一、填空题（每题3分，共30分）

1．（3分）（2013•黑龙江）“大美大爱”的龙江人勤劳智慧，2012年全省粮食总产量达到1152亿斤，夺得全国粮食总产第一，广袤的黑土地正成为保障国家粮食安全的大粮仓，1152亿斤用科学记数法表示为　1.152×1011　斤．

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：将1152亿用科学记数法表示为1.152×1011．

故答案为：1.152×1011．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．（3分）（2013•黑龙江）在函数中，自变量x的取值范围是　x≥﹣1且x≠0　．

考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．

分析： 本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可以求出自变量x的取值范围．

解答： 解：根据题意得：x+1≥0且x≠0

解得：x≥﹣1且x≠0．

故答案为：x≥﹣1且x≠0

点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

3．（3分）（2013•黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：　AD=DC　，使得平行四边形ABCD为菱形．

考点： 平行四边形的判定；平行四边形的性质．

专题： 开放型．

分析： 根据菱形的定义得出答案即可．

解答： 解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，

∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；

故答案为：AD=DC．

点评： 此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．

4．（3分）（2013•黑龙江）风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为　　．

考点： 概率公式．

分析： 由风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，直接利用概率公式求解即可求得答案．

解答： 解：∵风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，

∴选出一人担任班长，则组长是男生的为：=．

故答案为：．

点评： 此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

5．（3分）（2013•黑龙江）若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=　﹣2　．

考点： 一元二次方程的解．

分析： 先把x=1代入x2+3mx+n=0，得到3m+n=﹣1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可．

解答： 解：把x=1代入x2+3mx+n=0得：

1+3m+n=0，

3m+n=﹣1，

则6m+2n=2（3m+n）=2×（﹣1）=﹣2；

故答案为：﹣2．

点评： 此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x的值代入，得到一个关于m，n的方程，不要求m．n的值，要以整体的形式出现．

6．（3分）（2013•黑龙江）二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标是　（5，3）　．

考点： 二次函数的性质

分析： 因为顶点式y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标．

解答： 解：∵二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3是顶点式，

∴顶点坐标为（5，3）．

故答案为：（5，3）．

点评： 此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．

7．（3分）（2013•黑龙江）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，这个圆锥的高为　2　cm．

考点： 圆锥的计算．

分析： 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥高满足勾股定理，据此即可求得圆锥的高．

解答： 解：设圆锥底面的半径是r，则2πr=4π，则r=2．

则圆锥的高是：=2cm．

故答案是：2．

点评： 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

8．（3分）（2013•黑龙江）李明组织大学同学一起去看电影《致青春》，票价每张60元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了1200元，他们共买了　20或25　张电影票．

考点： 一元一次方程的应用．

专题： 分类讨论．

分析： 本题分票价每张60元和票价每张60元的八折两种情况讨论，根据数量=总价÷单价，列式计算即可求解．

解答： 解：①1200÷60=20（张）；

②1200÷（60×0.8）

1200÷48

=25（张）．

答：他们共买了20或25张电影票．

故答案为：20或25．

点评： 考查了销售问题，注意分类思想的实际运用，同时熟练掌握数量，总价和单价之间的关系．．

9．（3分）（2013•黑龙江）梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，CD=8，点E是对角线AC上一点，连接DE并延长交直线AB于点F，若=2，则=　或　．

