一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在括号里）

1．（3分）（2013•连云港）下列各数中是正数的为（　　）

A． 3 B． ﹣ C． ﹣ D． 0

考点： 实数．

分析： 根据正数大于0，负数小于0即可选出答案．

解答： 解：3是正数，﹣，﹣是负数，0既不是正数，也不是负数，

故选：A．

点评： 此题主要考查了实数，关键是掌握正数大于0．

2．（3分）（2013•连云港）计算a2•a4的结果是（　　）

A． a8 B． a6 C． 2a6 D． 2a8

考点： 同底数幂的乘法

分析： 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an=am+n计算即可．

解答： 解：a2•a4=a2+4=a6．

故选B．

点评： 主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

3．（3分）（2013•连云港）将一包卷筒卫生纸按如图所示的方式摆放在水平桌面上，则它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

解答： 解：从几何体的上面看可得两个同心圆，

故选：D．

点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

4．（3分）（2013•连云港）为了传承和弘扬港口文化，我市将投入6000万元建设一座港口博物馆，其中“6000万”用科学记数法表示为（　　）

A． 0.6×108 B． 6×108 C． 6×107 D． 60×106

考点： 科学记数法—表示较大的数

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：将6000万用科学记数法表示为：6×107．

故选：C．

点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．（3分）（2013•连云港）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．

考点： 同角三角函数的关系．

分析： 根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．

解答： 解：∵sin2A+cos2A=1，即（）2+cos2A=1，

∴cos2A=，

∴cosA=或﹣（舍去），

∴cosA=．

故选：D．

点评： 此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α+cos2α=1．

6．（3分）（2013•连云港）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（　　）

A． a＞b B． |a|＞|b| C． ﹣a＜b D． a+b＜0

考点： 实数与数轴．

分析： 根据数轴确定出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答： 解：根据数轴，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，

A、应为a＜b，故本选项错误；

B、应为|a|＜|b|，故本选项错误；

C、∵a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，

∴a+b＜0，

∴﹣a＜b正确，故本选项正确；

D、a+b＞0故本选项错误．

故选C．

点评： 本题考查了实数与数轴的关系，根据数轴确定出a、b的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．

7．（3分）（2013•连云港）在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%，②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是（　　）

A． ①②③ B． ①② C． ①③ D． ②③

考点： 利用频率估计概率

分析： 根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，分别分析得出即可．

解答： 解：∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，

∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1﹣20%﹣50%=30%，故此选项正确；

∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率，

∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；

③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误；

故正确的有①②．

故选：B．

点评： 此题主要考查了利用频率估计概率，根据频率与概率的关系得出是解题关键．

8．（3分）（2013•连云港）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）

A． 1 B． C． 4﹣2 D． 3﹣4

考点： 正方形的性质．

分析： 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠ADE，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．

解答： 解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，

∵∠BAE=22.5°，

∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，

在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，

∴∠DAE=∠ADE，

∴AD=DE=4，

∵正方形的边长为4，

∴BD=4，

∴BE=BD﹣DE=4﹣4，

∵EF⊥AB，∠ABD=45°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．

故选C．

点评： 本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．

二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上）

9．（3分）（2013•连云港）计算：=　3　．

考点： 二次根式的乘除法．

分析： 根据二次根式的性质解答．

解答： 解：（）2=×=3．

点评： 考查了二次根式的性质（）2=a（a≥0）．

10．（3分）（2013•连云港）使式子有意义的x取值范围是　x≥﹣1　．

考点： 二次根式有意义的条件

专题： 计算题．

分析： 本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．

解答： 解：根据题意得：x+1≥0，

解得x≥﹣1．

故答案为：x≥﹣1．

点评： 本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握二次根式的意义，被开方数是非负数．

11．（3分）（2013•连云港）分解因式：4﹣x2=　（2﹣x）（2+x）　．

考点： 因式分解-运用公式法

分析： 直接利用平方差公式进行分解即可．

解答： 解：4﹣x2=（2﹣x）（2+x），

故答案为：（2﹣x）（2+x）．

点评： 此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

12．（3分）（2013•连云港）若正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可以是　﹣2　．（写出一个即可）

