一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每题的选项中只有一项符合题目要求．

1．（4分）（2013•乌鲁木齐）|﹣2|的相反数是（　　）

A． ﹣2 B． ﹣ C． D． 2

考点： 绝对值；相反数．

分析： 相反数的意义：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

解答： 解：∵|﹣2|=2，

∴2的相反数是﹣2．

故选A．

点评： 本题考查了相反数的意义及绝对值的性质：学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．

2．（4分）（2013•乌鲁木齐）下列运算正确的是（　　）

A． a4+a2=a6 B． 5a﹣3a=2 C． 2a3•3a2=6a6 D． （﹣2a）﹣2=

考点： 单项式乘单项式；合并同类项；负整数指数幂．

分析： 根据单项式乘单项式、合并同类项、负整数指数幂的运算法则，分别进行计算，即可得出答案．

解答： 解：A、a4+a2不能合并，故本选项错误；

B、5a﹣3a=2a，故本选项错误；

C、2a3•3a2=6a5，故本选项错误；

D、（﹣2a）﹣2=故本选项正确；

故选D．

点评： 此题考查了单项式乘单项式、合并同类项、负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则，注意指数的变化情况．

3．（4分）（2013•乌鲁木齐）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）

A． π B． 2π C． 3π D． 4π

考点： 圆锥的计算；由三视图判断几何体．

专题： 计算题．

分析： 先根据三视图得到该几何体为圆锥，并且圆锥的底面圆的半径为1，高为3，然后根据圆锥的体积公式求解．

解答： 解：根据三视图得该几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为1，高为3，

所以圆锥的体积=×π×12×3=π．

故选A．

点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．

4．（4分）（2013•乌鲁木齐）若关于x的方程式x2﹣x+a=0有实根，则a的值可以是（　　）

A． 2 B． 1 C． 0.5 D． 0.25

考点： 根的判别式．

分析： 根据判别式的意义得到△=（﹣1）2﹣4a≥0，然后解不等式，最后根据不等式的解集进行判断．

解答： 解：根据题意得△=（﹣1）2﹣4a≥0，

解得m≤．

故选D．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

5．（4分）（2013•乌鲁木齐）如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG=﹣1，则△ABC的周长为（　　）

A． 4+2 B． 6 C． 2+2 D． 4

考点： 切线的性质．

分析： 首先连接OD，OE，易证得四边形ODCE是正方形，△OEB是等腰直角三角形，首先设OE=r，由OB=OE=r，可得方程：﹣1+r=r，解此方程，即可求得答案．

解答： 解：连接OD，OE，

∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，

∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°，

∴四边形ODCE是矩形，

∵OD=OE，

∴四边形ODCE是正方形，

∴CD=CE=OE，

∵∠A=∠B=45°，

∴△OEB是等腰直角三角形，

设OE=r，

∴BE=OG=r，

∴OB=OG+BG=﹣1+r，

∵OB=OE=r，

∴﹣1+r=r，

∴r=1，

∴AC=BC=2r=2，AB=2OB=2×（1+﹣1）=2．

∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=4+2．

故选A．

点评： 此题考查了切线的性质、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．

6．（4分）（2013•乌鲁木齐）某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出的速度保持不变）．该仓库库存物资m（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是（　　）

A． 8.4小时 B． 8.6小时 C． 8.8小时 D． 9小时

考点： 函数的图象．

分析： 通过分析题意和图象可求调进物资的速度，调出物资的速度；从而可计算最后调出物资20吨所花的时间．

解答： 解：调进物资的速度是60÷4=15吨/时，

当在第4小时时，库存物资应该有60吨，在第8小时时库存20吨，

所以调出速度是=25吨/时，

所以剩余的20吨完全调出需要20÷25=0.8小时．

故这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是8+0.8=8.8小时．

故选C．

点评： 此题主要考查了函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

7．（4分）（2013•乌鲁木齐）种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数和众数分别是（　　）