考点： 相似三角形的判定与性质；梯形．

专题： 分类讨论．

分析： 根据已知分别根据F在线段AB上后在AB的延长线上，进而利用平行线的分线段成比例定理得出的值．

解答： 解：如图1：

∵AB=3，=2，

∴AF=2，BF=1，

∵AB∥CD，

∴△AEF∽△CED，

∴=，

∴==；

如图2：

∵AB=3，=2，

∴AF=6，BF=3，

∵AB∥CD，

∴△AEF∽△CED，

∴=，

∴==．

故答案为：或．

点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论得出两种不同图形是解题关键．

10．（3分）（2013•黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为　（）n　．

考点： 等边三角形的性质

专题： 规律型．

分析： 由AB1为边长为2等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形ABnCn的面积．

解答： 解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，

∴BB1=1，AB=2，

根据勾股定理得：AB1=，

∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2=（）1；

∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，

∴B1B2=，AB1=，

根据勾股定理得：AB2=，

∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2=（）2；

依此类推，第n个等边三角形ABnCn的面积为（）n．

故答案为：（）n

点评： 此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．

二、选择题（每题3分，满分30分）

11．（3分）（2013•黑龙江）下列运算中，计算正确的是（　　）

A． （x3）2=x5 B． x2+x2=2x4 C． （﹣2）﹣1=﹣ D． （a﹣b）2=a2﹣b2

考点： 完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．

分析： A、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；

B、合并同类项得到结果，即可做出判断；

C、利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；

D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．

解答： 解：A、（x3）2=x6，本选项错误；

B、x2+x2=2x2，本选项错误；

C、（﹣2）﹣1=﹣，本选项正确；

D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，本选项错误，

故选C

点评： 此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

12．（3分）（2013•黑龙江）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 中心对称图形；轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．

故选D．

点评： 本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

13．（3分）（2013•黑龙江）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（　　）

　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

考点： 由三视图判断几何体．

分析： 易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，相加即可．

解答： 解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为4+2=6个．

故选C．

点评： 考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．

14．（3分）（2013•黑龙江）下表是我市某中学九年级（1）班右眼视力的检查结果：

根据表中提供的信息，这43名同学右眼视力的众数和中位数分别是（　　）

　 A． 4.9，4.6 B． 4.9，4.7 C． 4.9，4.65 D． 5.0，4.65

考点： 众数；中位数．

分析： 根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．

解答： 解：视力为4.9的学生人数最多，故众数为4.9；

共43为学生，中位数落在第22为学生处，故中位数为4.6．

故选A．

点评： 本题考查了众数及中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．

15．（3分）（2013•黑龙江）如图，爸爸从家（点O）出发，沿着扇形AOB上OA→→BO的路径去匀速散步，设爸爸距家（点O）的距离为S，散步的时间为t，则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 函数的图象．

分析： 根据当爸爸在半径AO上运动时，离出发点距离越来越远；在弧BA上运动时，距离不变；在BO上运动时，越来越近，即可得出答案．

解答： 解：利用图象可得出：

当爸爸在半径AO上运动时，离出发点距离越来越远；

在弧AB上运动时，距离不变；

在OB上运动时，越来越近．

故选：C．

点评： 此题考查了函数随自变量的变化而变化的问题，能够结合图形正确分析距离y与时间x之间的大小变化关系，从而正确选择对应的图象．

16．（3分）（2013•黑龙江）已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（　　）

　 A． a≤﹣1 B． a≤﹣1且a≠﹣2 C． a≤1且a≠﹣2 D． a≤1

考点： 分式方程的解．

分析： 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非正数”建立不等式求a的取值范围．

解答： 解：去分母，得a+2=x+1，

解得，x=a+1，

∵x≤0且x+1≠0，

∴a+1≤0且a+1≠﹣1，

∴a≤﹣1且a≠﹣2，

∴a≤﹣1且a≠﹣2．

故选B．

点评： 本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，这也是本题最容易出错的地方．

17．（3分）（2013•黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（　　）

　 A． 3 B． 2 C． 3 D． 2

考点： 圆周角定理；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系．

分析： 首先根据AB=BC，∠ABC=120°，求出∠C的度数，然后根据圆周角定理可知：∠D=∠C，又直径AD=6，易求得AB的长度．

解答： 解：∵AB=BC，

∴∠BAC=∠C，

∵∠ABC=120°，

∴∠BAC=∠C=30°，

∵AD为直径，AD=6，

∴∠ABD=90°，

∵∠D=30°，

∴AB=AD=3．

故选A．

点评： 本题考查了圆周角定理，难度一般，关键是掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角相等．

