一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）（2014•包头）下列实数是无理数的是（　　）

A． ﹣2 B． C． D．

分析： 根据无理数是无限不循环小数，可得答案．

解答： 解；A、B、C、都是有理数，

D、是无理数，

故选：D．

点评： 本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．

2．（3分）（2014•包头）下列计算正确的是（　　）

A． （﹣1）﹣1=1 B． （﹣1）0=0 C． |﹣1|=﹣1 D． ﹣（﹣1）2=﹣1

考点： 负整数指数幂；绝对值；有理数的乘方；零指数幂．

分析： 根据负整指数幂，可判断A，根据非0的0次幂，可判断B，根据负数的绝对值是正数，可判断C，根据相反数，可判断D．

解答： 解：A、（﹣1）﹣1=﹣1，故A错误；

B、（﹣1）0=1，故B错误；

C、|﹣1|=1，故C错误；

D、﹣（﹣1）2=﹣1，故D正确；

故选：D．

点评： 本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．

3．（3分）（2014•包头）2013年我国GDP总值为56.9万亿元，增速达7.7%，将56.9万亿元用科学记数法表示为（　　）

A． 56.9×1012元 B． 5.69×1013元 C． 5.69×1012元 D． 0.569×1013元

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：56.9万亿元=5.69×1013，

故选：B．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）（2014•包头）在一次信息技术考试中，抽得6名学生的成绩（单位：分）如下：8，8，10，8，7，9，则这6名学生成绩的中位数是（　　）

A． 7 B． 8 C． 9 D． 10

考点： 中位数．

分析： 根据中位数的定义，把把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可．

解答： 解：把这组数据从小到大排列为：7，8，8，8，9，10，

最中间两个数的平均数是（8+8）÷2=8，

则中位数是8．

故选；B．

点评： 本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．

5．（3分）（2014•包头）计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（　　）

A． 2 B． 1 C． D．

考点： 特殊角的三角函数值．

分析： 根据特殊角的三角函数值计算即可．

解答： 解：原式=（）2+×

=+

=2．

故选：A．

点评： 此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．

6．（3分）（2014•包头）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　）

A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种

考点： 三角形三边关系．

分析： 要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．

解答： 解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；

根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．

故选C．

点评： 本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．

7．（3分）（2014•包头）下列说法正确的是（　　）

A． 必然事件发生的概率为0

B． 一组数据1，6，3，9，8的极差为7

C． “面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件

D． “任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件

考点： 随机事件；方差；概率的意义．

分析： 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件，可得答案．

解答： 解：A、必然事件发生的概率为1，故A错误；

B、一组数据1，6，3，9，8的级差为8，故B错误；

C、面积相等两个三角形全等，是随机事件，故C错误；

D、”任意一个三角形的外角和等于180°”是不可能事件，故D正确；

故选：D．

点评： 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事．

8．（3分）（2014•包头）在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　）

A． y=3（x+1）2+2 B． y=3（x+1）2﹣2 C． y=3（x﹣1）2+2 D． y=3（x﹣1）2﹣2

考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），则抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．

解答： 解：∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），

∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），

∴平移后抛物线的解析式为y=3（x﹣1）2+2．

故选C．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y=a（x﹣k）2+h，其中对称轴为直线x=k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y=a（x﹣k﹣m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移．

9．（3分）（2014•包头）如图，在正方形ABCD中，对角线BD的长为．若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，点D经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D． π﹣2

考点： 扇形面积的计算；正方形的性质；旋转的性质．

分析： 首先根据正方形的性质可得∠DBD′=45°，BC=CD，然后根据勾股定理可得BC、CD长，再计算出扇形BDD′和△BCD的面积可得阴影部分面积．

解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DBD′=45°，BC=CD，

∵BD的长为，

∴BC=CD=1，

∴S扇形BDD′==，

S△CBD=1×1=，

∴阴影部分的面积：﹣，

故选：C．

点评： 此题主要考查了正方形的性质，扇形的面积和三角形的面积计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=．

