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一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个选项符合题目要求，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2013•红河州）﹣
的倒数是（ ）
A． ﹣2 B． 2 C． ﹣ D．
考点： 倒数．
专题： 计算题．
分析： 乘积是1的两数互为倒数，由此可得出答案．
解答： 解：﹣的倒数为﹣2．
故选A．
点评： 此题考查了倒数的定义，属于基础题，注意掌握乘积是1的两数互为倒数．
2．（3分）（2013•红河州）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A． 正方体 B． 圆柱 C． 圆锥 D． 球
考点： 由三视图判断几何体．
分析： 首先根据俯视图将正方体淘汰掉，然后跟主视图和左视图将圆锥和球淘汰；
解答： 解：∵俯视图是圆，
∴排除A，
∵主视图与左视图均是长方形，
∴排除C、D
故选B．
点评： 此题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
3．（3分）（2013•红河州）下列运算正确的是（ ）
A． a+a=a2 B． a6÷a3=a2 C． （π﹣3.14）0=0 D．
考点： 二次根式的加减法；合并同类项；同底数幂的除法；零指数幂．
专题： 计算题．
分析： A、合并同类项得到结果，即可作出判断；
B、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、利用零指数幂法则计算得到结果，即可作出判断；
D、合并同类二次根式得到结果，即可作出判断．
解答： 解：A、a+a=2a，本选项错误；
B、a6÷a3=a3，本选项错误；
C、（π﹣3.14）0=1，本选项错误；
D、2
﹣=，本选项正确，
故选D
点评： 此题考查了二次根式的加减法，合并同类项，同底数幂的除法，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）（2013•红河州）不等式组
的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集．
分析： 把不等式组中每一个不等式的解集，表示在数轴上即可
解答： 解：不等式组
的解集在数轴上表示
．
故选C．
点评： 把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）（2013•红河州）计算
的结果是（ ）
A． ﹣3 B． 3 C． ﹣9 D． 9
考点： 二次根式的性质与化简
专题： 计算题．
分析： 原式利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．
解答： 解：原式=|﹣3|=3．
故选B
点评： 此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
6．（3分）（2013•红河州）如图，AB∥CD，∠D=∠E=35°，则∠B的度数为（ ）
A． 60° B． 65° C． 70° D． 75°
考点： 平行线的性质；三角形的外角性质．
分析： 根据 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，再根据两直线平行，同位角相等解答．
解答： 解：∵∠D=∠E=35°，
∴∠1=∠D+∠E=35°+35°=70°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠1=70°．
故选C．
点评： 本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
7．（3分）（2013•红河州）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（﹣1，﹣2），则点P关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． （﹣1，2） B． （1，﹣2） C． （1，2） D． （2，1）
考点： 关于原点对称的点的坐标．
分析： 平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），据此即可求得点P关于原点的对称点的坐标．
解答： 解：∵点P关于x轴的对称点坐标为（﹣1，﹣2），
∴点P关于原点的对称点的坐标是（1，2）．
故选：C．
点评： 此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，这一类题目是需要识记的基础题，要熟悉关于原点对称点的横纵坐标变化规律．
8．（3分）（2013•红河州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A． AD=DC B．
C． ∠ADB=∠ACB D． ∠DAB=∠CBA
考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
专题： 探究型．
分析： 根据圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析即可．
解答： 解：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴
=
，AD=DC，故A、B正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，故C正确；
∵
＞
，∴∠DAB＞∠CBA，故D错误．
故选D．
点评： 本题考查的是圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）（2013•红河州）红河州总人口位居全省16个地州市的第四位，约有450万人，把近似数4500000用科学记数法表示为 4.5×106 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：4 500 000=4.5×106，
故答案为：4.5×106．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）（2013•红河州）分解因式：ax2﹣9a= a（x+3）（x﹣3） ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答： 解：ax2﹣9a
=a（x2﹣9），
=a（x+3）（x﹣3）．
故答案为：a（x+3）（x﹣3）．
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．（3分）（2013•红河州）某中学为了了解本校2 000名学生所需运动服尺码，在全校范围内随机抽取100名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是 100 ．
