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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
，
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．执行如图所示的程序框图，输出的
值为（ ）
A． B．
C．
D．
7．双曲线
的离心率大于
的充分必要条件是
A．
B．
C．
D．
8．如图，在正方体
中，
为对角线
的三等分点，则到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A．
个 B．
个 C．
个 D．
个
第二部分（选择题 共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9．若抛物线
的焦点坐标为
，则
________，准线方程为________。
10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________。
11．若等比数列
满足
，
，则公比
________；前
项和
________。
12．设
为不等式组
所表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为________。
13．函数
的值域为________。
14．向量
，
，
，若平面区域由所有满足
（
，
）的点组成，则的面积为________。
三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）
15．（本小题共13分）
已知函数
（1）求
的最小正周期及最大值。
（2）若
，且
，求
的值。
16．（本小题共13分）
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。
（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。
（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
17．（本小题共14分）
如图，在四棱锥
中，
，
，
，平面
底面
，
，
和
分别是
和
的中点，求证：
（1）
底面
（2）
平面
（3）平面
平面
18．（本小题共13分）
已知函数
（1）若曲线
在点
处与直线
相切，求与的值。
（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。
19．（本小题共14分）
直线
（
）
：
相交于
，
两点，
是坐标原点
（1）当点
的坐标为
，且四边形
为菱形时，求
的长。
（2）当点在上且不是的顶点时，证明四边形不可能为菱形。
20．（本小题共13分）
给定数列
，
，
，
。对
，该数列前
项的最大值记为
，后
项
，
，，的最小值记为
，
。
（1）设数列为，，
，，写出
，
，
的值。
（2）设，，，（
）是公比大于的等比数列，且
，证明，，，
是等比数列。
（3）设，，，是公差大于
的等差数列，且
，证明，，，
是等差数列。
2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9．
，
10． 11．，
12．
13．
14．
三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）
15．（本小题共13分）
解：（1）
所以，最小正周期
当
（
），即
（）时
（2）因为
所以
因为
，所以
所以
，即
16．（本小题共13分）
解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天，
所以概率为
（2）此人停留的两天共有13种选择，分别是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
其中只有一天重度污染的为，，，，共4种，
所以概率为
（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。
17．（本小题共14分）
证明：（1）因为，平面底面且平面
底面
所以底面
（2）因为和分别是和的中点，所以
，
而
平面，
平面，所以平面
（3）因为底面， 
平面
所以
，即
因为，
，所以
而
平面，
平面，且
所以
平面
因为，所以，所以四边形
是平行四边形，
所以
，而
平面，平面
所以平面，同理平面，
而
平面
，
平面且
所以平面
平面， 所以平面
又因为平面
所以平面平面
18．（本小题共13分）
解：（1）
因为曲线在点处的切线为
所以
，即
，解得
（2）因为
所以当
时
，单调递增
当
时
，单调递减
所以当
时，取得最小值
，
所以的取值范围是
19．（本小题共14分）
解：（1）线段
的垂直平分线为
，
因为四边形为菱形，
所以直线与椭圆的交点即为，两点
对椭圆，令得
所以
（2）方法一：当点不是的顶点时，
联立方程
得
设
，
，
则
，
，
若四边形为菱形，则
，即
所以
即
因为点不是的顶点，所以
，
所以
即
，即
所以
此时，直线与
轴垂直，所以为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，
所以四边形不可能为菱形
方法二：
因为四边形为菱形，所以，
设
（
）
则，两点为圆
与椭圆的交点
联立方程
得
所以，两点的横坐标相等或互为相反数。
因为点在上
若，两点的横坐标相等，点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。
若，两点的横坐标互为相反数，点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。
所以四边形不可能为菱形。
20．（本小题共13分）
解：（1）
，
，
（2）因为，，，（）是公比大于的等比数列，且
所以
所以当
时，
所以当
时，
所以，，，是等比数列。
（3）若，，，是公差大于的等差数列，则
，，，应是递增数列，证明如下：
设
是第一个使得
的项，则
，
，所以
，与已知矛盾。
所以，，，，是递增数列
再证明数列中最小项，否则
（），则
显然
，否则
，与矛盾
因而
，此时考虑
，矛盾
因此是数列中最小项
综上，
（）
于是
，也即，，，是等差数列
