2014年辽宁省锦州市中考数学真题试卷附答案
日期:2014-09-12 11:37

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一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.(3分)(2014•锦州)﹣1.5的绝对值是(  )

A. 0 B. ﹣1.5 C. 1.5 D.

考点: 绝对值

分析: 计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式;第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.

解答: 解:|﹣1.5|=1.5.

故选:C.

点评: 此题考查了绝对值的性质,要求掌握绝对值的性质及其定义,并能熟练运用到实际运算当中.绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

 

2.(3分)(2014•锦州)如图,在一水平面上摆放两个几何体,它的主视图是(  )

A. B. C. D.

考点: 简单组合体的三视图..

分析: 找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

解答: 解:从正面看易得左边是一个竖着的长方形,右边是一个横着的长方形,

故选:B.

点评: 本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.

 

3.(3分)(2014•锦州)下列计算正确的是(  )

A. 3x+3y=6xy B. a2•a3=a6 C. b6÷b3=b2 D. (m2)3=m6

考点: 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方..

分析: 根据合并同类项的法则,同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案.

解答: A、3x与3y不是同类项,不能合并,故A选项错误;

B、a2•a3=a5,故B选项错误;

C、b6÷b3=b3 ,故C选项错误;

D、(m2)3=m6 ,故D选项正确.

故选:D.

点评: 此题考查了合并同类项的法则,同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识,解题要注意细心.

 

4.(3分)(2014•锦州)已知a>b>0,下列结论错误的是(  )

A. a+m>b+m B. C. ﹣2a>﹣2b D.

考点: 不等式的性质..

分析: 运用不等式的基本性质判定即可.

解答: 解:a>b>0,

A、a+m>b+m,故A选项正确;

B、,故B选项正确;

C、﹣2a<﹣2b,故C选项错误;

D、>,故D选项正确.

故选:C.

点评: 本题主要考查了不等式的基本性质,熟记不等式的基本性质是解题的关键.

 

5.(3分)(2014•锦州)如图,直线a∥b,射线DC与直线a相交于点C,过点D作DE⊥b于点E,已知∠1=25°,则∠2的度数为(  )

A. 115° B. 125° C. 155° D. 165°

考点: 平行线的性质..

分析: 如图,过点D作c∥a.由平行线的性质进行解题.

解答: 解:如图,过点D作c∥a.

则∠1=∠CDB=25°.

又a∥b,DE⊥b,

∴b∥c,DE⊥c,

∴∠2=∠CDB+90°=115°.

故选:A.

点评: 本题考查了平行线的性质.此题利用了“两直线平行,同位角相等”来解题的.

 

6.(3分)(2014•锦州)某销售公司有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的月销售量定额,统计了这15人某月的销售量,如下表所示:

每人销售件数

1800

510

250

210

150

120

人数

1

1

3

5

3

2

那么这15位销售人员该月销售量的平均数、众数、中位数分别是(  )

A. 320,210,230 B. 320,210,210 C. 206,210,210 D. 206,210,230

考点: 加权平均数;中位数;众数..

分析: 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数,众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

解答: 解:平均数是:(1800+510+250×3+210×5+150×3+120×2)÷15=4800÷15=320(件);

210出现了5次最多,所以众数是210;

表中的数据是按从大到小的顺序排列的,处于中间位置的是210,因而中位数是210(件).

故选B.

点评: 此题主要考查了一组数据平均数的求法,以及众数与中位数的求法,又结合了实际问题,此题比较典型.

 

7.(3分)(2014•锦州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象如图,ax2+bx+c=m有实数根的条件是(  )

A. m≥﹣2 B. m≥5 C. m≥0 D. m>4

考点: 抛物线与x轴的交点..

分析: 根据题意利用图象直接得出m的取值范围即可.

解答: 解:一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根,

可以理解为y=ax2+bx+c和y=m有交点,

可见,m≥﹣2,

故选:A.

点评: 此题主要考查了利用图象观察方程的解,正确利用数形结合得出是解题关键.

 

8.(3分)(2014•锦州)哥哥与弟弟的年龄和是18岁,弟弟对哥哥说:“当我的年龄是你现在年龄的时候,你就是18岁”.如果现在弟弟的年龄是x岁,哥哥的年龄是y岁,下列方程组正确的是(  )


A.