10．（3分）（2014•包头）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（　　）

A． B． C． D．

考点： 平行线分线段成比例．

分析： 根据平行线分线段成比例定理得出===2，即可得出答案．

解答： 解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD，

∴==2，==2，

∴=，

故选A．

点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．

11．（3分）（2014•包头）已知下列命题：

①若a＞b，则ac＞bc；

②若a=1，则=a；

③内错角相等；

④90°的圆周角所对的弦是直径．

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 命题与定理．

分析： 先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．

解答： 解；①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；

②若a=1，则=a是真命题，逆命题是假命题；

③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；

④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；

故选：A．

点评： 主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

12．（3分）（2014•包头）关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　）

A． m≤ B． m≤且m≠0 C． m＜1 D． m＜1且m≠0

考点： 根的判别式；根与系数的关系．

分析： 先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0，根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2（m﹣1），x1x2=m2，再由x1+x2＞0，x1x2＞0，解出不等式组即可．

解答： 解：∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，

∴m≤，

∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0

∴m＜1，m≠0

∴m≤且m≠0．

故选：B．

点评： 此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，根与系数的关系是x1+x2=﹣，x1x2=．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

13．（3分）（2014•包头）计算：﹣=　　．

考点： 二次根式的加减法．

分析： 首先化简二次根式进而合并同类二次根式进而得出答案．

解答： 解：﹣=×2﹣×=﹣=．

故答案为：．

点评： 此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．

14．（3分）（2014•包头）如图，已知∠1=∠2，∠3=73°，则∠4的度数为　107　度．

考点： 平行线的判定与性质．

专题： 计算题．

分析： 根据已知一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数．

解答： 解：∵∠1=∠2，

∴a∥b，

∴∠5+∠3=180°，

∵∠4=∠5，∠3=73°，

∴∠4+∠3=180°，

则∠4=107°．

故答案为：107

点评： 此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

15．（3分）（2014•包头）某学校举行演讲比赛，5位评委对某选手的打分如下（单位：分）9.5，9.4，9.4，9.5，9.2，则这5个分数的平均分为　9.4　分．

考点： 加权平均数．

分析： 根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．

解答： 解：这5个分数的平均分为（9.5×2+9.4×2+9.2）÷5=9.4；

故答案为：9.4．

点评： 此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是根据公式列出算式．

16．（3分）（2014•包头）计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）=　2x+5　．

考点： 完全平方公式；平方差公式．

专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．

解答： 解：原式=x2+2x+1﹣x2+4

=2x+5．

故答案为：2x+5．

点评： 此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

17．（3分）（2014•包头）方程﹣=0的解为x=　2　．

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答： 解：去分母得：3x﹣3﹣x﹣1=0，

解得：x=2，

经检验x=2是分式方程的解．

故答案为：2

点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

18．（3分）（2014•包头）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为　8　．

考点： 垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理．

专题： 计算题．

分析： 连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长．

解答： 解：连接OC，如图所示．

∵点E是的中点，

∴∠BOE=∠COE．

∵OB=OC，

∴OD⊥BC，BD=DC．

∵BC=6，

∴BD=3．

设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．

∵DE=1，

∴OD=r﹣1．

∵OD⊥BC即∠BDO=90°，

∴OB2=BD2+OD2．

∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，

∴r2=32+（r﹣1）2．

解得：r=5．

∴OD=4．

∵AO=BO，BD=CD，

∴OD=AC．

∴AC=8．

点评： 本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，有一定的综合性．

19．（3分）（2014•包头）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为　﹣16　．

考点： 相似三角形的判定与性质；反比例函数系数k的几何意义．

分析： 证△DCO∽△ABO，推出===，求出=（）2=，求出S△ODC=8，根据三角形面积公式得出OC×CD=8，求出OC×CD=16即可．

解答： 解：∵OD=2AD，

∴=，

∵∠ABO=90°，DC⊥OB，

∴AB∥DC，

∴△DCO∽△ABO，

∴===，

∴=（）2=，

∵S四边形ABCD=10，

∴S△ODC=8，

∴OC×CD=8，

OC×CD=16，

∴k=﹣16，

故答案为：﹣16．

点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ODC的面积．

20．（3分）（2014•包头）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：

①∠AEF=∠BCE；

②AF+BC＞CF；

③S△CEF=S△EAF+S△CBE；

④若=，则△CEF≌△CDF．

其中正确的结论是　①③④　．（填写所有正确结论的序号）

考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析： 根据同角的余角相等可得∠AEF=∠BCE，判断出①正确，然后求出△AEF和△BCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，然后根据两组边对边对应成比例，两三角形相似求出△AEF和△ECF，再根据相似三角形对应角相等可得∠AFE=∠EFC，过点E作EH⊥FC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=DH，利用“HL”证明△AEF和△HEF，根据全等三角形对应边相等可得AF=FH，同理可得BC=CH，然后求出AF+BC=CF，判断出②错误；根据全等三角形的面积相等可得S△CEF=S△EAF+S△CBE，判断出③正确；根据锐角三角函数的定义求出∠BCE=30°，然后求出∠DCF=∠ECF=30°，再利用“角角边”证明即可．

