一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共24分）

1．（3分）（2013•沈阳）2013年第一季度，沈阳市公共财政预算收入完成196亿元（数据来源：4月16日《沈阳日报》），将196亿用科学记数法表示为（　　）

A． 1.96×108 B． 19.6×108 C． 1.96×1010 D． 19.6×1010

考点： 科学记数法—表示较大的数

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于196亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．

解答： 解：196亿=19 600 000 000=1.96×1010．

故选C．

点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

2．（3分）（2013•沈阳）如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（　　）

A． 圆柱体 B． 三棱锥 C． 球体 D． 圆锥体

考点： 由三视图判断几何体．

分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

解答： 解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，

由俯视图为圆可得为圆柱体．

故选A．

点评： 本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．

3．（3分）（2013•沈阳）下面的计算一定正确的是（　　）

A． b3+b3=2b6 B． （﹣3pq）2=﹣9p2q2 C． 5y3•3y5=15y8 D． b9÷b3=b3

考点： 单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．

分析： 根据合并同类项的法则判断A；

根据积的乘方的性质判断B；

根据单项式乘单项式的法则判断C；

根据同底数幂的除法判断D．

解答： 解：A、b3+b3=2b3，故本选项错误；

B、（﹣3pq）2=9p2q2，故本选项错误；

C、5y3•3y5=15y8，故本选项正确；

D、b9÷b3=b6，故本选项错误．

故选C．

点评： 本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质与法则是解题的关键．

4．（3分）（2013•沈阳）如果m=，那么m的取值范围是（　　）

A． 0＜m＜1 B． 1＜m＜2 C． 2＜m＜3 D． 3＜m＜4

考点： 估算无理数的大小

分析： 先估算出在2与3之间，再根据m=，即可得出m的取值范围．

解答： 解：∵2＜3，m=，

∴m的取值范围是1＜m＜2；

故选B．

点评： 此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分，是一到基础题．

5．（3分）（2013•沈阳）下列事件中，是不可能事件的是（　　）

A． 买一张电影票，座位号是奇数 B． 射击运动员射击一次，命中9环

C． 明天会下雨 D． 度量三角形的内角和，结果是360°

考点： 随机事件

分析： 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．

解答： 解：A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件；

B、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件；

C、明天会下雨，是随机事件；

D、度量一个三角形的内角和，结果是360°，是不可能事件．

故选D．

点评： 本题考查了不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

6．（3分）（2013•沈阳）计算的结果是（　　）

A． B． C． D．

考点： 分式的加减法

专题： 计算题．

分析： 先通分，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．

解答： 解：原式=﹣

=

=．

故选B．

点评： 本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，再把分子相加减即可．

7．（3分）（2013•沈阳）在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象

分析： 根据反比例函数的性质可得：函数的图象在第一三象限，由一次函数与系数的关系可得函数y=x﹣1的图象在第一三四象限，进而选出答案．

解答： 解：函数中，k=1＞0，故图象在第一三象限；函数y=x﹣1的图象在第一三四象限，

故选：C．

点评： 此题主要考查了反比例函数与一次函数图象，关键是掌握一次函数图象与系数的关系．

一次函数y=kx+b的图象有四种情况：

①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；

②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；

③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；

④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．

8．（3分）（2013•沈阳）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（　　）

A． B． C． D．

考点： 相似三角形的判定与性质

分析： 由∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，可得△ADC∽△BDE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答： 解：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，

∴△ADC∽△BDE，

∴，

∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，

∴BD=5，DC=3，

∴DE==．

故选B．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

二、填空题（每小题4题，共32分）

9．（4分）（2013•沈阳）分解因式：3a2+6a+3=　3（a+1）2　．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