18．（3分）（2013•黑龙江）如图，Rt△ABC的顶点A在双曲线y=的图象上，直角边BC在x轴上，∠ABC=90°，∠ACB=30°，OC=4，连接OA，∠ACO=60°，则k的值是（　　）

　 A． 4 B． ﹣4 C． 2 D． ﹣2

考点： 反比例函数综合题．

分析： 根据三角形外角性质得∠OAC=∠AOB﹣∠ACB=30°，易得OA=OC=4，然后再Rt△AOB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB=OC=2，AB=OB=2，则可确定C点坐标为（﹣2，2），最后把C点坐标代入反比例函数解析式y=中即可得到k的值．

解答： 解：∵∠ACB=30°，∠ACO=60°，

∴∠OAC=∠AOB﹣∠ACB=30°，

∴∠OAC=∠ACO，

∴OA=OC=4，

在△AOB中，∠ABC=90°，∠AOB=60°，OA=4，

∴∠OAB=30°，

∴OB=OC=2，

∴AB=OB=2，

∴C点坐标为（﹣2，2），

把C（﹣2，2）代入y=得k=﹣2×2=﹣4．

故选B．

点评： 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征；熟练运用含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．

19．（3分）（2013•黑龙江）今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有（　　）

　 A． 3种 B． 4种 C． 5种 D． 6种

考点： 二元一次方程的应用．

分析： 设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，就可以得出7x+5y≤50，x≥3，y≥3，根据解不定方程的方法求出其解即可．

解答： 解：设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，由题意，得

7x+5y≤50，

∵x≥3，y≥3，

∴当x=3，y=3时，

7×3+5×3=36＜50，

当x=3，y=4时，

7×3+5×4=41＜50，

当x=3，y=5时，

7×3+5×5=46＜50，

当x=3，y=6时，

7×3+5×6=51＞50舍去，

当x=4，y=3时，

7×4+5×3=43＜50，

当x=4，y=4时，

7×4+5×4=4＜50，

当x=4，y=5时，

7×4+5×5=53＞50舍去，

当x=5，y=3时，

7×5+5×3=50=50，

综上所述，共有6种购买方案．

故选D．

点评： 本题考查了列二元一次不等式解实际问题的运用，分类讨论思想在解实际问题中的运用，解答时根据条件建立不等式是关键，合理运用分类是难点．

20．（3分）（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．

分析： 如解答图所示：

结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；

结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；

结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；

结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．

解答： 解：（1）结论①正确．理由如下：

∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，

∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，

∴∠5=∠6，

∴AM=AE=BF．

易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．

在△ACM与△ABF中，

，

∴△ACM≌△ABF（SAS），

∴CM=AF；

（2）结论②正确．理由如下：

∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，

∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，

∴CE⊥AF；

（3）结论③正确．理由如下：

证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，

∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，

∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，

∴△ABF∽△DAH；

证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，

∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．

在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，

∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．

在△ADG与△NCG中，

，

∴△ADG≌△NCG（SAS），

∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，

∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，

∴△ABF∽△DAH；

（4）结论④正确．理由如下：

证法一：∵A、D、C、G四点共圆，

∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，

∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．

证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2

则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．

∵△ADG≌△NCG，

∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，

∴GD平分∠AGC．

综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．

故选D．

点评： 本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．

三、简答题（满分60分）

21．（5分）（2013•黑龙江）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x=2sin45°+1．

考点： 分式的化简求值；特殊角的三角函数值．

分析： 先通分，再把除法转化成乘法，然后约分，最后求出x的值，再把它代入原式，进行计算即可．

解答： 解：（1﹣）÷

=•

=，

当x=2sin45°+1=2×+1=+1时，

原式==．

点评： 此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是分式的化简步骤和特殊角的三角函数值，关键是把分式化到最简，然后代值计算．