解答： 解：∵EF⊥EC，

∴∠AEF+∠BEC=90°，

∵∠BEC+∠BCE=90°，

∴∠AEF=∠BCE，故①正确；

又∵∠A=∠B=90°，

∴△AEF∽△BCE，

∴=，

∵点E是AB的中点，

∴AE=BE，

∴=，

又∵∠A=∠CEF=90°，

∴△AEF∽△ECF，

∴∠AFE=∠EFC，

过点E作EH⊥FC于H，

则AE=DH，

在△AEF和△HEF中，，

∴△AEF≌△HEF（HL），

∴AF=FH，

同理可得△BCE≌△HCE，

∴BC=CH，

∴AF+BC=CF，故②错误；

∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，

∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正确；

若=，则cot∠BCE=====2×=，

∴∠BCE=30°，

∴∠DCF=∠ECF=30°，

在△CEF和△CDF中，，

∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，

综上所述，正确的结论是①③④．

故答案为：①③④．

点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质是解题的关键，难点在于求出△AEF和△ECF相似并得到∠AFE=∠EFC．

三、解答题（本大题共6小题，共60分）

21．（8分）（2014•包头）有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．

（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；

（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．

考点： 列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．

分析： （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

（2）首先可得所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3﹣4），（﹣4，﹣3），再利用概率公式即可求得答案．

解答： 解：（1）画树状图得：

则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；

（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3﹣4），（﹣4，﹣3），

∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为：=．

点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．（8分）（2014•包头）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，点E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

考点： 梯形；勾股定理．

分析： 过点D作DF⊥BC，根据∠BCD=45°，得DF=CF，再由AB=2，可得DF=CF=2，由勾股定理得CD的长，因为AD=1，所以BC=2+1，根据∠AEB=60°，可得BE，进而得出CE的长．

解答： 解：过点D作DF⊥BC，

∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴四边形ABFD为矩形，

∵∠BCD=45°，

∴DF=CF，

∵AB=2，

∴DF=CF=2，

∴由勾股定理得CD=2；

∵AD=1，

∴BF=1，

∴BC=2+1，

∵∠AEB=60°，

∴tan60°=，

∴=，

∴BE=2，

∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1．

点评： 本题考查了梯形的计算以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．

23．（10分）（2014•包头）甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．

（1）分别求出y1，y2与x之间的关系式；

（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？

（3）当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可；

（2）根据收费相同，列出方程求解即可；

（3）根据函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解．

解答： 解：（1）当x=1时，y1=3000；

当x＞1时，y1=3000+3000（x﹣1）×（1﹣30%）=2100x+900．

∴y1=；

y2=3000x（1﹣25%）=2250x，

∴y2=2250x；

（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，2100x+900=2250x，

解得x=6，

答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；

（3）x=5时，y1=2100x+900=2100×5+900=11400，

y2=2250x=2250×5=11250，

∵11400＞11250，

∴所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．

点评： 本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键．

24．（10分）（2014•包头）如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．

（1）求证：△PCD是等腰三角形；

（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．

考点： 切线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： （1）连结OC，根据切线的性质得∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，由GE⊥AB得∠GEA=90°，则∠2+∠ADE=90°，利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE，根据对顶角相等得∠ADE=∠PDC，所以∠PCD=∠PDC，于是根据等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形；

（2）连结OD，BG，在Rt△COF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=2，由于∠FOC=90°﹣∠F=60°，根据三角形外角性质可计算出∠1=∠2=30°，则∠PCD=90°﹣∠1=60°，可判断△PCD为等边三角形；再由D为AC的中点，根据垂径定理得到OD⊥AC，AD=CD，在Rt△OCD中，可计算出OD=OC=1，CD=OD=，所以△PCD的周长为3；然后在Rt△ADE中，计算出DE=AD=，AE=DE=，根据圆周角定理由AB为直径得到∠AGB=90°，再证明Rt△AGE∽Rt△ABG，利用相似比可计算出AG．