考点： 总体、个体、样本、样本容量．
分析： 找到样本，根据样本容量的定义解答．
解答： 解：样本是在全校范围内随机抽取的100名学生的运动服尺码，
故样本容量为100．
故答案为100．
点评： 样本容量是指样本中包含个体的数目，没有单位，一般是用样本中各个数据的和÷样本的平均数，可以求得样本的容量．
12．（3分）（2013•红河州）函数
中，自变量x的取值范围是 x≠1 ．
考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
分析： 分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
点评： 主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．（3分）（2013•红河州）已知扇形的半径是30cm，圆心角是60°，则该扇形的弧长为 10π cm（结果保留π）．
考点： 弧长的计算．
分析： 根据弧长公式是l=
，代入就可以求出弧长．
解答： 解：∵扇形的半径是30cm，圆心角是60°，
∴该扇形的弧长是：
=10π（cm）．
故答案为：10π．
点评： 本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．
14．（3分）（2013•红河州）下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，按此规律排列下去，第20个图形中有 42 个实心圆．
考点： 规律型：图形的变化类
分析： 根据图形中实心圆的数量变化，得出变化规律，进而求出即可．
解答： 解：∵第1个图形中有4个实心圆，
第2个图形中有6个实心圆，
第3个图形中有8个实心圆，
…
∴第n个图形中有2（n+1）个实心圆，
∴第20个图形中有2×（20+1）=42个实心圆．
故答案为：42．
点评： 此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出图形中的实心圆变化是解题关键．
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分）
15．（5分）（2013•红河州）解方程：
．
考点： 解分式方程
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：方程两边同时乘以x（x+2）得：2（x+2）+x（x+2）=x2，
去括号得：2x+4+x2+2x=x2，
解得：x=﹣1，
检验：把x=﹣1代入x（x+2）≠0，
故x=﹣1是原方程的解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16．（5分）（2013•红河州）如图，点D是△ABC的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE延长线于点F．求证：AD=CF．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据平行线性质得出∠1=∠F，∠2=∠A，求出AE=EC，根据AAS证△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质推出即可．
解答： 证明：∵CF∥AB，
∴∠1=∠F，∠2=∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE=EC，
在△ADE和△CFE中
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD=CF．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
17．（6分）（2013•红河州）一件外衣的进价为200元，按标价的8折销售时，利润率为10%，求这件外衣的标价为多少元？（注：
）
考点： 一元一次方程的应用
分析： 设这件外衣的标价为x元，就可以表示出售价为0.8x元，根据利润的售价﹣进价=进价×利润率建立方程求出其解即可．
解答： 解：设这件外衣的标价为x元，依题意得
0.8x﹣200=200×10%．
0.8x=20+200．
0.8x=220．
x=275．
答：这件外衣的标价为275元．
点评： 本题考查了销售问题在实际生活中的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，根据
）建立方程是解答本题的关键．
18．（7分）（2013•红河州）今年植树节，东方红中学组织师生开展植树造林活动，为了了解全校800名学生的植树情况，随机抽样调查50名学生的植树情况，制成如下统计表和条形统计图（均不完整）．
（1）将统计表和条形统计图补充完整；
（2）求抽样的50名学生植树数量的平均数；
（3）根据抽样数据，估计该校800名学生的植树数量．
考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数．
专题： 图表型．
分析： （1）用总人数减去其他小组的人数即可求得植树棵树为5的小组的频数，除以总人数即可得到该组的频率；
（2）用加权平均数计算植树量的平均数即可；
（3）用样本的平均数估计总体的平均数即可．
解答： 解：（1）统计表和条形统计图补充如下：
植树量为5棵的人数为：50﹣5﹣20﹣10=15，频率为：15÷50=0.3，
，
（2）抽样的50名学生植树的平均数是：
（棵）．
（3）∵样本数据的平均数是4.6，
∴估计该校800名学生参加这次植树活动的总体平均数是4.6棵．
于是4.6×800=3 680（棵），
∴估计该校800名学生植树约为3 680棵．
点评： 本题考查的是加权平均数的求法、频数分布直方图、用样本估计总体等知识．频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．
19．（7分）（2013•红河州）今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额在300元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．
（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果；
（2）求抽奖人员获奖的概率．
考点： 列表法与树状图法．
专题： 图表型．
分析： （1）根据列表法与画树状图的方法画出即可；
（2）根据概率公式列式计算即可得解．
解答： 解：（1）列表法表示如下：
第1次
第2次 1 2 3 4
1 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3）
或树状图：
（2）由表格或树形图可知，抽奖所有可能出现的结果共有12种，
这些结果出现的可能性相等，其中有一个小球标号为“1”的有6种，
所以抽奖人员的获奖概率为P=
=
．
