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一、选择题(本大题有7小题,每小题3分,共21分.每小题都有四个选项,其中有且只有一个选项正确)
1.下列计算正确的是
A.-1+2=1. B.-1-1=0. C.(-1)2=-1. D.-12=1.
2.已知∠A=60°,则∠A的补角是
A.160°.B.120°.
C.60°. D.30°.
3.图1是下列一个立体图形的三视图,则这个立体图形是
A.圆锥. B.球.
C.圆柱. D.正方体.
4.掷一个质地均匀的正方体骰子,当骰子停止后,朝上一面的点数为5的概率是
A.1. B.. C.. D.0.
5.如图2,在⊙O中,︵AB=︵AC,∠A=30°,则∠B=
A.150°.B.75°.
C.60°. D.15°.
6.方程=的解是
A.3. B.2.
C.1. D.0.
7.在平面直角坐标系中,将线段OA向左平移2个单位,平移后,点O,A的对应点分别为点O1,A1.若点O(0,0),A(1,4),则点O1,A1的坐标分别是
A.(0,0),(1,4). B.(0,0),(3,4).
C.(-2,0),(1,4).D.(-2,0),(-1,4).
二、填空题(本大题有10小题,每小题4分,共40分)
8.-6的相反数是 .
9.计算:m2·m3= .
10.式子在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 .
11.如图3,在△ABC中,DE∥BC,AD=1,AB=3,DE=2,则BC= .
12.在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示:
成绩/米 | 1.50 | 1.60 | 1.65 | 1.70 | 1.75 | 1.80 |
人数 | 2 | 3 | 3 | 2 | 4 | 1 |
则这些运动员成绩的中位数是 米.
13.x2-4x+4= ()2.
14.已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限,则常数m的取值范围是 .
15.如图4,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点.若AC+BD=24厘米,
△OAB的周长是18厘米,则EF= 厘米.
16.某采石场爆破时,点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域.甲工人在转移过程中,前40米只能步行,之后骑自行车.已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒,步行的速度为1米/秒,骑车的速度为4米/秒.为了确保甲工人的安全,则导火线的长要大于 米.
17.如图5,在平面直角坐标系中,点O是原点,点B(0,),点A在第一象限且AB⊥BO,点E是线段AO的中点,点M在线段AB上.若点B和点E关于直线OM对称,且则点M的坐标是 ( , ) .
三、解答题(本大题有9小题,共89分)
18.(本题满分21分)
(1)计算:5a+2b+(3a—2b);
(2)在平面直角坐标系中,已知点A(-4,1),B(-2,0),C(-3, -1),请在图6上画出△ABC,并画出与△ABC关于原点O对称的图形;
(3)如图7,已知∠ACD=70°,∠ACB=60°,∠ABC=50°.求证:AB∥CD.
19.(本题满分21分)
(1)甲市共有三个郊县,各郊县的人数及人均耕地面积如下表所示:
郊县 | 人数/万 | 人均耕地面积/公顷 |
A | 20 | 0.15 |
B | 5 | 0.20 |
C | 10 | 0.18 |
求甲市郊县所有人口的人均耕地面积(精确到0.01公顷);
(2)先化简下式,再求值: - ,其中x=+1, y=2—2;
(3)如图8,已知A,B,C,D 是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点E.若BC=BE.求证:△ADE是等腰三角形.
20.(本题满分6分)有一个质地均匀的正12面体,12个面上分别写有1~12这12个整数(每个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同).投掷这个正12面体一次,记事件A为 “向上一面的数字是2或3的整数倍”,记事件B为 “向上一面的数字是3的整数倍”,请你判断等式“P(A)=+P(B)”是否成立,并说明理由.
21.(本题满分6分)如图9,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点E,若AE=4,CE=8,DE=3,
梯形ABCD的高是,面积是54.求证:AC⊥BD.
22.(本题满分6分)一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始的3分内只进水不出水,在随后的
9分内既进水又出水,每分的进水量和出水量都是常数.容器内的水量y(单位:升)与时间x(单位:分)之间的关系如图10所示.当容器内的水量大于5升时,求时间x的取值范围.
23.(本题满分6分)如图11,在正方形ABCD中,点G是边BC上的任意一点,DE⊥AG,垂足为E,延长DE交AB于
点F.在线段AG上取点H,使得AG=DE+HG,连接BH.求证:∠ABH=∠CDE.