分析： 先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

解答： 解：3a2+6a+3，

=3（a2+2a+1），

=3（a+1）2．

故答案为：3（a+1）2．

点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

10．（4分）（2013•沈阳）一组数据2，4，x，﹣1的平均数为3，则x的值是　7　．

考点： 算术平均数．

分析： 根据求平均数的公式：，列出算式，即可求出x的值．

解答： 解：∵数据2，4，x，﹣1的平均数为3，

∴（2+4+x﹣1）÷4=3，

解得：x=7；

故答案为：7．

点评： 本题考查了平均数的求法，属于基础题，熟记求算术平均数的公式是解决本题的关键．

11．（4分）（2013•沈阳）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是　（3，﹣2）　．

考点： 关于原点对称的点的坐标．

专题： 数形结合．

分析： 根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．

解答： 解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，

∴点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），

故答案为（3，﹣2）．

点评： 本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，难度较小．

12．（4分）（2013•沈阳）若关于x的一元二次方程x2+4ax+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＞或a＜0　．

考点： 根的判别式．

分析： 根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．

解答： 解：根据题意得：△=（4a）2﹣4a＞0，即4a（4a﹣1）＞0，

解得：a＞或a＜0，

则a的范围是a＞或a＜0．

故答案为：a＞或a＜0

点评： 此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．

13．（4分）（2013•沈阳）如果x=1时，代数式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=﹣1时，代数式2ax3+3bx+4的值是　3　．

考点： 代数式求值

分析： 将x=1代入代数式2ax3+3bx+4，令其值是5求出2a+3b的值，再将x=﹣1代入代数式2ax3+3bx+4，变形后代入计算即可求出值．

解答： 解：∵x=1时，代数式2ax3+3bx+4=2a+3b+4=5，即2a+3b=1，

∴x=﹣1时，代数式2ax3+3bx+4=﹣2a﹣3b+4=﹣（2a+3b）+4=﹣1+4=3．

故答案为：3

点评： 此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．

14．（4分）（2013•沈阳）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是　　．

考点： 圆周角定理；勾股定理

分析： 首先连接AC，由圆的内接四边形的性质，可求得∠ADC=90°，根据直角所对的弦是直径，可证得AC是直径，然后由勾股定理求得答案．

解答： 解：连接AC，

∵点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，

∴∠ADC=180°﹣∠ABC=90°，

∴AC是直径，

∵AD=3，CD=2，

∴AC==．

故答案为：．

点评： 此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

15．（4分）（2013•沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为　82+92+722=732　．

考点： 规律型：数字的变化类

专题： 规律型．

分析： 观察不难发现，两个连续自然数的平方和加上它们积的平方，等于比它们的积大1的数的平方，然后写出即可．

解答： 解：∵12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212，…，

∴第8个等式为：82+92+（8×9）2=（8×9+1）2，

即82+92+722=732．

故答案为：82+92+722=732．

点评： 本题是对数字变化规律的考查，仔细观察底数的关系是解题的关键，也是本题的难点．

16．（4分）（2013•沈阳）已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是　1，7　．

考点： 等边三角形的性质；平行线之间的距离．

专题： 计算题．

分析： 根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出DB与FB的长，以及CG与CE的长，进而由DB+BC+CE求出DE的长，由BC﹣BF﹣CG求出FG的长，求出等边三角形NFG与等边三角形MDE的高，即可确定出点P到BC的最小距离和最大距离．

解答： 解：根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，

当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，

根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，

∴DB=FB==，CE=CQ==，

∴DE=DB+BC+CE=++=，FG=BC﹣BF﹣CG=，

∴NH=FG=1，MQ=DE=7，

则点P到BC的最小距离和最大距离分别是1，7．

故答案为：1，7

点评： 此题考查了等边三角形的性质，以及平行线间的距离，作出相应的图形是解本题的关键．

三、解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分，共26分）

17．（8分）（2013•沈阳）计算：．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值

专题： 计算题．

分析： 本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答： 解：原式=﹣6×+1+2﹣2=2．

点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点的运算．

18．（8分）（2013•沈阳）一家食品公司将一种新研发的食品免费送给一些人品尝，并让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该食品进行评价，图①和图②是该公司采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．

