倒数第2天　附加题必做部分
[保温特训]
1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中点．
[pic]
[pic](1)求证：A1B⊥AM；
(2)求二面角B -AM-C的平面角的大小．
(1)证明　以点C为原点，CB、CA[pic]、[pic]CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，如图所示
，
则B(1,0,0)，A(0，，0)，
A1(0，，)，M.
所以＝(1，－，－)，＝.
因为·＝1×0＋(－)×(－)＋(－)×＝0，所以A1B⊥AM.
(2)解　因为ABC -A[pic]1B1C1是直三棱[pic]柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以CC1⊥BC.
因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥平面AMC.
所以是平面AMC的一个法向量，＝(1,0,0)．
设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，
＝(－1，，0)，＝.
由得
令z＝2，得x＝，y＝.
所以n＝(，，2)
因为||＝1，|n|＝2，
所以cos〈，n〉＝＝，
因此二面角B -AM-C的大小为45°.
2．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且EB＝FB＝1.
(1)求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值；
(2)试在面A1B1C1D1上确定一点G，使DG⊥平面D1EF.
解　(1)以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建[pic]立空间直角坐标系，则有D(0，0,0)，D1(0,0,2)，
C1(0,4,2)，E(3,3,0)，F(2，4,0)，
于是＝(－3,1,2)，＝(－2，－4,2)．
设EC1与FD1所成角为α，则cos α＝＝＝.
∴异面直线EC1与FD1所成角的余弦值为.
(2)因点G在平面A1B1C1D1上，故可设G(x，y,2)．
＝(x，y,2)，＝(－2，－4，2)，[pic]＝(－1,1,0)．
由
得解得
故当点G在面A1B1C1D1上，且到A1D1，C1D1距离均为时，DG⊥D1EF.
3．某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打
、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高
一、高二获胜的概率分别为，.
(1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？
(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．
解　(1)先安排参加单打的队员有A种方法，再安排参加双打的队员有C种方法，
所以，高一年级代表队出场共有AC＝12种不同的阵容．
(2)ξ的取值可能是0,2,3,4,5,7.
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，
P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝7)＝.
ξ的概率分布列为 ξ |0 |2 |3 |4 |5 |7 | |P | | | | | | | |所以E(ξ)＝0×＋2×＋3×＋4×＋5×＋7×＝3.
4．设m，n∈N*，f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n.
(1)当m＝n＝2 011时，记f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 011x2 011，求a0－a1＋a2－…－a2&n