B.


C.

D.

考点: 由实际问题抽象出二元一次方程组..

分析: 由弟弟的年龄是x岁,哥哥的年龄是y岁,根据“哥哥与弟弟的年龄和是18岁,”,哥哥与弟弟的年龄差不变得出18﹣y=y﹣x,列出方程组即可.

解答: 解:设现在弟弟的年龄是x岁,哥哥的年龄是y岁,由题意得

故选:D.

点评: 此题考查由实际问题列方程组,注意找出题目蕴含的数量关系解决问题.

 

二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分.)

9.(3分)(2014•锦州)分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是 2(x﹣1)2 .

考点: 提公因式法与公式法的综合运用..

分析: 先提取公因式2,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

解答: 解:2x2﹣4x+2,

=2(x2﹣2x+1),

=2(x﹣1)2.

故答案为:2(x﹣1)2.

点评: 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.

 

10.(3分)(2014•锦州)纳米是一种长度单位,它用来表示微小的长度,1纳米微10亿分之一米,即1纳米=10﹣9米,1根头发丝直径是60000纳米,则一根头发丝的直径用科学记数法表示为 6×10﹣5 米.

考点: 科学记数法—表示较小的数..

分析: 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

解答: 解:60000纳米=60000×10﹣9米=0.000 06米=6×10﹣5米;

故答案为:6×10﹣5.

点评: 本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

 

11.(3分)(2014•锦州)计算:tan45°﹣﹣1)0=  .

考点: 实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.

专题: 计算题.

分析: 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算,第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果.

解答: 解:原式=1﹣=

故答案为:

点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

 

12.(3分)(2014•锦州)方程=1的解是 x=0 .

考点: 解分式方程.

专题: 计算题.

分析: 分式方程变形后,去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.

解答: 解:去分母得:﹣1﹣3﹣x=x﹣4,

移项合并得:2x=0,

解得:x=0,

经检验x=0是分式方程的解,

故答案为:x=0

点评: 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

 

13.(3分)(2014•锦州)如图,在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形,使之恰好围成图中所示的圆锥,则R与r之间的关系是 R=4r .

考点: 圆锥的计算..

分析: 利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长,根据弧长公式计算.

解答: 解:扇形的弧长是:=

圆的半径为r,则底面圆的周长是2πr,

圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到:=2πr,

∴=2r,

即:R=4r,

r与R之间的关系是R=4r.

故答案为:R=4r.

点评: 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.

 

14.(3分)(2014•锦州)某数学活动小组自制一个飞镖游戏盘,如图,若向游戏盘内投掷飞镖,投掷在阴影区域的概率是  .

考点: 几何概率

分析: 利用阴影部分面积除以总面积=投掷在阴影区域的概率,进而得出答案.

解答: 解:由题意可得,投掷在阴影区域的概率是:=

故答案为:

点评: 此题主要考查了几何概率,求出阴影部分面积与总面积的比值是解题关键.

 

15.(3分)(2014•锦州)菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,E是AD边中点,点P是对角线BD上的动点,当AP+PE的值最小时,PC的长是  .

考点: 轴对称-最短路线问题;菱形的性质..

分析: 作点E关于直线BD的对称点E′,连接AE′,则线段AE′的长即为AP+PE的最小值,再由轴对称的性质可知DE=DE′=1,故可得出△AE′D是直角三角形,由菱形的性质可知∠PDE′=∠ADC=30°,根据锐角三角函数的定义求出PE的长,进而可得出PC的长.

解答: 解:如图所示,

作点E关于直线BD的对称点E′,连接AE′,则线段AE′的长即为AP+PE的最小值,

∵菱形ABCD的边长为2,E是AD边中点,

∴DE=DE′=AD=1,

∴△AE′D是直角三角形,

∵∠ABC=60°,

∴∠PDE′=∠ADC=30°,

∴PE′=DE′•tan30°=

∴PC===

故答案为:

点评: 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题,熟知菱形的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键.

 

16.(3分)(2014•锦州)如图,点B1在反比例函数y=(x>0)的图象上,过点B1分别作x轴和y轴的垂线,垂足为C1和A,点C1的坐标为(1,0)取x轴上一点C2(,0),过点C2分别作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2,过B2作线段B1C1的垂线交B1C1于点A1,依次在x轴上取点C3(2,0),C4(,0)…按此规律作矩形,则第n( n≥2,n为整数)个矩形)An﹣1Cn﹣1CnBn的面积为  .