24.(本题满分6分)已知点O是坐标系的原点,直线y=-x+m+n与双曲线y=交于两个不同的点A(m,n)(m≥2)和B(p,q),直线y=-x+m+n与y轴交于点C ,求△OBC的面积S的取值范围.
25.(本题满分6分)如图12,已知四边形OABC是菱形,∠O=60°,点M是OA的中点.以点O为圆心,
r为半径作⊙O分别交OA,OC于点D,E,连接BM.若BM=, ︵DE的长是.求证:直线BC与⊙O相切.
26.(本题满分11分)若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且+=2(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,x2+3x-=0,x2+6x-27=0, x2+4x+4=0都是“偶系二次方程”.
(1)判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;
(2)对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”,并说明理由.
2013年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共7小题,每小题3分,共21分)
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
选项 | A | B | C | C | B | A | D |
二、填空题(本大题共10小题,每题4分,共40分)
8. 6 9. m5 10.x≥3 11. 6
12. 1.65 13. x—2 14. m>1
15. 3 16. 1.3 17.(1,)
三、解答题(本大题共9小题,共89分)
18.(本题满分21分)
(1)解:5a+2b+(3a—2b)
=5a+2b+3a—2b ……………………………3分
=8a. ……………………………7分
(2)
解: 正确画出△ABC ……………………………10分
正确画出△DEF……………………………14分
(3)证明1:∵∠ACD=70°,∠ACB=60°,
∴∠BCD=130°. …………16分
∵∠ABC=50°,
∴∠BCD+∠ABC=180°. …………18分
∴AB∥CD. …………21分
证明2:∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,
∴∠CAB=180°—50°—60°
=70°.………………16分
∵∠ACD=70°,
∴∠CAB=∠ACD. ………………18分
∴AB∥CD. ………………21分
19.(本题满分21分)
(1)解: ……………………………5分
≈0.17(公顷/人). ……………………………6分
∴ 这个市郊县的人均耕地面积约为0.17公顷.……………………7分
(2)解: —
=……………………………9分
=x-y. ……………………………11分
当 x=+1, y=2—2时,
原式= +1-(2—2) ……………………………12分
=3—.……………………………14分
(3)证明: ∵BC=BE,
∴∠E=∠BCE. ……………………………15分
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠A+∠DCB=180°.……………17分
∵∠BCE+∠DCB=180°,
∴∠A=∠BCE. ………………18分
∴∠A=∠E. ………………19分
∴ AD=DE.………………20分
∴△ADE是等腰三角形. ………………21分
20.(本题满分6分)
解:不成立 ……………………………1分
∵ P(A)==,……………………………3分
又∵P(B) ==,……………………………5分
而+=≠.
∴ 等式不成立. ……………………………6分
21.(本题满分6分)
证明1:∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠EBC,∠DAE=∠ECB.
∴△EDA∽△EBC. ……………………………1分
∴ ==. ……………………………2分
即:BC=2AD. ………………3分
∴54=×( AD+2AD)
∴AD=5. ………………4分
在△EDA中,
∵DE=3,AE=4,
∴DE2+AE2=AD2. ……………………………5分
∴∠AED=90°.
∴ AC⊥BD. ……………………………6分
证明2: ∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠EBC,∠DAE=∠ECB.
∴△EDA∽△EBC. ……………………………1分
∴=. ……………………………2分
即=.
∴BE=6.……………………………3分
过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F.
由于AD∥BC,
∴四边形ACFD是平行四边形.
∴DF=AC=12,AD=CF.
∴BF=BC+AD.
∴54=××BF.
∴BF=15. ……………………………4分
在△DBF中,
∵DB=9,DF=12,BF=15,
∴DB2+DF2=BF2. ……………………………5分
∴∠BDF=90°.
∴DF⊥BD.
∴AC⊥BD. ……………………………6分
22.(本题满分6分)
解1: 当0≤x≤3时,y=5x. ……………………………1分
当y>5时,5x>5,……………………………2分
解得 x>1.
∴1<x≤3. ……………………………3分
当3<x≤12时,
设 y=kx+b.
则解得
∴ y=-x+20.……………………………4分
当y>5时,-x+20>5,……………………………5分
解得 x<9.
∴ 3<x<9.……………………………6分
∴容器内的水量大于5升时,1<x<9 .
解2: 当0≤x≤3时,y=5x. ……………………………1分
当y=5时,有5=5x,解得 x=1.
∵ y随x的增大而增大,
∴当y>5时,有x>1.……………………………2分
∴ 1<x≤3. ……………………………3分
当3<x≤12时,
设 y=kx+b.
