第I卷（选择题，共30分）

一．选择题：（本题10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．－2013的绝对值是（ ）

A．2013 B．-2013 C．±2013 D．

答案：A

解析：负数的绝对值是它的相反数，故选A。

2．某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元。这一数据用科学记数法表示为（ ）

A．元 B．元 C．元 D．元

答案：C

解析：科学记数法写成：形式，其中，二十一万三千元＝213000＝元

3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

答案：D

解析：A、C只是轴对称图形，不是中心对称图形；B是中心对称图形，不是轴对称轴图形，只有D符合。

4．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%。那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．一样

答案：C

解析：设原价a元，则降价后，甲为：a（1－20%）（1－10%）＝0.72a元，

乙为：（1－15%）2a＝0.7225a元，丙为：（1－30%）a＝0.7a元，所以，丙最便宜。

5．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（　）

A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4）

C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）

答案：C

解析：因为太阳从东边出来，右边是东，所以，早上的投影在左边，（3）最先，下午的投影在右边，（2）最后，选C。

6．若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　）

答案：B

解析：因为方程有两个不相等的实数根，所以，△＝36－12m＞0，得m＜3，故选B。

7．下列说法正确的是（　 ）

A．一个游戏中奖的概率是，则做100次这样的游戏一定会中奖

B．为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式

C．一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1

D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定

答案：C

解析：由概率的意义，知A错；全国中学生较多，应采用抽样调查，故B也错；经验证C正确；方差小的稳定，在D中，应该是甲较稳定，故D错。

8．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF=米，则这段弯路的长度为（　）

A．200π米 B．100π米

C．400π米 D．300π米

答案：A

解析：CF＝300，OF＝，所以，∠COF＝30°，∠COD＝60°，

OC＝600，因此，弧CD的长为：＝200π米

9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE最小的值是（　 ）

A．2 B．3

C．4 D．5

答案：B

解析：由勾股定理，得AC＝5，因为平行边形的对角线互相平分，所以，DE一定经过AC中点O，当DE⊥BC时，DE最小，此时OD＝，所以最小值DE＝3

10．二次函数的图象如图所示，反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ 　 ）

答案：B

解析：由二次函数图象，知a＜0，c＞0，＞0，所以，b＞0，

所以，反比例函数图象在一、三象限，排除C、D，直线y＝cx＋a中，因为a＜0，所以，选B。

第II卷（非选择题，共90分）

二．填空题：（本题6个小题，每小题3分，共18分。把最后答案直接填在题中的横线上）

11．分解因式：=_　　　　　_.

答案：x（x＋3）（x－3）

解析：原式＝x（x2－9）＝x（x＋3）（x－3）

12．某校在今年“五·四”开展了“好书伴我成长”的读书活动。为了解八年级450名学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生本学期读书册数，并将统计数据制成了扇形统计图，则该校八年级学生读书册数等于3册的约有　　　名。

答案：162

解析：读书册数等于3的约占比例：1－6%－24%－30%－6%＝36%，

36%×450＝162

13．点、在反比例函数的图象上，当时，,则k的取值可以是___　_（只填一个符合条件的k的值）.

答案：－1

解析：由题知，y随x的增大而增大，故k是负数，此题答案不唯一。

14．如果实数x满足，那么代数式的值为_　　_.

答案：5

解析：由知，得＝3，原式＝＝5。

15．如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10。设AE=x，则x 的取值范围是　　　　.

答案：2≤x≤6

解析：如图，设AG＝y，则BG＝6－y，在Rt△GAE中，

x2＋y2＝（6－y）2，即（，当y＝0时，x取最大值为6；当y＝时,x取最小值2，故有2≤x≤6

16．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=　　　　度。

答案：

解析：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=k∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A1，∴∠A1=，
同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，∴∠A2=，

所以，猜想：∠A2013=

三．解答题（72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

（一）（本题2个小题，共13分）

17．（6分）计算：

解析：原式＝1＋2－＋9＝10＋

18．（7分）钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测。如图，E、F为钓鱼岛东西两端。某日，中国一艘海监船从A点向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离CF=公里，在A点测得钓鱼岛最西端F在最东端E的东北方向（C、F、E在同一直线上）。求钓鱼岛东西两端的距离。（，，结果精确到0.1）

解析：

由题知，在Rt△ACF中，∠ACF=90°,

∠A=30°，CF=20公里.

∴cot30°=.

解得，AC=60（公里）.………………………(2分)

又∵E在B的东北方向，且∠ACF=90°

∴∠E=∠CBE=45°，

∴CE=CB.………………………………………………(4分)

又∵CB=AC-AB=60-22=38(公里)，

∴CE=38公里.………………………(5分)

∴EF=CE-CF=38-20≈3.4（公里）………………………(6分)

答：钓鱼岛东西两端的距离约为3.4公里.………………………(7分)

（二）（本题2个小题，共14分）

19．（7分）已知，则

……

已知，求n的值。

解析：由题知

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)

=+++…+

=1-+-+-+…+-

=1-………………………(4分）

=.………………………(4分）

又∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=,

∴=.

解得n=14.………………………(6分）

经检验，n=14是上述方程的解.