22．（6分）（2013•黑龙江）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．

（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）

考点： 作图-旋转变换；作图-平移变换．

分析： （1）根据△ABC向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A1的坐标；

（2）得出旋转后的△A2B2C2，再利用弧长公式求出点B所经过的路径长．

解答： 解：（1）如图所示：

A1的坐标为：（﹣3，6）；

（2）如图所示：

∵BO==，

∴==π．

点评： 此题主要考查了弧长公式的应用以及图形的旋转与平移变换，根据已知得出对应点位置是解题关键．

23．（6分）（2013•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质

分析： （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出E，F点坐标，即可得出△DEF的面积．

解答： 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，

∴，

解得：，

故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；

（2）根据题意得：

，

解得：，，

∴D（4，5），

对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴F（0，1），

对于y=x2﹣2x﹣3，当x=0时，y=﹣3，∴E（0，﹣3），

∴EF=4，

过点D作DM⊥y轴于点M．

∴S△DEF=EF•DM=8．

点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，利用数形结合得出D，E，F点坐标是解题关键．

24．（7分）（2013•黑龙江）在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中，为了了解中学生跳绳活动的开展情况，随机抽查了全市八年级部分同学1分钟跳绳的次数，将抽查结果进行统计，并绘制两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次共抽查了多少名学生？

（2）请补全频数分布直方图空缺部分，直接写出扇形统计图中跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数．

（3）若本次抽查中，跳绳次数在125次以上（含125次）为优秀，请你估计全市8000名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀？

（4）请你根据以上信息，对我市开展的学生跳绳活动谈谈自己的看法或建议．

考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析： （1）利用95≤x＜115的人数是8+16=24人，所占的比例是12%即可求解；

（2）求得范围是115≤x＜145的人数，扇形的圆心角度数是360度乘以对应的比例即可求解；

（3）首先求得所占的比例，然后乘以总人数8000即可求解；

（4）根据实际情况，提出自己的见解即可，答案不唯一．

解答： 解：（1）抽查的总人数：（8+16）÷12%=200（人）；

（2）范围是115≤x＜145的人数是：200﹣8﹣16﹣71﹣60﹣16=29（人），

则跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数是：360×=81°．

；

（3）优秀的比例是：×100%=52.5%，

则估计全市8000名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀人数是：8000×52.5%=4200（人）；

（4）全市达到优秀的人数有一半以上，反映了我市学生锻炼情况很好．

点评： 本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．

25．（8分）（2013•黑龙江）2012年秋季，某省部分地区遭受严重的雨雪自然灾害，兴化农场34800亩的农作物面临着收割困难的局面．兴华农场积极想办法，决定采取机械收割和人工收割两种方式同时进行抢收，工作了4天，由于雨雪过大，机械收割被迫停止，此时，人工收割的工作效率也减少到原来的，第8天时，雨雪停止附近的胜利农场前来支援，合作6天，完成了兴化农场所有的收割任务．图1是机械收割的亩数y1（亩）和人工收割的亩数y2（亩）与时间x（天）之间的函数图象．图2是剩余的农作物的亩数w（亩）与时间x天之间的函数图象，请结合图象回答下列问题．

（1）请直接写出：A点的纵坐标　600　．

（2）求直线BC的解析式．

（3）第几天时，机械收割的总量是人工收割总量的10倍？

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）根据题意可知a=8，再根据图2求出4到8天时的人工收割量，然后求出前4天的人工收割的量即可得到点A的纵坐标；

（2）先求出点B、C的坐标，再设直线BC的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后列出方程求解，再求出直线EF的解析式，根据10倍关系列出方程求解，从而最后得解．

解答： 解：（1）由题意可知，a=8，

所以，第4到8的人工收割作物：26200﹣25800=400（亩），

所以，前4天人工收割作物：400÷=600（亩），

故点A的纵坐标为600；

（2）∵600+400=1000，

∴点B的坐标为（8，1000），

∵34800﹣32000=2800，

∴点C的坐标为（14，2800），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

则，

解得，

所以，直线BC的解析式为y=300x﹣1400；

（3）设直线AB的解析式为y=k1x+b1，

∵A（4，600），B（8，1000），

∴，

解得，

所以，y=100x+200，

由题意得，10（100x+200）=8000，

解得x=6；

设直线EF的解析式为y=k2x+b2，

∵E（8，8000），F（14，32000），

∴，

解得，

所以，直线EF的解析式为y=4000x﹣24000，

由题意得，4000x﹣24000=10（300x﹣1400），

解得x=10．

答：第6天和第10天时，机械收割的总量是人工收割总量的10倍．

点评： 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，题目信息量较大，理解两个图象并准确获取信息，确定出题目中的数量关系是解题的关键．