点评： 本题考查了列表法与树状图法，概率的意义，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（6分）（2013•红河州）如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角∠ADC=60°，塔底的仰角∠BDC=45°，点D距塔AB的距离DC为100米，求手机信号中转塔AB的高度（结果保留根号）．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 先在Rt△BCD中，根据∠BDC=45°，得出BC=CD=100；再在Rt△ACD中，根据正切函数的定义，求出AC=100
，然后由AB=AC﹣BC即可求解．
解答： 解：由题意可知，△ACD与△BCD都是直角三角形．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=100．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=60°，CD=100，
∴tan∠ADC=
，即
，
∴
，
∴AB=AC﹣BC=
．
答：手机信号中转塔的高度为米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，难度适中，解答本题的关键是借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
21．（6分）（2013•红河州）如图，正比例函数y1=x的图象与反比例函数
（k≠0）的图象相交于A、B两点，点A的纵坐标为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出点B的坐标，并根据函数图象，写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： （1）设A（m，2），将A纵坐标代入正比例解析式求出m的值，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）联立两函数解析式求出B的坐标，由A与B横坐标，利用图象即可求出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
解答： 解：（1）设A点的坐标为（m，2），代入y1=x得：m=2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y2=
；
（2）当y1=y2时，x=，
解得：x=±2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
则由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜0或x＞2．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．
22．（7分）（2013•红河州）如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；
（2）若BD=8cm，求线段BE的长．
考点： 正方形的性质；勾股定理；平行四边形的判定．
分析： （1）根据正方形的对边互相平行可得AD∥BC，即为AD∥CE，然后根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形解答；
（2）根据正方形的四条边都相等，平行四边形的对边相等可得BC=AD=CE，再根据正方形的边长等于对角线的
倍求出BC，然后求出BE即可．
解答： 解：（1）四边形ACED是平行四边形．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
即AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）由（1）知，BC=AD=CE=CD，
∵BD=8cm，
∴BC=BD=×8=4
cm，
∴BE=BC+CE=4+4=8cm．
点评： 本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，比较简单，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．
23．（9分）（2013•红河州）如图，抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．
（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；
（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；
（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题
分析： （1）在抛物线解析式y=﹣x2+4中，令y=0，解方程可求得点A、点B的坐标；令x=0，可求得顶点C的坐标．已知点B、C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式；
（2）求出△ODE面积的表达式，利用二次函数的性质求出最大值，并确定点E的坐标；
（3）本问为存在型问题．因为△OAC与△OPD都是直角三角形，需要分类讨论：
①当△PDO∽△COA时，由
得PD=2OD，列方程求出点P的坐标；
②当△PDO∽△AOC时，由
得OD=2PD，列方程求出点P的坐标．
解答： 解：（1）在y=﹣x2+4中，当y=0时，即﹣x2+4=0，解得x=±2．
当x=0时，即y=0+4，解得y=4．
所以点A、B、C的坐标依次是A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
，解得
．
所以直线BC的解析式为y=﹣2x+4． …3分
（2）∵点E在直线BC上，
∴设点E的坐标为（x，﹣2x+4），
则△ODE的面积S可表示为：
．
∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1．
此时，﹣2x+4=﹣2×1+4=2，
∴点E的坐标为（1，2）． …5分
（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：
设点P的坐标为（x，﹣x2+4），0＜x＜2．
因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：
①当△PDO∽△COA时，
，
，
解得
，
（不符合题意，舍去）．
当
时，
．
此时，点P的坐标为
．
②当△PDO∽△AOC时，
，
，
解得
，
（不符合题意，舍去）．
当
时，
=
．
此时，点P的坐标为
．
综上可得，满足条件的点P有两个：
，
． …9分．
点评： 本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、相似三角形、解方程等知识点，难度不大．第（3）问是存在型问题，可能存在两种符合条件的情况，需要分类讨论，避免漏解．