则解得
∴ y=-x+20. ……………………………4分
当y=5时,5=-x+20.
解得x=9.
∵ y随x的增大而减小,
∴当y>5时,有x<9. ……………………………5分
∴3<x<9. ……………………………6分
∴容器内的水量大于5升时,1<x<9 .
23.(本题满分6分)
证明1:∵四边形ABCD是正方形,∴∠FAD==90°.
∵DE⊥AG,∴∠AED=90°.
∴∠FAG+∠EAD=∠ADF+∠EAD
∴∠FAG=∠ADF.…………………1分
∵AG=DE+HG,AG=AH+HG,
∴ DE=AH. ……………………………2分
又AD=AB,
∴ △ADE≌△ABH.……………………………3分
∴ ∠AHB=∠AED=90°.
∵∠ADC==90°,……………………………4分
∴ ∠BAH+∠ABH=∠ADF+∠CDE. ……………………………5分
∴ ∠ABH=∠CDE.……………………………6分
24.(本题满分6分)
解:∵ 直线y=-x+m+n与y轴交于点C,
∴ C(0,m+n).
∵点B(p,q)在直线y=-x+m+n上, ……………………………1分
∴q=-p+m+n. ……………………………2分
又∵点A、B在双曲线y=上,
∴=-p+m+.
即p-m=,
∵点A、B是不同的点.
∴ p-m≠0.∴ pm=1. ……………………………3分
∵ nm=1,
∴ p=n,q=m. ……………………………4分
∵1>0,∴在每一个象限内,
反比例函数y=的函数值y随自变量x的增大而减小.
∴当m≥2时,0<n≤.……………………………5分
∵S=( p+q) p
=p2+pq
=n2+
又∵>0,对称轴n=0,
∴当0<n≤时,S随自变量n的增大而增大.
<S≤. ……………………………6分
25.(本题满分6分)
证明一:∵︵DE的长是,∴·60=.∴ r=. ……………………1分
作BN⊥OA,垂足为N.
∵四边形OABC是菱形,
∴AB∥CO.
∵∠O=60°,
∴∠BAN=60°,∴∠ABN=30°.
设NA=x,则AB=2x,∴ BN=x. ……………………………2分
∵M是OA的中点,且AB=OA,
∴ AM=x. ……………………………3分
在Rt△BNM中,
(x)2+(2x)2=()2,
∴ x=1,∴BN=. ……………………………4分
∵ BC∥AO,
∴ 点O到直线BC的距离d=. ……………………………5分
∴ d=r.
∴ 直线BC与⊙O相切.……………………………6分
证明二:∵︵DE的长是,∴·60=.∴ r=. ……………………1分
延长BC,作ON⊥BC,垂足为N.
∵ 四边形OABC是菱形
∴ BC∥AO,
∴ ON⊥OA.
∵∠AOC=60°,
∴∠NOC=30°.
设NC=x,则OC=2x, ∴ON=x ……………………………2分
连接CM, ∵点M是OA的中点,OA=OC,
∴ OM=x.……………………………3分
∴四边形MONC是平行四边形.
∵ ON⊥BC,
∴四边形MONC是矩形. ……………………………4分
∴CM⊥BC. ∴ CM=ON=x.
在Rt△BCM中,
(x)2+(2x)2=()2,
解得x=1.
∴ON=CM=. ……………………………5分
∴ 直线BC与⊙O相切.……………………………6分
26.(本题满分11分)
(1)解:不是……………………………1分
解方程x2+x-12=0得,x1=-4,x2=3. ……………………………2分
+=4+3=2×. ……………………………3分
∵3.5不是整数,
∴方程x2+x-12=0不是“偶系二次方程”.…………………………4分
(2)解:存在 …………………………6分
∵方程x2-6x-27=0,x2+6x-27=0是“偶系二次方程”,
∴ 假设 c=mb2+n.…………………………8分
当 b=-6,c=-27时,有 -27=36m+n.
∵x2=0是“偶系二次方程”,
∴n=0,m=- . …………………………9分
即有c=- b2.
又∵x2+3x-=0也是“偶系二次方程”,
当b=3时,c=- ×32=-.
∴可设c=- b2.…………………………10分
对任意一个整数b,当c=- b2时,
∵△=b2-4c
=4b2.
∴ x= .
∴ x1=-b,x2=b.
∴ +=+=2.
∵b是整数,∴对任意一个整数b,当c=- b2时,关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”. …………………………11分