26．（8分）（2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．

（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

考点： 正方形的性质；矩形的性质；旋转的性质

专题： 证明题．

分析： （1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；

（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．

解答： （1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，

则四边形BGEF是矩形，

∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°，

又∵∠AOE+∠BOE=90°，

∴∠AOE=∠OBG，

∵在△AOE和△OBG中，

，

∴△AOE≌△OBG（AAS），

∴OG=AE，OE=BG，

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，

∴AF﹣OE=OE﹣BF，

∴AF+BF=2OE；

（2）图2结论：AF﹣BF=2OE，

图3结论：AF﹣BF=2OE．

对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，

则四边形BGEF是矩形，

∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°，

又∵∠AOE+∠BOE=90°，

∴∠AOE=∠OBG，

∵在△AOE和△OBG中，

，

∴△AOE≌△OBG（AAS），

∴OG=AE，OE=BG，

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，

∴AF﹣OE=OE+BF，

∴AF﹣BF=2OE；

若选图3，其证明方法同上．

点评： 本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．

27．（10分）（2013•黑龙江）为了落实党中央提出的“惠民政策”，我市今年计划开发建设A、B两种户型的“廉租房”共40套．投入资金不超过200万元，又不低于198万元．开发建设办公室预算：一套A型“廉租房”的造价为5.2万元，一套B型“廉租房”的造价为4.8万元．

（1）请问有几种开发建设方案？

（2）哪种建设方案投入资金最少？最少资金是多少万元？

（3）在（2）的方案下，为了让更多的人享受到“惠民”政策，开发建设办公室决定通过缩小“廉租房”的面积来降低造价、节省资金．每套A户型“廉租房”的造价降低0.7万元，每套B户型“廉租房”的造价降低0.3万元，将节省下来的资金全部用于再次开发建设缩小面积后的“廉租房”，如果同时建设A、B两种户型，请你直接写出再次开发建设的方案．

考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．

分析： （1）设建设A型x套，B型（40﹣x）套，然后根据投入资金不超过200万元，又不低于198万元列出不等式组，求出不等式组的解集，再根据x是正整数解答；

（2）设总投资W元，建设A型x套，B型（40﹣x）套，然后根据总投资等于A、B两个型号的投资之和列式函数关系式，再根据一次函数的增减性解答；

（3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套，根据再建设的两种户型的资金等于（2）中方案节省的资金列出二元一次方程，再根据a、b都是正整数求解即可．

解答： 解：（1）设建设A型x套，则B型（40﹣x）套，

根据题意得，，

解不等式①得，x≥15，

解不等式②得，x≤20，

所以，不等式组的解集是15≤x≤20，

∵x为正整数，

∴x=15、16、17、18、19、20，

答：共有6种方案；

（2）设总投资W万元，建设A型x套，则B型（40﹣x）套，

W=5.2x+4.8×（40﹣x）=0.4x+192，

∵0.4＞0，

∴W随x的增大而增大，

∴当x=15时，W最小，此时W最小=0.4×15+192=198万元；

（3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套，

则（5.2﹣0.7）a+（4.8﹣0.3）b=15×0.7+（40﹣15）×0.3，

整理得，a+b=4，

a=1时，b=3，

a=2时，b=2，

a=3时，b=1，

所以，再建设方案：①A型住房1套，B型住房3套；

②A型住房2套，B型住房2套；

③A型住房3套，B型住房1套．

点评： 本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理清题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键，（2）利用一次函数的增减性求最值要注意自变量的取值范围．