请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：

（1）本次调查的人数为　200　人；

（2）图①中，a=　35　，C等级所占的圆心角的度数为　126　度；

（3）请直接在答题卡中补全条形统计图．

考点： 条形统计图；扇形统计图．

分析： （1）用A的人数与所占的百分比列式计算即可得解；

（2）先求出C的人数，再求出百分比即可得到a的值，用C所占的百分比乘以360°计算即可得解；

（3）根据计算补全统计图即可．

解答： 解：（1）20÷10%=200人；

（2）C的人数为：200﹣20﹣46﹣64=70，

所占的百分比为：×100%=35%，

所以，a=35，

所占的圆心角的度数为：35%×360°=126°；

故答案为：（1）200；（2）35，126．

（3）补全统计图如图所示．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

19．（10分）（2013•沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF=2AE；

（2）若CD=，求AD的长．

考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理．

专题： 证明题．

分析： （1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证；

（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．

解答： （1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CAD+∠ACD=90°，

∠CBE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠CBE，

在△ADC和△BDF中，，

∴△ADC≌△BDF（ASA），

∴BF=AC，

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AC=2AF，

∴BF=2AE；

（2）解：∵△ADC≌△BDF，

∴DF=CD=，

在Rt△CDF中，CF===2，

∵BE⊥AC，AE=EC，

∴AF=CF=2，

∴AD=AF+DF=2+．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

四、解答题（每小题10分，共20分）

20．（10分）（2013•沈阳）在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同）

（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率；

（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．

考点： 列表法与树状图法；概率公式

分析： （1）由在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

解答： 解：（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．

∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是3的概率是：；

（2）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种情况，

∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为：=．

点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

21．（10分）（2013•沈阳）身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．

（1）求风筝距地面的高度GF；

（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

考点： 解直角三角形的应用

分析： （1）过A作AP⊥GF于点P．在直角△PAG中利用三角函数求得GP的长，进而求得GF的长；

（2）在直角△MNF中，利用勾股定理求得NF的长度，NF的长加上身高再加上竹竿长，与GF比较大小即可．

解答： 解：（1）过A作AP⊥GF于点P．

则AP=BF=12，AB=PF=1.4，∠GAP=37°，

在直角△PAG中，tan∠PAG=，

∴GP=AP•tan37°≈12×0.75=9（米），

∴GF=9+1.4≈10.4（米）；

（2）由题意可知MN=5，MF=3，

∴在直角△MNF中，NF==4，

∵10.4﹣5﹣1.65=3.75＜4，

∴能触到挂在树上的风筝．

点评： 本题考查了勾股定理，以及三角函数、正确求得GF的长度是关键．

五、（本题10分）

22．（10分）（2013•沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．

（1）求证：ON是⊙A的切线；

（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

考点： 切线的判定；扇形面积的计算．

分析： （1）首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线；

（2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF，即可求得答案．

解答： （1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，

∵⊙A与OM相切与点B，

∴AB⊥OM，

∵OC平分∠MON，

∴AF=AB=2，

∴ON是⊙A的切线；

（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，

∴∠OEB=30°，

∴AF⊥ON，

∴∠FAE=60°，

在Rt△AEF中，tan∠FAE=，

∴AF=AF•tan60°=2，

∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF=AF•EF﹣×π×AF2=2﹣π．

点评： 此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

六、（本题12分）

23．（12分）（2013•沈阳）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．

（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为　60x2　，其中自变量x的取值范围是　0≤x≤　；

