一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A.平行四边形 B． 圆 C．正五边形 D．等腰三角形

2．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A． x≠0 B． x＞2 C． x≥2 D． x≠2

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． 6x²+3x=9x³ B． 6x²•3x=18x² C． （﹣6x²）³=﹣36x⁶ D． 6x²÷3x=2x

4．（3分）由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方形的个数最少是（　　）

A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

5．（3分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集是（　　）

A． x＜2 B． x＞﹣3 C． ﹣3＜x＜1 D． x＜﹣3或x＞1

7．（3分）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（　　）

A． 10 B． 4 C． 10或4 D． 10或2

8．（3分）若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是（　　）

A． 2 B． ﹣2 C． 3 D． ﹣3

9．（3分）若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式的图象是（　　）

A． B． C． D．

10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是（　　）

A． 4 B． 3 C． 2 D． 1

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

11．（3分）2012年我国的国内生产总值达到519000亿元，请将519000用科学记数法表示，记为　5.19×10⁵　．

12．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　AC=BD　（只添一个即可），使▱ABCD是矩形．

13．（3分）一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为　0.4a　元．

14．（3分）若五个正整数的中位数是3，唯一的众数是7，则这五个数的平均数是　4　．

15．（3分）在圆中，30°的圆周角所对的弦的长度为2，则这个圆的半径是　2　．

16．（3分）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是　3n+4　．

17．（3分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S_△AOB=4，则k的值是　﹣2或6　．

18．（3分）在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为　6　．

19．（3分）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=　﹣2　．

20．（3分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（0，6），D（4，0），将菱形ABCD先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O旋转90°，则边AB中点的对应点的坐标为　（﹣5，7）或（5，﹣7）　．

三、解答题（共8小题，满分60分）

21．（5分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x=﹣4．

22．（6分）如图，抛物线y=x²+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式．

（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．

注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．

23．（6分）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BC=4，向矩形ABCD外作△CDE，使△CDE为等腰三角形，且点E不在边BC所在的直线上，请你画出图形，直接写出OE的长，并画出体现解法的辅助线．

24．（7分）某校为了了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了本校部分学生进行问卷调查（必选且只选一类节目），将调查结果进行整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中喜爱体育节目的学生人数比喜爱戏曲节目的学生人数的3倍还多1人．

请根据所给信息解答下列问题：

（1）求本次抽取的学生人数．

（2）补全条形图，在扇形统计图中的横线上填上正确的数值，并直接写出“体育”对应的扇形圆心角的度数．

（3）该校有3000名学生，求该校喜爱娱乐节目的学生大约有多少人？

25．（8分）快、慢两车分别从相距360千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．

请结合图象信息解答下列问题：

（1）快、慢两车的速度各是多少？

（2）出发多少小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等？

（3）直接写出在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为150千米的次数．

26．（8分）在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．

（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．

（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．

（3）若AC=6，DE=4，则DF=　2或10　．

27．（10分）博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润不低于1100元，两种图书的进价、售价如下表所示：

请解答下列问题：

（1）有哪几种进书方案？

（2）在这批图书全部售出的条件下，（1）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？

（3）博雅书店计划用（2）中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？请你直接写出答案．

28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x²﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB．