28．（10分）（2013•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．

（1）求点C的坐标．

（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．

（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

考点： 相似形综合题．

分析： （1）证△AOC∽△COB，推出OC2=OA•OB，即可得出答案．

（2）求出OA=9，OC=12，OB=16，AC=15，BC=20，证△ACD≌△AED，推出AE=AC=15，证△BDE∽△BAC，求出DE=，D（6，），设直线AD的解析式是y=kx+b，过A（﹣9，0）和D点，代入得出，求出k=，b=即可．

（3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形，

理由是：①以BC为对角线时，作BC的垂直平分线交BC于Q，交x轴于F，在直线FQ上取一点M，使∠CMB=90°，则符合此条件的点有两个，证△BQF∽△BOC，求出BF=，F（，0），Q（8，6），设直线QF的解析式是y=ax+c，代入得出，求出a=，c=﹣，得出直线FQ的解析式是：y=x﹣，设M的坐标是（x，x﹣），根据CM=BM和勾股定理得：（x﹣0）2+（x﹣﹣12）2=（x﹣16）2+（x﹣﹣0）2，即可求出M的坐标；②以BC为一边时，过B作BM3⊥BC，且BM3=BC=20，过M3Q⊥OB于Q，还有一点M4，CM4=BC=20，CM4⊥BC，证△BCO≌△M3BQ，求出BQ=CO=12，QM3=OB=16，求出M3的坐标，同法可求出M4的坐标．

解答： 解：（1）在Rt△AOC中，∠CAB+∠ACO=90°，在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°，

∴∠ACO=∠CBA，

∵∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴OC2=OA•OB，

∴OC=12，

∴C（0，12）；

（2）在Rt△AOC和Rt△BOC中，

∵OA=9，OC=12，OB=16，

∴AC=15，BC=20，

∵AD平分∠CAB，

∵DE⊥AB，

∴∠ACD=∠AED=90°，

∵AD=AD，

∴△ACD≌△AED，

∴AE=AC=15，

∴OE=AE﹣OA=15﹣9=6，BE=10，

∵∠DBE=∠ABC，∠DEB=∠ACB=90°，

∴△BDE∽△BAC，

∴=，

∴DE=，

∴D（6，），

设直线AD的解析式是y=kx+b，

∵过A（﹣9，0）和D点，代入得：，

k=，b=，

直线AD的解析式是：y=x+；

（3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形，

理由是：①

以BC为对角线时，作BC的垂直平分线交BC于Q，交x轴于F，在直线FQ上取一点M，使∠CMB=90°，则符合此条件的点有两个，

BQ=CQ=BC=10，

∵∠BQF=∠BOC=90°，∠QBF=∠CBO，

∴△BQF∽△BOC，

∴=，

∵BQ=10，OB=16，BC=20，

∴BF=，

∴OF=16﹣=，

即F（，0），

∵OC=12，OB=16，Q为BC中点，

∴Q（8，6），

设直线QF的解析式是y=ax+c，

代入得：，

a=，c=﹣，

直线FQ的解析式是：y=x﹣，

设M的坐标是（x，x﹣），

根据CM=BM和勾股定理得：（x﹣0）2+（x﹣﹣12）2=（x﹣16）2+（x﹣﹣0）2，

x1=14，x2=2，

即M的坐标是（14，14），（2，﹣2）；

②

以BC为一边时，过B作BM3⊥BC，且BM3=BC=20，过M3Q⊥OB于Q，还有一点M4，CM4=BC=20，CM4⊥BC，

则∠COB=∠M3B=∠CBM3=90°，

∴∠BCO+∠CBO=90°，∠CBO+∠M3BQ=90°，

∴∠BCO=∠M3BQ，

∵在△BCO和△M3BQ中

∴△BCO≌△M3BQ（AAS），

∴BQ=CO=12，QM3=OB=16，

OQ=16+12=28，

即M3的坐标是（28，16），

同法可求出CT=OB=16，M4T=OC=12，OT=16﹣12=4，

∴M4的坐标是（﹣12，﹣4），

即存在，点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）．

点评： 本题考查了一次函数的有关内容，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点的综合应用，题目综合性比较强，难度偏大．