故n的值为14.………………………(7分）

20．（7分）某中学举行“中国梦·我的梦”演讲比赛。志远班的班长和学习委员都想去，于是老师制作了四张标有算式的卡片，背面朝上洗匀后，先由班长抽一张，再由学习委员在余下三张中抽一张。如果两张卡片上的算式都正确，班长去；如果两张卡片上的算式都错误，学习委员去；如果两张卡片上的算式一个正确一处错误，则都放回去，背面朝上洗匀后再抽。

这个游戏公平吗？请用树状图或列表的方法，结合概率予以说明。

解析：公平.………………………(1分)

用列表法或树状图列出该事件的等可能情况如下：

由此可知该事件共有12种等可能结果.………………………(4分)

∵四张卡片中，A、B中的算式错误，C、D中的算式正确，

∴都正确的有CD、DC两种，都错误的有AB、BA两种.………………………(5分)

∴班长去的概率P（班长去）==，

学习委员去的概率P（学习委员去）==，

P（班长去）=P（学习委员去)

∴这个游戏公平.………………………(7分)

（三）（本题2个小题，共16分）

21．（8分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点，连结AO。

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标。

解析：

(1)∵y=的图像过点（，-3），

∴k1=3xy=3××(-3)=-3.

∴反比例函数为y.………………………(1分）

∴a==1，

∴A（-1,1）.………………………(2分）

∴

解得

∴一次函数为y=-3x-2.………………………(4分）

16、C(0,)、………………………(5分）

或（0，-）、………………………(6分）

或（0,1）、………………………(7分）

或（0，2）.………………………(8分）

22．（8分）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方。例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，
或
③选取一次项和常数项配方：
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出的两种不同形式的配方；

（2）已知，求的值。

解析：：（1）＝x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12

或＝（x-2）2-4x

(2)

X=-1,y=2.因此xy=(-1)2=1

（四）（本题2个小题，共17分）

23．（8分）今年，6月12日为端午节。在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。

（1）小华的问题解答：

解析：（1）解：设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得

（x-2)（500-×10）=800 .………………………(2分）

整理得：x2-10x+24=0.

解之得：x1=4,x2=6.………………………(3分）

∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2×240%=4.8（元）.

∴x2=6不合题意,舍去,得x=4.

答：应定价4元/个，才可获得800元的利润.………………………(4分）

（2）解：设每天利润为W元，定价为x元/个，得

W=（x-2)(500-×10)

=-100x2+1000x-1600

=-100(x-5)2+900.………………………(6分）

∵x≤5时W随x的增大而增大,且x≤4.8，

∴当x=4.8 时，W最大，

W最大=-100×（4.8-5)2+900=896＞800 .………………………(7分）

故800元不是最大利润.当定价为4.8元/个时，每天利润最大.………………………(8分）

24．（9分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。

FF

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。

（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。
根据__SAS__________，易证△AFG≌_△AFE_______，得EF=BE+DF。

（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系_互补___时，仍有EF=BE+DF。

（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。

解：BD2+EC2=DE2

解析：(1)SAS………………………(1分）

△AFE………………………(2分）

(2)∠B+∠D=180°………………………(4分）

(3)解：BD2+EC2=DE2.………………………(5分）

∵AB=AC，

∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合.

∵△ABC中，∠BAC=90°.

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.

∴EC2+CG2=EG2.………………………(7分）

在△AEG与△AED中,

∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,

又∵AD=AG，AE=AE，

∴△AEG≌△AED.

∴DE=EG.又∵CG=BD,

∴BD2+EC2=DE2.………………………(9分）

（五）（本题12分）

25．如图，在直角体系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、MD和OC。
（1）求证：CD是⊙M的切线；

（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）证明：连结CM.

∵OA 为⊙M直径,

∴∠OCA=90°.

∴∠OCB=90°.

∵D为OB中点,

∴DC=DO.

∴∠DCO=∠DOC.………………………(1分）

∵MO=MC,

∴∠MCO=∠MOC.………………………(2分）

∴∠DCM=∠DCO+∠MCO=∠DOC+∠MOC=∠DOM=90°.………………………(3分）

又∵点C在⊙M上，

∴DC是⊙M的切线.………………………(4分）

（2）解：在Rt△ACO中,有OC=.

又∵A点坐标（5，0）, AC=3,

∴OC==4.

∴tan∠OAC=.

∴.解得 OB=.

又∵D为OB中点，∴OD=.

D点坐标为（0，).………………………(5分）

连接AD，设直线AD的解析式为y=kx+b,则有

j解得

∴直线AD为y=-x+.

∵二次函数的图象过M（,0)、A(5,0)，

∴抛物线对称轴x=.………………………(6分）

∵点M、A关于直线x=对称，设直线AD与直线x=交于点P,

∴PD+PM为最小.

又∵DM为定长，

∴满足条件的点P为直线AD与直线x=的交点.………………………(7分）

当x=时,y=-+=.

故P点的坐标为（，）.………………………(8分）

（3）解：存在.

∵S△PDM=S△DAM-S△PAM

=AM·yD-AM·yP

=AM(yD-yp).

S△QAM=AM·,由（2）知D（0，),P(，）,

∴×（-）=yQ 解得yQ=±………………………(9分）

∵二次函数的图像过M(0，)、A(5，0），

∴设二次函数解析式为y=a(x-)（x-5).

又∵该图象过点D（0，)，

a×(-）×(-5)=，a=.

∴y=(x-)(x-5).………………………(10分）

又∵C点在抛物线上，且yQ=±，

∴(x-)(x-5)=±.

解之，得x1=，x2=，x3=.

∴点Q的坐标为（，)，或（，)，或（，-）.…………(12分）