考点： 正比例函数的性质．

专题： 开放型．

分析： 根据正比例函数的性质可得k＜0，写一个符合条件的数即可．

解答： 解：∵正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而减小，

∴k＜0，

则k=﹣2．

故答案为：﹣2．

点评： 此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．

13．（3分）（2013•连云港）据市房管局统计，今年某周我市8个县区的普通住宅成交量如下表：

则该周普通住宅成交量的中位数为　80　套．

考点： 中位数

分析： 根据中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可算出答案．

解答： 解：把数据从小到大排列：50，53，56，72，88，101，105，110，位置处于中间的数是72和88，故中位数是（72+88）÷2=80，

故答案为：80．

点评： 此题主要考查了中位数，关键是掌握中位数的定义，以及算法．

14．（3分）（2013•连云港）如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1=　30°　．

考点： 平行线的性质；多边形内角与外角．

分析： 作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案．

解答： 解：作出辅助线如图：

则∠2=42°，∠1=∠3，

∵五边形是正五边形，

∴一个内角是108°，

∴∠3=180°﹣∠2﹣∠3=30°，

∴∠1=∠3=30°．

故答案为：30°．

点评： 本题考查了平行线的性质，注意掌握两直线平行：内错角相等、同位角相等．

15．（3分）（2013•连云港）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=35°，则∠OAB=　55°　．

考点： 圆周角定理．

分析： 由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，根据∠ACB的度数求出∠AOB的度数，再由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形内角和定理即可求出∠OAB的度数．

解答： 解：∵∠ACB与∠AOB都对，

∴∠AOB=2∠ACB=70°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA==55°．

故答案为：55°

点评： 此题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．

16．（3分）（2013•连云港）点O在直线AB上，点A1、A2、A3，…在射线OA上，点B1、B2、B3，…在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为一个单位长度，一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度，按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为　（101+5050π）　秒．

考点： 规律型：图形的变化类

专题： 规律型．

分析： 观察动点M从O点出发到A4点，得到点M在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2）单位长度，然后可得到动点M到达A100点处运动的单位长度=4×25+（π•1+π•2+…+π•100），从点A100到点A101运动一个单位长度，然后除以速度即可得到动点M到达A101点处所需时间．

解答： 解：动点M从O点出发到A4点，在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2）单位长度，

∵100=4×25，

∴动点M到达A100点处运动的单位长度=4×25+（π•1+π•2+…+π•100）=100+5050π，

∴动点M到达A101点处运动的单位长度=100+1+5050π，

∴动点M到达A101点处运动所需时间=（101+5050π）÷1=（101+5050π）秒．

故答案为：（101+5050π）．

点评： 此题主要考查了图形的变化类：通过特殊图象找到图象变化，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．也考查了圆的周长公式．

三、解答题（本大题共11小题，共102分。请在指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）（2013•连云港）计算（）﹣1+（﹣1）0+2×（﹣3）

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂

分析： 根据零指数幂：a0=1（a≠0），以及负整数指数幂运算法则得出即可．

解答： 解：（）﹣1+（﹣1）0+2×（﹣3）

=5+1﹣6，

=0．

点评： 此题主要考查了实数运算，本题需注意的知识点是：负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，任何不等于0的数的0次幂是1．

18．（6分）（2013•连云港）解不等式组．

考点： 解一元一次不等式组．

分析： 首先分别解出两个不等式的解集，再根据：大小小大取中间确定不等式组的解集即可．

解答： 解：，

由①得：x＜6，

由②得：x≥3，

故不等式组的解集为：3≤x＜6．

点评： 此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确解出两个不等式，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

19．（6分）（2013•连云港）先化简，再求值：（﹣）÷，其中m=﹣3，n=5．

考点： 分式的化简求值

分析： 将原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后再利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，即可得到原式的值．

解答： 解：（﹣）÷，

=÷

=×

=×

=

将m=﹣3，n=5代入原式得：

原式===．

点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找出公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．

20．（8分）（2013•连云港）某校为了解“理化生实验操作”考试的备考情况，随机抽取了一部分九年级学生进行测试，测试结果分为“优秀”、“良好”、“合格”、“不合格”四个等级，分别记为A、B、C、D．根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图．

（1）本次测试共随机抽取了　60　名学生．请根据数据信息补全条形统计图；

（2）若该校九年级的600名学生全部参加本次测试，请估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图

分析： （1）根据各等级频数=总数×各等级所占百分比即可算出总数；再利用总数减去各等级人数可得A等级人数，再补图即可；

（2）利用样本估计总体的方法，用总人数600乘以样本中测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生所占百分比即可．

解答： 解：（1）本次测试随机抽取的学生总数：24÷40%=60，

A等级人数：60﹣24﹣4﹣2=30，

如图所示；

（2）600××100%=580（人），

答：测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有580人．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．（8分）（2013•连云港）甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次．

（1）若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回到甲手中的概率是多少？

（2）若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中？请说明理由．

考点： 列表法与树状图法

专题： 图表型．

分析： （1）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解；

（2）根据（1）中的概率解答．

解答： 解：（1）根据题意画出树状图如下：

一共有8种情况，最后球传回到甲手中的情况有2种，

所以，P（球传回到甲手中）==；

（2）根据（1）最后球在乙、丙手中的概率都是，

所以，乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在甲或丙的手中．

点评： 本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．（10分）（2013•连云港）在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．