A． 13.5，20 B． 15，5 C． 13.5，14 D． 13，14

考点： 众数；条形统计图；中位数．

分析： 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合直方图即可得出众数，中位数．

解答： 解：接黄瓜14根的最多，故众数为14；

总共50株，中位数落在第25、26株上，分别是13，14，故中位数为=13.5．

故选C．

点评： 本题考查了众数、中位数及条形统计图的知识，解答本题的关键是理解众数、中位数的定义，能看懂统计图．

8．（4分）（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，﹣b）．如f（1，2）=（1，﹣2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，﹣9））=（　　）

A． （5，﹣9） B． （﹣9，﹣5） C． （5，9） D． （9，5）

考点： 点的坐标．

专题： 新定义．

分析： 根据两种变换的规则，先计算f（5，﹣9）=（5，9），再计算g（5，9）即可．

解答： 解：g（f（5，﹣9））=g（5，9）=（9，5）．

故选D．

点评： 本题考查了点的坐标，理解新定义的变化规则是解题的关键．

9．（4分）（2013•乌鲁木齐）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（　　）

A． B． C． D．

考点： 规律型：数字的变化类．

分析： 根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数得到莱布尼兹三角形，得到一个莱布尼兹三角形，从而可求出第n（n≥3）行第3个数字，进而可得第8行第3个数．

解答： 解：将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数，得到莱布尼兹三角形，

杨晖三角形中第n（n≥3）行第3个数字是Cn﹣12，

则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是=，

则第8行第3个数（从左往右数）为=；

故选B．

点评： 本题考查了数字的变化类，解题的关键是通过观察、分析、归纳推理，得出各数的关系，找出规律．

10．（4分）（2013•乌鲁木齐）已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（　　）

A． ﹣2 B． 0 C． 2 D． 2.5

考点： 二次函数的最值．

分析： 首先求出k的取值范围，进而利用二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值求出即可．

解答： 解：∵m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，

∴m，n，k最小为0，当n=0时，k最大为：，

∴0≤k，

∵2k2﹣8k+6=2（k﹣2）2﹣2，

∴a=2＞0，∴k≤2时，代数式2k2﹣8k+6的值随x的增大而减小，

∴k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值为：2×（）2﹣8×+6=2.5．

故选：D．

点评： 此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数增减性等知识，根据二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值是解题关键．

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）把答案直接填在答题卡的相应位置处．

11．（4分）（2013•乌鲁木齐）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n道题，则根据题意可列不等式　10x﹣5（20﹣x）＞90　．

考点： 由实际问题抽象出一元一次不等式．

分析： 根据答对题的得分：10x；答错题的得分：﹣5（20﹣x），得出不等关系：得分要超过90分．

解答： 解：根据题意，得

10x﹣5（20﹣x）＞90．

故答案为：10x﹣5（20﹣x）＞90．

点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，要特别注意：答错或不答都扣5分，至少即大于或等于．

12．（4分）（2013•乌鲁木齐）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为　　．

考点： 平行线分线段成比例．

分析： 根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出=，由GH∥CD，得出=，将两个式子相加，即可求出GH的长．

解答： 解：∵AB∥GH，

∴=，即=①，

∵GH∥CD，

∴=，即=②，

①+②，得+=+，

∵CH+BH=BC，

∴+=1，

解得GH=．

故答案为．

点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．

13．（4分）（2013•乌鲁木齐）在一个不透明的口袋中有颜色不同的红、白两种小球，其中红球3只，白球n只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为，则n=　9　．

考点： 概率公式．

分析： 根据题意，由概率公式可得方程：=，解此方程即可求得答案．

解答： 解：根据题意得：

=，

解得：n=9，

经检验：x=9是原分式方程的解．

故答案为：9．

点评： 此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

14．（4分）（2013•乌鲁木齐）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE=BE，则△OEF的面积的值为　　．

考点： 反比例函数系数k的几何意义．

分析： 连接OB．首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得出S△AOE=S△COF=1.5，然后由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F是BC的中点，则S△BEF=S△OCF=0.75，最后由S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF，得出结果．