考点: 反比例函数系数k的几何意义.

专题: 规律型.

分析: 根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到第1个矩形的面积=2,第2个矩形的面积=×(﹣1)=,第3个矩形的面积=(2﹣)×1=,…于是得到第n个矩形的面积=×=,由此得出答案即可.

解答: 解:第1个矩形的面积=2,

第2个矩形的面积=×(﹣1)=

第3个矩形的面积=(2﹣)×1=

第n个矩形的面积=×=

故答案为:

点评: 本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义:在反比例函数y=图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

 

三、解答题(本大题共10小题,满分102分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(8分)(2014•锦州)已知=,求式子()÷的值.

考点: 分式的化简求值.

分析: 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再根据=得出=,代入原式进行计算即可.

解答: 解:原式=

=

=

=

=

=

∴原式=﹣2×=﹣

点评: 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

18.(8分)(2014•锦州)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求作图.

(1)利用尺规作图在AC边上找一点D,使点D到AB、BC的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹)

(2)在网格中,△ABC的下方,直接画出△EBC,使△EBC与△ABC全等.

考点: 作图—复杂作图;全等三角形的判定;角平分线的性质..

分析: (1)作∠ABC的平分线即可;

(2)利用点A关于BC的对称点E画出△EBC.

解答: 解:(1)如图,作∠ABC的平分线,

(2)如图,

点评: 本题主要考查了作图﹣复杂作图,角平分线的性质及全等三角形的判定,解题的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图.

 

19.(8分)(2014•锦州)对某市中学生的幸福指数进行调查,从中抽取部分学生的调查表问卷进行统计,并绘制出不完整的统计表和条形统计图.

等级

频数

频率

60

 0.06 

★★

80

 0.08 

★★★

 160 

0.16

★★★★

 300 

0.30

★★★★★

 400 

 0.40 

(1)直接补全统计表.

(2)补全条形统计图(不要求写出计算过程).

(3)抽查的学生约占全市中学生的5%,估计全市约有多少名中学生的幸福指数能达到五★级?

考点: 条形统计图;用样本估计总体;频数(率)分布表..

分析: (1)根据统计图中,4颗星的人数是300人,占0.3;根据频数与频率的关系,可知共随机调查的总人数,根据总人数即可求出别的数据.

(2)根据(1)中求出的数值,据此可补全条形图;

(3)先求出全市中学生的总人数,再除以对应的幸福指数为5颗星的百分比.

解答: 解:(1)对中学生的幸福指数进行调查的人数:300÷0.30=1000(人)

一颗星的频率为:60÷1000=0.06,

二颗星的频率为:80÷1000=0.08,

三颗星的频数为:1000×0.16=160,

四颗星的频数为:300,

五颗星的频数为:1000﹣60﹣80﹣160﹣300=400,

五颗星的频率为:400÷1000=0.40.

故答案为:0.06,0.08,160,300,400,0.40.

(2)如图,根据(1)中求出的数值,据此可补全条形图;

(3)1000÷5%×0.4=8000(名)

答:估计全市约有8000名中学生的幸福指数能达到五★级.

点评: 本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.用到的知识点为:总体数目=部分数目÷相应百分比.

 

20.(10分)(2014•锦州)某学校游戏节活动中,设计了一个有奖转盘游戏,如图,A转盘被分成三个面积相等的扇形,B转盘被分成四个面积相等的扇形,每一个扇形都标有相应的数字,先转动A转盘,记下指针所指区域内的数字,再转动B转发盘,记下指针所指区域内的数字(当指针在边界线上时,重新转动一次,直到指针指向一下区域内为止),然后,将两次记录的数据相乘.

(1)请利用画树状图或列表格的方法,求出乘积结果为负数的概率.

(2)如果乘积是无理数时获得一等奖,那么获得一等奖的概率是多少?

考点: 列表法与树状图法.

专题: 计算题.

分析: (1)列表得出所有等可能的情况数,找出乘积为负数的情况数,即可求出所求的概率;

(2)找出乘积为无理数的情况数,即可求出一等奖的概率.

