一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，若，则a的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】：，，选C。

2.复数

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】：，选A。

3.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】：，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。

4.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】：循环操作4次时S的值分别为，选D。

5.如图，AD、AE、BC分别与圆O切于点D、E、F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：①；②； ③.其中正确的结论的序号是( )

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

【答案】A.

【解析】：①正确。由条件可知，BD=BF，CF=CE，可得。

②正确。通过条件可知，AD=AE。由切割定理可得。

③错误。连接FD（如下图），若，则有。通过图像可知

，因而错误。答案选A.

6.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是

A. 75，25 B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16

【答案】D

【解析】由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，，选D。

7.某四面体三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由三视图还原几何体如下图，该四面体四个面的面积中最大的是PAC，面积为10，选C。

8. 设A（0，0），B（4，0），C（，4），D（t，4）（），记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为

A．{ 9，10，11 } B．{ 9，10，12 } C．{ 9，11，12 } D．{ 10，11，12 }

【答案】C

【解析】如下图，在t=0,0<t<1,t=1时分别对应点为9,11,12，选C。

上面4种情形涵概了的所有可能取值，所以的值域为{ 9，11，12 }，如图所示，故选C

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在中，若，，，则_______，______.

【答案】

【解析】由 ，又所以解得，正弦定理得则。

10.已知向量，，，若与共线，则________.

【答案】

【解析】由与共线得

11.在等比数列中，若，，则公比________；________.

【答案】

【解析】由是等比数列得，又 所以，是以为首项，以2为公比的等比数列，。

12.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有______个(用数字作答)

【答案】

【解析】个数为。

13.已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.

【答案】（0,1）

【解析】单调递减且值域为(0,1]，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。

14.曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则的面积不大于.其中，所有正确结论的序号是____________.

【答案】②③

【解析】：①曲线经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，即么，与条件不符；②曲线关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处关于原点的对称点处也一定符合 ③三角形的面积=

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和最小值。

【解析】：（Ⅰ）因为

所以的最小正周期为

（Ⅱ）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值—1．

16. （共14分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

（1）求证：平面PAC；

（2）若，求PB与AC所成角的余弦值；

（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

【解析】：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以又因为平面。所以，

所以平面。

（Ⅱ）设，因为

所以，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则所设与所成角为，则

（Ⅲ）由（Ⅱ）知设。则设平面的法

向量则，所以令则，

所以同理，平面的法向量，因为平面，所以，即解得，所以

17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，

在图中以X表示。

（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为，，…，的平均数）

【解析】：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为

方差为

（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=

同理可得

所以随机变量Y的分布列为：

==19

18.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，，都有，求的取值范围。

【解析】：（Ⅰ），令，当时，的情况如下：

所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：

所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是。

（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等价于， 解得故当时，的取值范围是[，0]。

19.已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为m的函数，并求的最大值。

【解析】：：（Ⅰ）由已知得 所以所以椭圆的焦点坐标为 ，离心率为

（Ⅱ）（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=－1时，同理可得

当时，设切线l的方程为由

设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以

由于当时，

所以.因为

且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2

20.若数列：，，…，满足（，2，…，），则称为E数列。记.（1）写出一个满足，且的E数列；（2）若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是；（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。

【解析】：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）

（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a2000—a10001，a2000—a10001……a2—a11所以a2000—a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。