（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？

（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．

考点： 二次函数的应用；一次函数的应用

分析： （1）设函数的解析式为y=ax2，然后把点（1，60）代入解析式求得a的值，即可得出抛物线的表达式，根据图象可得自变量x的取值范围；

（2）设需要开放x个普通售票窗口，根据售出车票不少于1450，列出不等式解不等式，求最小整数解即可；

（3）先求出普通窗口的函数解析式，然后求出10点时售出的票数，和无人售票窗口当x=时，y的值，然后把运用待定系数法求解析式即可．

解答： 解：（1）设函数的解析式为y=ax2，

把点（1，60）代入解析式得：a=60，

则函数解析式为：y=60x2（0≤x≤）；

（2）设需要开放x个普通售票窗口，

由题意得，80x+60×5≥1450，

解得：x≥14，

∵x为整数，

∴x=15，

即至少需要开放15个普通售票窗口；

（3）设普通售票的函数解析式为y=kx，

把点（1，80）代入得：k=80，

则y=80x，

∵10点是x=2，

∴当x=2时，y=160，

即上午10点普通窗口售票为160张，

由（1）得，当x=时，y=135，

∴图②中的一次函数过点（，135），（2，160），

设一次函数的解析式为：y=mx+n，

把点的坐标代入得：，

解得：，

则一次函数的解析式为y=50x+60．

点评： 本题考查了二次函数及一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意找出等量关系求出函数解析式，培养学生的读图能力以及把生活中的实际问题转化为数学问题来解决．

七、（本题12分）

24．（12分）（2013•沈阳）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．

性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．

理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．

应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．

（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；

（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．

探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得

到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．

考点： 四边形综合题

分析： （1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；

（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF即可求解．

探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．

②

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∵AE=BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴OE=OB，

∴△AOE和△AOB是友好三角形．

（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，

∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，

∵△AOB与△AOE是友好三角形，

∴S△AOB=S△AOE．

∵△AOE≌△FOB，

∴S△AOE=S△FOB，

∴S△AOD=S△ABF，

∴S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF=4×6﹣2××4×3=12．

探究：

解：分为两种情况：①如图1，

∵S△ACD=S△BCD．

∴AD=BD=AB，

∵沿CD折叠A和A′重合，

∴AD=A′D=AB=4=2，

∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，

∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，

∴DO=OB，A′O=CO，

∴四边形A′DCB是平行四边形，

∴BC=A′D=2，

过B作BM⊥AC于M，

∵AB=4，∠BAC=30°，

∴BM=AB=2=BC，

即C和M重合，

∴∠ACB=90°，

由勾股定理得：AC==2，

∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；

②如图2，

∵S△ACD=S△BCD．

∴AD=BD=AB，

∵沿CD折叠A和A′重合，

∴AD=A′D=AB=4=2，

∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，

∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，

∴DO=OA′，BO=CO，

∴四边形A′DCB是平行四边形，

∴BD=A′C=2，

过C作CQ⊥A′D于Q，

∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，

∴CQ=A′C=1，

∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；

即△ABC的面积是2或2．

点评： 本题考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．

八、（本题14分）

25．（14分）（2013•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．

①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；

②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请直接写出线段BM的长．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；

（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x轴，点B与点D纵坐标相同，解一元二次方程求出点D的坐标；

（3）①由BE与OA平行且相等，可判定四边形OAEB为平行四边形；

②点M在点B的左右两侧均有可能，需要分类讨论．综合利用相似三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，求出线段BM的长度．

解答： 解：（1）将A（，0）、B（1，）代入抛物线解析式y=x2+bx+c，得：

，

解得：．

∴y=x2x+．

（2）当∠BDA=∠DAC时，BD∥x轴．

∵B（1，），

当y=时，=x2x+，

解得：x=1或x=4，

∴D（4，）．

（3）①四边形OAEB是平行四边形．

理由如下：抛物线的对称轴是x=，

∴BE=﹣1=．

∵A（，0），

∴OA=BE=．

又∵BE∥OA，

∴四边形OAEB是平行四边形．

②∵O（0，0），B（1，），F为OB的中点，∴F（，）．

过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=﹣=，BN=1﹣=．

在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF==．

∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，

∴∠FBM=2∠BMF．

（I）当点M位于点B右侧时．

在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=，连接FG，则GN=BG﹣BN=1，

在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG==．

∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．

又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，

∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，

∴△GFB∽△GMF，

∴，即，

∴BM=；

（II）当点M位于点B左侧时．

设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，

∴KF=OB=FB=，

∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，

又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，

∴∠BMF=∠MFK，

∴MK=KF=，

∴BM=MK+BK=+1=．

综上所述，线段BM的长为或．

点评： 本题是中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、勾股定理等知识点．难点在于第（3）②问，满足条件的点M可能有两种情形，需要分类讨论，分别计算，避免漏解．