解答： （1）证明：连结OC，如图，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，

∵GE⊥AB，

∴∠GEA=90°，

∴∠2+∠ADE=90°，

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∴∠PCD=∠ADE，

而∠ADE=∠PDC，

∴∠PCD=∠PDC，

∴△PCD是等腰三角形；

（2）解：连结OD，BG，如图，

在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，

∴OF=2OC，即OB+2=2OC，

而OB=OC，

∴OC=2，

∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，

∴∠1=∠2=30°，

∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，

∴△PCD为等边三角形，

∵D为AC的中点，

∴OD⊥AC，

∴AD=CD，

在Rt△OCD中，OD=OC=1，

CD=OD=，

∴△PCD的周长为3；

在Rt△ADE中，AD=CD=，

∴DE=AD=，

AE=DE=，

∵AB为直径，

∴∠AGB=90°，

而∠GAE=∠BAG，

∴Rt△AGE∽Rt△ABG，

∴AG：AB=AE：AG，

∴AG2=AE•AB=×4=6，

∴AG=6．

点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定、垂径定理、圆周角定理和三角形相似的判定与性质．

25．（12分）（2014•包头）如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；

（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？

（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形ABOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

考点： 相似形综合题．

分析： （1）运用=和夹角相等，得出△EOF∽△ABO．

（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．

（3）由已知S△AEF=S四边形ABOF．得出S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，求出t的值．

解答： 解：（1）∵t=1，

∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，

∵AB=3厘米，OB=4厘米，

∴==，==

∵∠MON=∠ABE=90°，

∴△EOF∽△ABO．

（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．

∵AB=3，OB=4．

∴．

又∵∠EOF=∠ABO=90°，

∴Rt△EOF∽Rt△ABO．

∴∠AOB=∠EOF．

∵∠AOB+∠FOC=90°，

∴∠EOF+∠FOC=90°，

∴EF⊥OA．

（3）如图，连接AF，

∵OE=1.5t，OF=2t，

∴BE=4﹣1.5t

∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，

S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6

∵S△AEF=S四边形ABOF

∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，

∴t2+6﹣t=（4t+6），即6t2﹣17t+12=0，

解得t=或t=．

∴当t=或t=时，S△AEF=S四边形ABOF．

点评： 本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF求t的值．

26．（12分）（2014•包头）已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．

（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；

（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；

（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；

（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）利用待定系数法即可求得解析式，把解析式转化成顶点式即可求得顶点坐标．

（2）根据有两组对应边对应成比例且夹角相等即可求得△ABC∽△NBO，由三角形相似的性质即可求得．

（3）作EF⊥BC于F，根据抛物线的解析式先设出E点的坐标，然后根据两直线垂直的性质求得F点的坐标，根据勾股定理即可求得．

（4）延长EF交y轴于Q，根据勾股定理求得FQ的长，再与EF比较即可．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，

∴，

解得．

∴抛物线为y=﹣x2+x+2；

∴抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，

∴顶点M（，）．

（2）如图1，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），

∴直线BC为：y=﹣x+2，

当x=时，y=，

∴N（，），

∴AB=3，BC=2，OB=2，BN==，

∴==，==，

∵∠ABC=∠NBO，

∴△ABC∽△NBO，

∴∠NOB=∠ACB；

（3）如图2，作EF⊥BC于F，

∵直线BC为y=﹣x+2，

∴设E（m，﹣m2+m+2），直线EF的解析式为y=x+b，

则直线EF为y=x+（﹣m2+2），

解 得，

∴F（m2，﹣m2+2），

∵EF=，

∴（m﹣m2）2+（﹣m2+2+m2﹣m﹣2）2=（）2，

解得m=1，

∴﹣m2+m+2=2，

∴E（1，2），

（4）如图2，延长EF交y轴于Q，

∵m=1，

∴直线EF为y=x+1，

∴Q（0，1），

∵F（，），

∴FQ==，

∵EF=，EF⊥BC，

∴E、F两点关于直线BC对称．

点评： 本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点的求法，直线的交点问题，勾股定理的应用等．