解答: 解:列表如下:

1.5 ﹣3 ﹣

0 0 0 0 0

1 1.5 ﹣3 ﹣

﹣1 ﹣1.5 3

所有等可能的情况有12种,

(1)乘积结果为负数的情况有4种,

则P(乘积结果为负数)==

(2)乘积是无理数的情况有2种,

则P(乘积为无理数)==

点评: 此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

 

21.(10分)(2014•锦州)如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连结EF交CD于点M,连接AM.

(1)求证:EF=AC.

(2)若∠BAC=45°,求线段AM、DM、BC之间的数量关系.

考点: 直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的判定与性质;等腰直角三角形..

分析: (1)根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=AC;

(2)判断出△AEC是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC,再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM,然后求出CD=AM+DM,再等量代换即可得解.

解答: (1)证明:∵CD=CB,点E为BD的中点,

∴CE⊥BD,

∵点F为AC的中点,

∴EF=AC;

(2)解:∵∠BAC=45°,CE⊥BD,

∴△AEC是等腰直角三角形,

∵点F为AC的中点,

∴EF垂直平分AC,

∴AM=CM,

∵CD=CM+DM=AM+CM,CD=CB,

∴BC=AM+DM.

点评: 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质,难点在于(2)判断出EF垂直平分AC.

 

22.(10分)(2014•锦州)如图,位于A处的海上救援中心获悉:在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C处救生船,并通知救生船,遇险船在它的正东方向B处,现救生船沿着航线CB前往B处救援,若救生船的速度为20海里/时,请问:救生船到达B处大约需要多长时间?(结果精确到0.1小时:参考数据:sin38°≈0.62,cos38°≈0.79,sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80)

考点: 解直角三角形的应用-方向角问题..

分析: 延长BC交AN于点D,则BC⊥AN于D.先解Rt△ACD,求出CD=AC=10,AD=CD=10,再解Rt△ABD,得到∠B=22°,AB=≈46.81,BD=AB•cos∠B≈43.53,则BC=BD﹣CD≈33.53,然后根据时间=路程÷速度即可求出救生船到达B处大约需要的时间.

解答: 解:如图,延长BC交AN于点D,则BC⊥AN于D.

在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠DAC=30°,

∴CD=AC=10,AD=CD=10

在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠DAB=68°,

∴∠B=22°,

∴AB=≈46.81,

BD=AB•cos∠B≈46.81×0.93=43.53,

∴BC=BD﹣CD≈43.53﹣10=33.53,

∴救生船到达B处大约需要:33.53÷20≈1.7(小时).

答:救生船到达B处大约需要1.7小时.

点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,准确作出辅助线构造直角三角形,进而求出BC的长度是解题的关键.

 

23.(10分)(2014•锦州)如图,已知,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,点E在AB上,过点E作EF⊥BC,点G在FE的延长线上,且GA=GE.

(1)求证:AG与⊙O相切.

(2)若AC=6,AB=8,BE=3,求线段OE的长.

考点: 切线的判定..

分析: (1)连接OA,由OA=OB,GA=GE得出∠ABO=∠BAO,∠GEA=∠GAE;再由EF⊥BC,得出∠BFE=90°,进一步由∠ABO+∠BEF=90°,∠BEF=∠GEA,最后得出∠GAO=90°求得答案;

(2)BC为直径得出∠BAC=90°,利用勾股定理得出BC=10,由△BEF∽△BCA,求得EF、BF的长,进一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的长即可.

解答: (1)证明:如图,

连接OA,

∵OA=OB,GA=GE

∴∠ABO=∠BAO,∠GEA=∠GAE

∵EF⊥BC,

∴∠BFE=90°,

∴∠ABO+∠BEF=90°,

又∵∠BEF=∠GEA,

∴∠GAE=∠BEF,

∴∠BAO+∠GAE=90°,

即AG与⊙O相切.

(2)解:∵BC为直径,

∴∠BAC=90°,AC=6,AB=8,

∴BC=10,

∵∠EBF=∠CBA,∠BFE=∠BAC,

∴△BEF∽△BCA,

==

∴EF=1.8,BF=2.4,

∴0F=0B﹣BF=5﹣2.4=2.6,

∴OE==

点评: 本题考查了切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线.也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理的推论.

