解答题押题练A组
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.
(1)求的值；
(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．
解　(1)由正弦定理可设＝＝＝＝＝，
所以a＝sin A，b＝sin B，(3分)
所以＝＝.(6分)
(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，(7分)
又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.
解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．(12分)
所以S△ABC＝absin C＝×4×＝.(14分)
2．如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.
[pic]
(1)求证：BF∥平面ACE；[pic]
(2)求证：BF⊥BD.
证明　(1)AC与BD交于O点，连接EO.
正方形ABCD中，BO[pic]＝AB，又因为AB＝EF[pic]，
∴BO＝EF，又因为EF∥BD，
∴EFBO是平行四边形，
∴BF∥EO，又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE，
∴BF∥平面ACE.(7分)
(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面A
CE＝AC，
∴BD⊥平面ACE，∵EO?平面ACE，
∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.(14分)
3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足
f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|.
(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)．
解　(1)由题意得，w(t)＝f(t)·g(t)＝(115－|t－15|)(1≤t≤30，t∈N*)．(5分)
(2)因为w(t)＝(7分)
①当1≤t＜15时，w(t)＝(t＋100)＝4＋401≥4×2＋401＝441，
当且仅当t＝，即t＝5时取等号．(10分)
②当15≤t≤30时，w(t)＝(130－t)＝519＋，
可证w(t)[pic]在t∈[15,30]上单调递减，所以当t＝30时，w(t)取最小值为403.(13分)
由于403＜441[pic]，所以该城市旅游日收益的最小值为403万元．(14分)
4．如图，已知椭圆C：＋y2＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的两个顶点．
(1)设P是椭圆C上任意一点，若＝m＋n，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；
(2)若M、N是椭圆C上两上动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的[pic]面积是
否为定值，说明理由．
(1)证明　易求A(2,1)，B(－2,1)．(2分)
设P(x0，y0)，则＋y＝1.由＝m＋n，得
所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝.故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．(8分)
(2)解　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝－.
平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4.(10分)
因为直线MN的方程为(x2－x1)x－(y2－y1)y＋x1y2－x2y1＝0，
所以O到直线MN的距离为
d＝，(12分)
所以△OMN的面积S＝MN·d
＝|x1y2－x2y1|
＝
＝
＝＝1.
故△OMN的面积为定值1.(16分)
5．已知各项均为正数的[pic]数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N[pic]*)，且a1，a2，a7依次是等
比数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}及{bn}的通项公式；
(2)是否存在常数a