倒数第6天　立体几何
[保温特训]
1．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4π，则该正方体的表面积为________．
解析　设正方体的棱长为a，球的半径为R，则依题意有＝4π，解得R＝.因为a＝2R＝2，所以a＝2.故该正方体的面
积为6a2＝24.
答案　24
2．一块边长为10
cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为
顶点，加[pic]工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6 cm时，[pic]该容器的容积为________cm3.
[pic]
解析　由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧高为5 cm，高为4
cm，所以所求容积为48 cm3.
答案　48
3．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，[pic]则
该多面体的体积为________．
[pic]
解析　如图，分别过点A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连接DG、CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝
，
所以S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
所以V＝VE -ADG＋VF -BHC＋VAGD -BHC＝××＋××＋×1＝.
答案　
4．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下[pic]列命题：
①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，则α∥β；
②若l?α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；
③若α∥β，l∥α则l∥β；
④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.
其中真命题是______________(写出所有真命题的序号)．
解析　①：只有当l与m相交时，才可证明α∥β；③：l可能在平面β内．
答案　②④
5．设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥n，m⊥α，n?α则n∥α；
②若α⊥β，则α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；
④若n?α，m?β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．
其中，所有真命题的序号是________．
解析　③错误，α，β相交或平行；④错误，n与m可以垂直，不妨令n＝α∩β，则在β内存在m⊥n.
答案　①②
6．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件：
①存在一条直线a，a[pic]⊥α，a⊥β；
②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；
③存在两条平行[pic]直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α；
④存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α.
其中是平面α∥平面β的充分条件的为________(填上所有符号要求的序号)．
解析　①正确，此时必有α∥β；②错误，因为此时两平面平行或相交均可；③错误，当两直线a，b在两平面内分别与
[pic]两平面的交线平行即可；④正确，由于α∥β，经过直线α的平面与平面β交于a′，则a∥a′，即a′∥α，又b∥α，因
为a，b为异面直线，故a′，b为相交直线，由[pic]面面