 

24.(12分)(2014•锦州)在机器调试过程中,生产甲、乙两种产品的效率分别为y1、y2(单位:件/时),y1、y2与工作时间x(小时)之间大致满足如图所示的函数关系,y1的图象为折线OABC,y2的图象是过O、B、C三点的抛物线一部分.

(1)根据图象回答:调试过程中,生产乙的效率高于甲的效率的时间x(小时)的取值范围是 2<x<6 ;‚说明线段AB的实际意义是 从第二小时到第六小时甲的工作效率是3件 .

(2)求出调试过程中,当6≤x≤8(3)时,生产甲种产品的效率y1(件/时)与工作时间x(小时)之间的函数关系式.

(3)调试结束后,一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m小时,再以图中乙的最大效率生产乙产品,两种产品共生产6小时,求甲、乙两种产品的生产总量Z(件)与生产甲所用时间m(小时)之间的函数关系式.

考点: 二次函数的应用..

分析: (1)根据y2图象在y1上方的部分,可得答案,根据线段AB的工作效率没变,可得答案案;

(2)根据待定系数法,可得函数解析式;

(3)根据根据甲的最大效率乘以时间,可得甲的产品,根据乙的最大效率乘以乙的时间,可得乙的产品,甲的产品加乙的产品,可得答案.

解答: 解:(1)y2图象在y1上方的部分,生产乙的效率高于甲的效率的时间x(小时)的取值范围是 2<x<6;

‚线段AB的实际意义是 从第二小时到第六小时甲的工作效率是3件;

(2)设函数解析式是y1=kx+b,

图象过点B(6,3)、C(8,0)

解得

故函数解析式为y1=﹣+12;

(3)Z=3m+4(6﹣m),

即Z=﹣m+24.

点评: 本题考查了二次函数的应用,利用了函数图象,待定系数法,题目较为简单.

 

25.(12分)(2014•锦州)(1)已知正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,如图①,将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′,OC′与CD交于点M,OB′与BC交于点N,请猜想线段CM与BN的数量关系,并证明你的猜想.

(2)如图②‚,将(1)中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′,连接AO′、DC′,请猜想线段AO′与DC′的数量关系,并证明你的猜想.

(3)如图③ƒ,已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A,且∠AEF=90°,∠EAF=∠DAC=α,连接DE、CF,请求出的值(用α的三角函数表示).

考点: 四边形综合题..

专题: 综合题.

分析: (1)如图1①,根据正方形的性质得OB=OC,∠OBC=∠OCD=45°,∠BOC=90°,再根据旋转的性质得∠B′OC′=∠BOC=90°,然后利用等角的余角相等得∠B′OB′=∠COC′,则可根据“ASA”判断△BON≌△COM,于是得到CM=BN;

(2)如图②,连接DC′,根据正方形的性质得AB=BC,AC=BD,OB=OC,∠OBC=∠ABO=45°,∠BOC=90°,于是可判断△ABC和△OBC都是等腰直角三角形,

则AC=AB,BC=BO,所以BD=AB;再根据旋转的性质得∠O′BC′=∠OBC=45°,OB=O′B,BC′=BC,则BC′=BO′,所以==,再证明∠1=∠2,则可根据相似的判定定理得到△BDC′∽△BAO′,利用相似比即可得到DC′=AO′;

(3)如图③,根据余弦的定义,在Rt△AEF中得到cos∠EAF=;在Rt△DAC中得到cos∠DAC=,由于∠EAF=∠DAC=α,所以==cosα,∠EAD=∠FAC,则可根据相似的判定定理得到△AED∽△AFC,利用相似比即可得到=cosα.

