第一部分 （选择题 共60分）

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合，，则（ ）

A、 B、 C、 D、

[答案]D

[解析]集合A中包含a,b两个元素，集合B中包含b,c,d三个元素，共有a,b,c,d四个元素，所以

[点评]本题旨在考查集合的并集运算，集合问题属于高中数学入门知识，考试时出题难度不大，重点是掌握好课本的基础知识.

2、的展开式中的系数是（ ）

A、21 B、28 C、35 D、42

[答案]A

[解析]二项式展开式的通项公式为=，令k=2，则

[点评]高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.

3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为（ ）

A、101 B、808 C、1212 D、2012

[答案]B

[解析]N=

[点评]解决分层抽样问题，关键是求出抽样比，此类问题难点要注意是否需要剔除个体.

4、函数的图象可能是（ ）

[答案]C

[解析]采用特殊值验证法. 函数恒过（1,0），只有C选项符合.

[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用.

5、如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）

A、 B、 C、 D、

[答案]B

[点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.

6、下列命题正确的是（ ）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

[答案]C

[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.

[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.

7、设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）

A、且 B、 C、 D、

[答案]D

[解析]若使成立，则选项中只有D能保证，故选D.

[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.

8、若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）

A、12 B、26 C、28 D、33

[答案]C

[解析]目标函数可以变形为

，做函数的平行线，

当其经过点B（4,4）时截距最大时，

即z有最大值为=.

[点评]解决线性规划题目的常规步骤：

一列（列出约束条件）、

二画（画出可行域）、

三作（作目标函数变形式的平行线）、

四求（求出最优解）.

9、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，

并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）

A、 B、 C、 D、

[答案]B

[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=,

[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).

10、如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ）

A、 B、 C、 D、

[答案]A

[解析]以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，则

A

[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.

11、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

A、28条 B、32条 C、36条 D、48条

[答案]B

[解析]方程变形得，若表示抛物线，则

所以，分b=-2,1,2,3四种情况：

（1）若b=-2， ; （2）若b=2,

以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；

同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条.

综上，共有14+9+9=32种

[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.

12、设函数，是公差不为0的等差数列，，则（ ）

A、0 B、7 C、14 D、21

[答案]D

[解析]∵是公差不为0的等差数列，且

∴

∴

∴

[点评]本小题考查的知识点较为综合，既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用，解决此类问题必须要敢于尝试，并需要认真观察其特点.

第二部分 （非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）

13、函数的定义域是____________。（用区间表示）

[答案]（）

[解析]由分母部分的1-2x>0，得到x∈(）.

[点评]定义域问题属于低档题，只要保证式子有意义即可，相对容易得分.常见考点有：分母不为0；偶次根下的式子大于等于0；对数函数的真数大于0；0的0次方没有意义.

14、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________。

[答案]90º

[解析]方法一：连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M,

所以，DN⊥平面A1MD1，

又A1M平面A1MD1，所以，DN⊥A1D1，故夹角为90º

方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴，建立空间直角坐标系D—xyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2）

故，

所以，cos< = 0,故DN⊥D1M，所以夹角为90º

[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决.

15、椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

[答案]

[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.

16、设为正实数，现有下列命题：

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则。

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

[答案] ①④

[解析]若a,b都小于1，则a-b<1

若a,b中至少有一个大于等于1， 则a+b>1,

由a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ，所以，a-b<1 故①正确.

对于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1，

若a,b中至少又一个大于等于1，则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1

若a,b都小于1，则|a-b|<1，所以④正确.

综上，真命题有 ① ④ .

[点评]此类问题考查难度较大，要求对四个备选项都要有正确的认识，需要考生具备扎实的数学基础，平时应多加强这类题的限时性练习.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；

（Ⅱ）求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。

[解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么

1-P（C）=1-P= ，解得P=………………………………6 分

（2）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为

事件D,

那么P(D)=

答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为. ………………12分.

[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.

18、(本小题满分12分) 已知函数。

（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；

（Ⅱ）若，求的值。

[解析]（1）由已知，f（x）=

所以f（x）的最小正周期为2，值域为。…………………6分

（2）由（1）知，f（）=

所以cos（）。

所以

，…………………12分

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.

19、(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。

（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角的大小。

[解析]（1）连接OC. 由已知，所成的角

设AB的中点为D，连接PD、CD.

因为AB=BC=CA,所以CDAB.

因为等边三角形，

不妨设PA=2，则OD=1，OP=, AB=4.

所以CD=2，OC=.

在Rttan.…………………………6分

（2）过D作DE于E，连接CE.

由已知可得，CD平面PAB.

据三垂线定理可知，CE⊥PA，

所以，.

由（1）知，DE=

在Rt△CDE中，tan

故 …………………………………12分

[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）.

20、(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？

[解析]取n=1,得

若a1=0,则s1=0, 当n

若a1, 当n

上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列

综上，若a1 = 0,

若a1 …………………………………………7分

（2）当a1>0,且

所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）

则 b1>b2>b3>…>b6=

当n≥7时，bn≤b7=

故数列{lg}的前6项的和最大. …………………………12分

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

21、(本小题满分12分) 如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。

（Ⅰ）求轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。

[解析]（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在。

于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为，MB的斜率为.

由题意，有·=4

化简可得，4x2-y2-4=0

故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分

（2）由消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)

对于方程(﹡)，其判别式=（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0

而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1.

结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1

设Q、R的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根.

因为,所以，

所以。

此时

所以

所以

综上所述， …………………………12分

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。

22、(本小题满分14分) 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。

（Ⅰ）用和表示；

（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；

（Ⅲ）当时，比较与

的大小，并说明理由。

[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为，对

则抛物线在点A处的切线方程为：

………………4分

（2）由（1）知f(n)=,则

即知，对于所有的n成立，

特别地，当n=1时，得到a≥3

当a=3，n≥1时，

当n=0时，=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.

所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分

（3）由（1）知f(k)=

下面证明：

首先证明0<x<1时，

设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1, 则.

当时,g'(x)<0; 当

故g（x）在区间（0，1）上的最小值

所以，当0<x<1时，g（x）>0,即得

由0<a<1知

[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。