解答： 解：连接OB．

∵E、F是反比例函数y=（x＞0）的图象上的点，EA⊥x轴于A，FC⊥y轴于C，

∴S△AOE=S△COF=×3=．

∵AE=BE，

∴S△BOE=S△AOE=，S△BOC=S△AOB=3，

∴S△BOF=S△BOC﹣S△COF=3﹣=，

∴F是BC的中点．

∴S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=6﹣﹣﹣×=．

故答案是：．

点评： 本题主要考查反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．得出点F为BC的中点是解决本题的关键．

15．（4分）（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为　　．

考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．

分析： 延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，从而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，点F是CG中点，判断出DF是△CBG的中位线，继而可得出答案．

解答： 解：延长CF交AB于点G，

∵在△AFG和△AFC中，

，

∴△AFG≌△AFC（ASA），

∴AC=AG，GF=CF，

又∵点D是BC中点，

∴DF是△CBG的中位线，

∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=．

故答案为：．

点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，同学们要注意培养自己的敏感性，一般出现即是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．

三、解答题（本大题包括I-V题，共9小题，共90分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明，证明过程或演算过程．

16．（6分）（2013•乌鲁木齐）﹣22﹣（﹣）﹣2﹣|2﹣2|+．

考点： 实数的运算．

分析： 原式第一项表示2的平方的相反数，第二项表示负整数指数幂，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．

解答： 解：原式=﹣4﹣4﹣（2﹣2）+2

=﹣6．

点评： 此题考查了实数的运算，涉及的知识有：有理数的乘方运算，绝对值，以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．（8分）（2013•乌鲁木齐）先化简：（﹣x+1）÷，然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．

考点： 分式的化简求值．

分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．

解答： 解：原式=（﹣）÷

=×

=，

当x=1时，原式==3．

点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

18．（7分）（2013•乌鲁木齐）在水果店里，小李买了5kg苹果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王买了11kg苹果，5kg梨，老板按九折收钱，收了90元，该店的苹果和梨的单价各是多少元？

考点： 二元一次方程组的应用．

分析： 首先设该店的苹果的单价是每千克x元，梨的单价是每千克y元，由题意可得等量关系：5kg苹果的价钱+3kg梨的价钱﹣2元=50元；（1kg苹果的价钱+5kg梨的价钱）×9折=90元，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可．

解答： 解：设该店的苹果的单价是每千克x元，梨的单价是每千克y元，由题意得：

，

解得：，

答：该店的苹果的单价是每千克5元，梨的单价是每千克9元．

点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，找出等量关系，列出方程．

19．（10分）（2013•乌鲁木齐）如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．

考点： 菱形的判定．

专题： 证明题．

分析： 求出CE=EH，AC=AH，证△CAF≌△HAF，推出∠ACD=∠AHF，求出∠B=∠ACD=∠FHA，推出HF∥CE，推出CF∥EH，得出平行四边形CFHE，根据菱形判定推出即可．

解答： 证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，

∴CE=EH，

在Rt△ACE和Rt△AHE中，AC=AC，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，

∵AE平分∠CAB，

∴∠CAF=∠HAF，

在△CAF和△HAF中

∴△CAF≌△HAF（SAS），

∴∠ACD=∠AHF，

∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠CDA=∠ACB=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，

∴∠ACD=∠B=∠AHF，

∴FH∥CE，

∵CD⊥AB，EH⊥AB，

∴CF∥EH，

∴四边形CFHE是平行四边形，

∵CE=EH，

∴四边形CFHE是菱形．

点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．

20．（12分）（2013•乌鲁木齐）国家环保部发布的（环境空气质量标准）规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米，某市环保部门随机抽取了一居民区去年若干天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，并统计如下：

（1）求出表中a、b、c的值，并补全频数分布直方图．

（2）从样本里PM2.5的24小时平均浓度不低于50微克/立方米的天数中，随机抽取两天，求出“恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度不低于75微克/立方米”的概率．