（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；

（2）若四边形BFDE为为菱形，且AB=2，求BC的长．

考点： 矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）

分析： （1）证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可．

（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∵在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，

∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠CDB，

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴DE=BF，DE∥BF，

∴四边形BFDE为平行四边形；

（2）解：∵四边形BFDE为为菱形，

∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABE=30°，

∵∠A=90°，AB=2，

∴AE==，BE=2AE=，

∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=+=2．

点评： 本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

23．（10分）（2013•连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？

（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？请说明理由．

考点： 一元二次方程的应用

专题： 几何图形问题．

分析： （1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；

（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确．

解答： 解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得

（）2+（）2=58，

解得：x1=12，x2=28，

当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，

当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）

∴较短的这段为12cm，较长的这段就为28cm；

（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得

（）2+（）2=48，

变形为：m2﹣40m+416=0，

∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0，

∴原方程无解，

∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．

点评： 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．

24．（10分）（2013•连云港）如图，已知一次函数y=2x+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象的一个交点为A（1，m）．过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点D（n，﹣2）．

（1）求k1和k2的值；

（2）若直线AB、BD分别交x轴于点C、E，试问在y轴上是否存在一个点F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 反比例函数综合题

专题： 综合题．

分析： （1）将A坐标代入一次函数解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例函数y=中即可求出k1的值；过A作AM垂直于y轴，过D作DN垂直于y轴，可得出一对直角相等，再由AC垂直于BD，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABM与三角形BDN相似，由相似得比例，求出DN的长，确定出D的坐标，代入反比例函数y=中即可求出k2的值；

（2）在y轴上存在一个点F，使得△BDF∽△ACE，此时F（0，﹣8），理由为：由y=2x+2求出C坐标，由OB=ON=2，DN=8，可得出OE为三角形BDN的中位线，求出OE的长，进而利用两点间的距离公式求出AE，CE，AC，BD的长，以及∠EBO=∠ACE=∠EAC，若△BDF∽△ACE，得到比例式，求出BF的长，即可确定出此时F的坐标．

解答： 解：（1）将A（1，m）代入一次函数y=2x+2中，得：m=2+2=4，即A（1，4），

将A（1，4）代入反比例解析式y=得：k1=4；

过A作AM⊥y轴，过D作DN⊥y轴，

∴∠AMB=∠DNB=90°，

∴∠BAM+∠ABM=90°，

∵AC⊥BD，即∠ABD=90°，

∴∠ABM+∠DBN=90°，

∴∠BAM=∠DBN，

∴△ABM∽△BDN，

∴=，即=，

∴DN=8，

∴D（8，﹣2），

将D坐标代入y=得：k2=﹣16；

（2）符合条件的F坐标为（0，﹣8），理由为：

由y=2x+2，求出C坐标为（﹣1，0），

∵OB=ON=2，DN=8，

∴OE=4，

可得AE=5，CE=5，AC=2，BD=4，∠EBO=∠ACE=∠EAC，

若△BDF∽△ACE，则=，即=，

解得：BF=10，

则F（0，﹣8）．

点评： 此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

25．（12分）（2013•连云港）我市某海域内有一艘轮船发生故障，海事救援船接到求救信号后立即从港口出发沿直线匀速前往救援，与故障渔船会合后立即将其拖回．如图折线段O﹣A﹣B表示救援船在整个航行过程中离港口的距离y（海里）随航行时间x（分钟）的变化规律．抛物线y=ax2+k表示故障渔船在漂移过程中离港口的距离y（海里）随漂移时间x（分钟）的变化规律．已知救援船返程速度是前往速度的．根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）救援船行驶了　16　海里与故障船会合；

（2）求该救援船的前往速度；

（3）若该故障渔船在发出求救信号后40分钟内得不到营救就会有危险，请问救援船的前往速度每小时至少是多少海里，才能保证故障渔船的安全．

考点： 二次函数的应用

分析： （1）根据图象可以看出轮船到出发点的距离是16海里，即可得出答案；

（2）设救援船的前往速度为每分钟v海里，则返程速度为每分钟v海里，由题意得出方程=﹣16，求出方程的解即可；

（3）求出抛物线的解析式，把x=40分钟代入求出即可．

解答： 解：（1）从图象可以看出轮船到出发点的距离是16海里，

即救援船行驶了16海里与故障船会合，

（2）设救援船的前往速度为每分钟v海里，则返程速度为每分钟v海里，

由题意得：=﹣16，

v=0.5，

经检验v=0.5是原方程的解，

答：该救援船的前往速度为每分钟0.5海里．

（3）由（2）知：t=16÷0.5=32，

则A（32，16），将A（32，16），C（0，12）代入y=ax2+h得：，

解得：k=，h=12，

即y=x2+12，

把t=40代入得：y=×402+12=，÷=，

即救援船的前往速度为每小时至少是海里．

点评： 本题考查了二次函数的应用，关键是能根据题意列出算式或函数式，用了转化思想和数形结合思想．

26．（12分）（2013•连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．

（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？

（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；

（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．

考点： 圆的综合题

专题： 代数几何综合题．

分析： （1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可；

（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的长，然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；

