xoz平面上，因此

又

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面

yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.

(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.

ΔBCS为直角三角形 ,

知

设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .

在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD .

由故

①　

又点G在直线CD上，即，由=（），则有　②

联立①、②，解得G＝　,

故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .

因为=，,所以

故所求的二面角的大小为 .

(20)（本小题12分）

解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）.

设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 .

又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,

从而，当且仅当，即点M的坐标为　时上式取等号，的最大值为4　.

（II）如图（20）图，设

.因为，故

①

因为

所以 . ②

记P点的坐标为，因为P是BQ的中点

所以

由因为 ，结合①，②得

故动点P的估计方程为

（21）（本小题12分）

解：（I）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故

解得或（舍去）。因此

又 。解得

从而当时，

当时，由是公比为d的等比数列得

因此

（II）由题意得

有①得 ④

由①，②，③得，

故. ⑤

又，故有

.⑥

下面反证法证明：

若不然，设

若取即，则由⑥得，而由③得

得由②得而

④及⑥可推得（）与题设矛盾

同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数

由均值不等式得

由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而

又，由④和⑥得

因此由⑤得