（3）求出样本平均数，从PM2.5的年平均浓度考虑，估计该区居民去年的环境是否需要改进？说明理由．

考点： 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；列表法与树状图法．

专题： 图表型．

分析： （1）先根据第一组的频数与频率求出被抽查的天数，然后乘以频率0.5求出a，再求出b，根据频率之和等于1求出c；

（2）设50＜x＜75的三天分别为A1、A2、A3，75＜x＜100的两天分别为B1、B2，然后画出树状图，再根据概率公式列式计算即可得解；

（3）利用加权平均数的求解方法，列式进行计算即可得解，然后与PM2.5的年平均浓度标准比较即可得解．

解答： 解：（1）被抽查的天数为：5÷0.25=20天，

a=20×0.5=10，

b=20﹣5﹣10﹣2=20﹣17=3，

c=1﹣0.25﹣0.5﹣0.1=1﹣0.85=0.15；

故a、b、c的值分别为10、3、0.15；

补全统计图如图所示：

（2）设50＜x＜75的三天分别为A1、A2、A3，75＜x＜100的两天分别为B1、B2，

根据题意画出树状图如下：

一共有20种情况，“恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度不低于75微克/立方米”的有12种情况，

所以，P==；

（3）平均浓度为：==40微克/立方米，

∵40＞35，

∴从PM2.5的年平均浓度考虑，该区居民去年的环境需要改进．

点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21．（11分）（2013•乌鲁木齐）九（1）数学兴趣小组为了测量河对岸的古塔A、B的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l上取相距20m的C、D两点，测得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=30°，如图所示，求古塔A、B的距离．

考点： 解直角三角形的应用．

专题： 应用题．

分析： 过点A作AE⊥l于点E，过点C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，设AE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出CE，再由CD=20m，可求出x，继而得出CF的长，在Rt△ACF中求出AF，在Rt△BCF中，求出BF，继而可求出AB．

解答： 解：过点A作AE⊥l于点E，过点C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，

设AE=x，

∵∠ACD=120°，∠ACB=15°，

∴∠ACE=45°，

∴∠BCE=∠ACF﹣∠ACB=30°，

在Rt△ACE中，∵∠ACE=45°，

∴EC=AE=x，

在Rt△ADE中，∵∠ADC=30°，

∴ED=AEcot30°=x，

由题意得，x﹣x=20，

解得：x=10（+1），

即可得AE=CF=10（+1）米，

在Rt△ACF中，∵∠ACF=45°，

∴AF=CF=10（+1）米，

在Rt△BCF中，∵∠BCF=30°，

∴BF=CFtan30°=（10+）米，

故AB=AF﹣BF=米．

答：古塔A、B的距离为米．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度，注意将实际问题转化为数学模型．

22．（10分）（2013•乌鲁木齐）如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：

（1）△AEB∽△OFC；

（2）AD=2FO．

考点： 圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： （1）连接OB，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BOC，根据垂径定理可得∠COF=∠BOC，再根据垂直的定义可得∠OFC=∠AEB=90°，然后根据两角对应相等，两三角形相似证明即可；

（2）根据相似三角形对应边成比例可得=，再根据圆周角定理求出∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，然后求出△ADE和△BCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，再根据垂径定理BC=2FC，代入整理即可得证．

解答： 证明：（1）如图，连接OB，则∠BAE=∠BOC，

∵OF⊥BC，

∴∠COF=∠BOC，

∴∠BAE=∠COF，

又∵AC⊥BD，OF⊥BC，

∴∠OFC=∠AEB=90°，

∴△AEB∽△OFC；

（2）∵△AEB∽△OFC，

∴=，

由圆周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，

∴△ADE∽△BCE，

∴=，

∴=，

∵OF⊥BC，

∴BC=2FC，

∴AD=•FO=2FO，

即AD=2FO．

点评： 本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，熟记两个定理并准确识图找出相等的角从而得到三角形相似是解题的关键．