（3）有两个时段内⊙P与线段QC只有一个交点：①运动开始至QC与⊙P时（0＜t≤）；②重合分离后至运动结束（＜t≤5）．

解答： 解：（1）∵A（8，0），B（0，6），

∴OA=8，OB=6，

∴AB===10，

∴cos∠BAO==，sin∠BAO==．

∵AC为⊙P的直径，

∴△ACD为直角三角形．

∴AD=AC•cos∠BAO=2t×=t．

当点Q与点D重合时，OQ+AD=OA，

即：t+t=8，

解得：t=．

∴t=（秒）时，点Q与点D重合．

（2）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×=t．

①当0＜t≤时，

DQ=OA﹣OQ﹣AD=8﹣t﹣t=8﹣t．

∴S=DQ•CD=（8﹣t）•t=﹣t2+t．

∵﹣=，0＜＜，

∴当t=时，S有最大值为；

②当＜t≤5时，

DQ=OQ+AD﹣OA=t+t﹣8=t﹣8．

∴S=DQ•CD=（t﹣8）•t=t2﹣t．

∵﹣=，＜，所以S随t的增大而增大，

∴当t=5时，S有最大值为15＞．

综上所述，S的最大值为15．

（3）当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB，

∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，

∴△ACQ∽△AOB，

∴=，

即=，

解得t=．

所以，⊙P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为0＜t≤或＜t≤5．

点评： 本题考查了圆综合题型，主要利用了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，但难度不大，关键在于要考虑点Q、D两点重合前后两种情况，这也是本题容易出错的地方．

27．（14分）（2013•连云港）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：

问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S四边形ABCD=S△ABF（S表示面积）

问题迁移：如图2：在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．

实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km2）（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，≈1.73）

拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）（6，3）（，）、（4、2），过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值．

考点： 四边形综合题．

分析： 问题情境：根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论；

问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；

实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，再根据条件由三角函数值就可以求出结论；

拓展延伸：分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，由条件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；

当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较久可以求出结论．

解答： 解：问题情境：∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．

∵点E为DC边的中点，

∴DE=CE．

∵在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（AAS），

∴S△ADE=S△FCE，

∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE，

即S四边形ABCD=S△ABF；

问题迁移：出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，如图2，

过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，

由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．

∵S四边形MOFG＜S△EOF，

∴S△MON＜S△EOF，

∴当点P是MN的中点时S△MON最小；

实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，

在Rt△OPP1中，

∵∠POB=30°，

∴PP1=OP=2，OP1=2．

由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小，

∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N．

在Rt△OMM1中，

tan∠AOB=，

2.25=，

∴OM1=，

∴M1P1=P1N=2﹣，

∴ON=OP1+P1N=2+2﹣=4﹣．

∴S△MON=ON•MM1=（4﹣）×4=8﹣≈10.3km2．

拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，

∵C（，），

∴∠AOC=45°，

∴AO=AD．

∴A（6，0），

∴OA=6，

∴AD=6．

∴S△AOD=×6×6=18，

由问题迁移的结论可知，当PN=PM时，△MND的面积最小，

∴四边形ANMO的面积最大．

作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1，M1，

∴M1P1=P1A=2，

∴OM1=M1M=2，

∴MN∥OA，

∴S四边形OANM=S△OMM1+S四边形ANPP1=×2×2+2×4=10

②如图5，当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，

∵C（，）、B（6，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，由题意，得

，

解得：，

∴y=﹣x+9，

当y=0时，x=9，

∴T（9，0）．

∴S△OCT=9=．

由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，△MNT的面积最小，

∴四边形CMNO的面积最大．

∴NP1=M1P1，MM1=2PP1=4，

∴4=﹣x+9，

∴x=5，

∴M（5，4），

∴OM1=5．

∵P（4，2），

∴OP1=4，

∴P1M1=NP1=1，

∴ON=3，

∴NT=6．

∴S△MNT=×4×6=12，

∴S四边形OCMN=﹣12=＜10．

∴综上所述：截得四边形面积的最大值为10．

点评： 本题考查了由特殊到一般的数学思想的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，分类讨论思想的运用，解答时建立数学模型解答是关键．