（1）求点A，B的坐标．

（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数y=的图象经过点D，求k的值．

（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．B　

2．D　

3．D　

4．C　

5．B　

6．C　

7．D　

8．B　

9．C　

10．B

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

11． 5.19×10⁵

12． AC=BD

13． 0.4a

14． 4

15． 2

16． 3n+4

17．﹣2或6

18． 6　

19．﹣2　

20．（﹣5，7）或（5，﹣7）　

三、解答题（共8小题，满分60分）

21．解：原式=•=,当x=﹣4时，原式==﹣1．

22．解：（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y=x²+bx+c得：

16﹣4b+c=﹣3，

c﹣4b=﹣19，

∵对称轴是x=﹣3，

∴﹣=﹣3，

∴b=6，

∴c=5，

∴抛物线的解析式是y=x²+6x+5；

（2）∵CD∥x轴，

∴点C与点D关于x=﹣3对称，

∵点C在对称轴左侧，且CD=8，

∴点C的横坐标为﹣7，

∴点C的纵坐标为（﹣7）²+6×（﹣7）+5=12，

∵点B的坐标为（0，5），

∴△BCD中CD边上的高为12﹣5=7，

∴△BCD的面积=×8×7=28．

23．解：∵AC=4，BC=4，

∴AB=8，

∵△CDE为等腰三角形，

∴当CD=CE时，EC=CD=8，

∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，

∴AO=CO=2，

∴EO=AO﹣AE=AO﹣（AC﹣CD）=8﹣2，

当ED=CE时，E，O重合，△CED是等腰三角形，此时EO=0．

24．解：（1）由条形图可知，喜爱戏曲节目的学生有3人，

∵喜爱体育节目的学生人数比喜爱戏曲节目的学生人数的3倍还多1人，

∴喜爱体育节目的学生有：3×3+1=10人，

∴本次抽取的学生有：4+10+15+18+3=50人；

（2）喜爱C类电视节目的百分比为：×100%=30%，

“体育”对应的扇形圆心角的度数为：360°×=72°．

补全统计图如下：

（3）∵喜爱娱乐节目的百分比为：×100%=30%，

∴该校3000名学生中喜爱娱乐节目的学生有：3000×30%=900人．

25．解；（1）如图所示：快车一共行驶了7小时，中间停留了1小时，慢车一共行驶了6小时，

∵由图可得出两地相距360km，

∴快车速度为：360×2÷6=120（km/h），

慢车速度为：360÷6=60（km/h）；

（2）∵快车速度为：120km/h，

∴360÷120=3（h），

∴A点坐标为；（3，360）

∴B点坐标为（4，360），

可得E点坐标为：（6，360），D点坐标为：（7，0），

∴设BD解析式为：y=kx+b，

，

解得：，

∴BD解析式为：y=﹣120x+840，

设OE解析式为：y=ax，

∴360=6a，

解得：a=60，

∴OE解析式为：y=60x，

当快、慢两车距各自出发地的路程相等时：60x=﹣120x+840，

解得：x=，

答：出发小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等；

（3）根据两车第一次相遇前可以相距150km，第一次相遇后两车再次相距150km，当快车到达乙地后返回时两车可以相距150km，

综上所述：在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为150千米的次数是3次．

26．解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，

∴四边形AFDE是平行四边形．

∴AF=DE，

∵DF∥AC，

∴∠FDB=∠C

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠FDB=∠C

∴DF=BF

∴DE+DF=AB=AC；

（2）图②中：AC+DF=DE．

图③中：AC+DE=DF．

（3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2；

当如图③的情况，DF=AC+DE=6+4=10．

故答案是：2或10．

27．解：（1）设购进甲种图书x本，则购进乙书（100﹣x）本，根据题意得出：

，

解得：48≤x≤50．

故有3种购书方案：甲种书：48种，乙种书：52本；甲种书：49种，乙种书：51本；甲种书：50种，乙种书：50本；

（2）根据乙种书利润较高，故乙种书购进越多利润最大，

故购进甲种书：48种，乙种书：52本利润最大为：48×（26﹣16）+52×（40﹣28）=1104（元）；

（3）根据题意得出：72a+96b=1104，

尽可能多买排球才能购买数量最多，故当买一个篮球时，可以购买：（1104﹣96）÷72=14（个）．

答：最多可以购买排球和篮球共15个．

28．解：（1）解方程x²﹣14x+48=0，得：x₁=6，x₂=8．

∵OA，OB的长分别是方程x²﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB，

∴OA=6，OB=8，

∴A（6，0），B（0，8）．

（2）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E．

在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10．

∴sin∠OBA===．

∵sin∠1=，

∴∠OBA=∠1．

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°，

∴∠OAB=∠ADE．

在△AOB与△DEA中，

，

∴△AOB≌△DEA（ASA）．

∴AE=OB=8，DE=OA=6．

∴OE=OA+AE=6+8=14，

∴D（14，6）．

∵反比例函数y=的图象经过点D，

∴k=14×6=84．

（3）存在．

如答图2所示，若以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形，

①当AB：AM₁=2：1时，

过点M₁作M₁E⊥x轴于点E，易证Rt△AEM₁∽Rt△BOA，

∴，即，

∴AE=4，M₁E=3．

过点N₁作N₁F⊥y轴于点F，易证Rt△N₁FB≌Rt△AEM₁，

∴N₁F=AE=4，BF=M₁E=3，

∴OF=OB+BF=8+3=11，

∴N₁（4，11）；

②当AB：AM₂=1：2时，

同理可求得：N₂（16，20）．

综上所述，存在满足条件的点N，点N的坐标为（4，11）或（16，20）．