23．（12分）（2013•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：

同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．

（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．

（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？

（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？

考点： 二次函数的应用．

分析： （1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式；

（2）根据z=（x﹣20）y﹣40得出z与x的函数关系式，求出即可；

（3）首先求出40=﹣（x﹣50）2+50时x的值，进而得出x（元/个）的取值范围．

解答： 解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，

设解析式为：y=ax+b，

则，

解得：，

故函数解析式为：y=﹣x+8；

（2）根据题意得出：

z=（x﹣20）y﹣40

=（x﹣20）（﹣x+8）﹣40

=﹣x2+10x﹣200，

=﹣（x2﹣100x）﹣200

=﹣[（x﹣50）2﹣2500]﹣200

=﹣（x﹣50）2+50，

故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．

（3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．

如上图，通过观察函数y=﹣（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．

而y与x的函数关系式为：y=﹣x+8，y随x的增大而减少，

因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．

点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式、二次函数最值问题等知识，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键．

24．（14分）（2013•乌鲁木齐）如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．

（1）求证：△OAD≌△EAB；

（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；

（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）证明IF⊥OD，进而得到∠FED=∠EBA；又因为DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，故可证明△OAD≌△EAB；

（2）首先求出点B、E的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（3）由于直线BD与x轴关于直线BF对称，则抛物线与直线BD的交点即为所求之点P．分别求出抛物线与直线BD的解析式，联立解方程，即可求出交点（点P）的坐标；

（4）首先证明△OED是顶角为135°的等腰三角形，若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形．如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M1，M2，M3，M4，其中符合题意的是点M1，M3．

解答： （1）证明：如答图1所示，连接ID，IO，

∵I为△BOD的外心，∴IO=ID，

又F为OD的中点，∴IF⊥OD．

∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°，又∠DEF=∠AEB，

∴∠FED=∠EBA．而DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，

∴△OAD≌△EAB．

（2）解：由（1）知IF⊥OD，又BF为中线，

∴BO=BD=AB=2，

∴OA=BO﹣AB=2﹣．

由（1）知△OAD≌△EAB，∴AE=OA=2﹣，

∴E（2﹣，2﹣），B（2，0）．

设过点O、B、E的抛物线解析式为y=ax2+bx，

则有，

解得，

∴抛物线的解析式为：y=x2+x．

（3）解：∵直线BD与x轴关于直线BF对称，

∴抛物线与直线BD的交点，即为所求之点P．

由（2）可知，B（2，0），D（2﹣，），可得直线BD的解析式为y=﹣x+2．

∵点P既在直线y=﹣x+2上，也在抛物线y=x2+x上，

∴﹣x+2=x2+x，解此方程得：x=2或x=，

当x=2时，y=﹣x+2=0；当x=时，y=﹣x+2=2﹣，

∴点P的坐标为（2，0）（与点B重合），或（，2﹣）．

（4）解：∵DBO=45°，BD=BO，BF⊥OD，

∴∠EBA=22.5°，由（1）知∠ODA=22.5°，故∠DOA=67.5°，OA=EA，

∴∠EOA=45°，∠DOE=22.5°，即△OED是顶角为135°的等腰三角形．

若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形．

如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M1，M2，M3，M4，其中符合题意的是点M1，M3．

∵DM1=DB=2，OA=2﹣，∴M1（﹣，）．

由（1）知B（2，0），E（2﹣，2﹣），故直线BE的解析式为y=（1﹣）x﹣2+．

I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分线x=1与OD的垂直平分线BE的交点，

∴I（1，﹣1），即M3（1，﹣1）．

故符合题意的M点的坐标为（﹣，），（1，﹣1）．

点评： 本题考查了二次函数综合题型：第（1）问涉及全等三角形的证明；第（2）问涉及利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式；第（3）问涉及轴对称知识，以及抛物线与一次函数的交点问题；第（4）问涉及相似三角形的判定，以及点的坐标的确定与计算．本题涉及考点众多，难度较大，对数学能力要求较高．