解答: 解:(1)CM=BN.理由如下:如图①,

∵四边形ABCD为正方形,

∴OB=OC,∠OBC=∠OCD=45°,∠BOC=90°,

∵△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′,

∴∠B′OC′=∠BOC=90°,

∴∠B′OC+∠COC′=90°,

而∠BOB′+∠B′OC=90°,

∴∠B′OB′=∠COC′,

在△BON和△COM中

∴△BON≌△COM,

∴CM=BN;

(2)如图②,连接DC′,

∵四边形ABCD为正方形,

∴AB=BC,AC=BD,OB=OC,∠OBC=∠ABO=45°,∠BOC=90°,

∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形,

∴AC=AB,BC=BO,

∴BD=AB,

∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△B′OC′,

∴∠O′BC′=∠OBC=45°,OB=O′B,BC′=BC,

∴BC′=BO′,

==

∵∠1+∠3=45°,∠2+∠3=45°,

∴∠1=∠2,

∴△BDC′∽△BAO′,

==

∴DC′=AO′;

(3)如图③,在Rt△AEF中,cos∠EAF=

在Rt△DAC中,cos∠DAC=

∵∠EAF=∠DAC=α,

==cosα,∠EAF+∠FAD=∠FAD+∠DAC,即∠EAD=∠FAC,

∴△AED∽△AFC,

==cosα.

点评: 本题考查了四边形的综合题:熟练掌握矩形和正方形的性质;同时会运用等腰直角三角形的性质和旋转的性质;能灵活利用三角形全等或相似的判定与性质解决线段之间的关系.

 

26.(14分)(2014•锦州)如图,平行四边形ABCD在平面直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(0,4),抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C.

(1)求抛物线的解析式.

(2)该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分,对称轴左侧部分的图形面积记为S1,右侧部分图形的面积记为S2,求S1与S2的比.

(3)在y轴上取一点D,坐标是(0,),将直线OC沿x轴平移到O′C′,点D关于直线O′C′的对称点记为D′,当点D′正好在抛物线上时,求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式.

考点: 二次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;平行四边形的性质;锐角三角函数的定义..

专题: 综合题.

分析: (1)由条件可求出点C的坐标,然后用待定系数法就可求出抛物线的解析式.

(2)由抛物线的解析式可求出其对称轴,就可求出S2,从而求出S1,就可求出S1与S2的比.

(3)由题可知DD′⊥O′C′,且DD′的中点在直线O′C′上.由OC∥O′C′可得DD′⊥OC.过点D作DM⊥CO,交x轴于点M,只需先求出直线DM的解析式,再求出直线DM与抛物线的交点,就得到点D′的坐标,然后求出DD′中点坐标就可求出对应的直线O′A′的解析式.

解答: 解:(1)如图1,

∵四边形ABCO是平行四边形,

∴BC=OA,BC∥OA.

∵A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(0,4),

∴点C的坐标为(2,4).

∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C.

解得:

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6.

(2)如图1,

∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6.

∴对称轴x=﹣=,

设OC所在直线的解析式为y=ax,

∵点C的坐标为(2,4),

∴2a=4,即a=2.

∴OC所在直线的解析式为y=2x.

当x=时,y=1,则点F为(,1).

∴S2=EC•EF

=×(2﹣)×(4﹣1)=.

∴S1=S四边形ABCO﹣S2=2×4﹣=

∴S1:S2=: =23:9.

∴S1与S2的比为23:9.

(3)过点D作DM⊥CO,交x轴于点M,如图2,

∵点C的坐标为(2,4),

∴tan∠BOC=.

∵∠OMD=90°﹣∠MOC=∠BOC,

∴tan∠OMD==.

∵点D的坐标是(0,),

=,即OM=7.

∴点M的坐标为(7,0).

设直线DM的解析式为y=kx+b,

则有

解得:

∴直线DM的解析式为y=﹣x+.

∵点D与点D′关于直线O′C′对称,

∴DD′⊥O′C′,且DD′的中点在直线O′C′上.

∵OC∥O′C′,∴DD′⊥OC.

∴点D′是直线DM与抛物线的交点.

联立

解得:

∴点D′的坐标为(﹣1,4)或(,).

设直线O′C′的解析式为y=2x+c,

①当点D′的坐标为(﹣1,4)时,如图3,

线段DD′的中点为()即(﹣,),

则有2×(﹣)+c=

解得:c=

此时直线O′C′的解析式为y=2x+

②当点D′的坐标为(,)时,如图4,

同理可得:此时直线O′C′的解析式为y=2x+.

综上所述:当点D′的坐标为(﹣1,4)时,直线O′C′的解析式为y=2x+;当点D′的坐标为(,)时,直线O′C′的解析式为y=2x+.

点评: 本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、抛物线与直线的交点、平行四边形的性质、三角函数的定义、中点坐标公式等知识,有一定的综合性.

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