一.选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）（2013•攀枝花）﹣5的相反数是（　　）

A． B． ﹣5 C． D． 5

考点： 相反数．

分析： 直接根据相反数的定义求解．

解答： 解：﹣5的相反数是5．

故选D．

点评： 本题考查了相反数：a的相反数为﹣a．

2．（3分）（2013•攀枝花）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． 平行四边形 B． 矩形 C． 正三角形 D． 等腰梯形

考点： 中心对称图形；轴对称图形．

分析： 根据轴对称及中心对称概念，结合选项即可得出答案．

解答： 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选B．

点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．

3．（3分）（2013•攀枝花）下列计算中，结果正确的是（　　）

A． （﹣a3）2=﹣a6 B． a6÷a2=a2 C． 3a3﹣2a3=a3 D．

考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法．

专题： 计算题．

分析： A、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；

B、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；

C、原式合并同类项得到结果，即可作出判断；

D、原式化为最简二次根式，合并得到结果，即可作出判断．

解答： 解：A、（﹣a3）2=a6，本选项错误；

B、a6÷a2=a4，本选项错误；

C、3a3﹣2a3=a3，本选项正确；

D、原式=2﹣=，本选项错误．

故选C．

点评： 本题考查了同底数幂的除法、合并同类项及二次根式的加减运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．

4．（3分）（2013•攀枝花）下列叙述正确的是（　　）

A． “如果a，b是实数，那么a+b=b+a”是不确定事件

B． 某种彩票的中奖概率为，是指买7张彩票一定有一张中奖

C． 为了了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适

D． “某班50位同学中恰有2位同学生日是同一天”是随机事件

考点： 随机事件；全面调查与抽样调查；概率的意义．

分析： 根据确定事件、随机事件的定义，以及概率的意义即可作出判断．

解答： 解：A、“如果a，b是实数，那么a+b=b+a”是必然事件，选项错误；

B、某种彩票的中奖概率为，是指中奖的机会是，故选项错误；

C、为了了解一批炮弹的杀伤力，调查具有破坏性，应采用普查的抽查方式比较合适；

D、正确．

故选D．

点评： 解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5．（3分）（2013•攀枝花）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）

A． 外离 B． 外切 C． 相交 D． 内切

考点： 圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法

分析： 由⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2﹣4x+3=0的两实根，解方程即可求得⊙O1与⊙O2的半径r1、r2的值，又由⊙O1与⊙O2的圆心距等于4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．

解答： 解：∵x2﹣4x+3=0，

∴（x﹣3）（x﹣1）=0，

解得：x=3或x=1，

∵⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2﹣6x+8=0的两实根，

∴r1+r2=3+1=4，

∵⊙O1与⊙O2的圆心距d=4，

∴⊙O1与⊙O2的位置关系是外切．

故选B．

点评： 此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．

6．（3分）（2013•攀枝花）下列命题中，假命题是（　　）

A． 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半

B． 矩形的对角线相等

C． 有两个角相等的梯形是等腰梯形

D． 对角线相等的菱形是正方形

考点： 命题与定理

分析： 根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案；

解答： 解：A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；

B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；

C、同一底边上的两个底角相等的梯形是等腰梯形，错误，符合题意；

D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；

故选C．

点评： 本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例．

7．（3分）（2013•攀枝花）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（　　）

A． m＞6 B． m＜6 C． m＞﹣6 D． m＜﹣6

考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；解二元一次方程组；解一元一次不等式．

分析： 根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．

解答： 解：根据题意得：，

解得：，

则6﹣m＜0，

解得：m＞6．

故选A．

点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

8．（3分）（2013•攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（　　）

A． 30° B． 35° C． 40° D． 50°

考点： 旋转的性质．

分析： 根据旋转的性质可得AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠ACC′=∠CAB，然后利用等腰三角形两底角相等求出∠CAC′，再求出∠BAB′=∠CAC′，从而得解．

解答： 解：∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，

∴AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′，

∵CC′∥AB，∠CAB=75°，

∴∠ACC′=∠CAB=75°，

∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×75°=30°，

∵∠BAB′=∠BAC﹣∠B′AC，

∠CAC′=∠B′AC′﹣∠B′AC，

∴∠BAB′=∠CAC′=30°．

故选A．

点评： 本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质．

9．（3分）（2013•攀枝花）一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（　　）

A． 60° B． 90° C． 120° D． 180°

考点： 圆锥的计算．

分析： 要求其圆心角，就要根据弧长公式计算，首先明确侧面展开图是个扇形，即圆的周长就是弧长．

解答： 解：设底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，底面周长=2πr，

侧面展开图是个扇形，弧长=2πr=，所以n=180°．

故选D．

点评： 主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．

10．（3分）（2013•攀枝花）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（　　）

A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．

分析： 根据二次函数的图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数与反比例函数得出图象经过的象限．

解答： 解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴经过x的负半轴，

∴a，b同号，

图象经过y轴的正半轴，则c＞0，

∵函数y=，a＜0，

∴图象经过二、四象限，

∵y=bx+c，b＜0，c＞0，

∴图象经过一、二、四象限，

故选；B．

点评： 此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数和反比例函数的性质，根据已知得出a，b，c的值是解题关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）（2013•攀枝花）计算：2﹣1﹣（π﹣3）0﹣=　﹣1　．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

专题： 计算题

分析： 本题涉及0指数幂、负指数幂、立方根等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答： 解：原式=﹣1﹣=﹣1．

故答案为﹣1．

点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握0指数幂、负指数幂、立方根考点的运算．

12．（4分）（2013•攀枝花）某次数学测验中，某班六位同学的成绩分别是：86，79，81，86，90，84，这组数据的众数是　86　，中位数是　85　．

考点： 众数；中位数．

分析： 根据众数的定义是一组数据中出现次数最多的数找出众数，再把这组数据从小到大排列，求出最中间的两个数的平均数就是中位数．

解答： 解：86出现了2次，出现的次数最多，

则众数是86；

把这组数据从小到大排列为79，81，84，86，86，90，

共有6个数，中位数是第3和4个数的平均数，

则中位数是（84+86）÷2=85；

故答案为：86，85．

点评： 此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．

13．（4分）（2013•攀枝花）若分式的值为0，则实数x的值为　1　．

考点： 分式的值为零的条件．

分析： 分式的值等于零：分子等于零，且分母不等于零．

解答： 解：由题意，得

x2﹣1=0，且x+1≠0，

解得，x=1．

故填：1．

点评： 本题考查了分式的值为零的条件．分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．

14．（4分）（2013•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是　2　．

考点： 菱形的性质；解直角三角形．

分析： 求出AD=AB，设AD=AB=5x，AE=3x，则5x﹣3x=4，求出x，得出AD=10，AE=6，在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE=8，在Rt△BDE中得出tan∠DBE=，代入求出即可，

解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∵cosA=，BE=4，DE⊥AB，

∴设AD=AB=5x，AE=3x，

则5x﹣3x=4，

x=2，

即AD=10，AE=6，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE==8，

在Rt△BDE中，tan∠DBE===2，

故答案为：2．

点评： 本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，关键是求出DE的长．

15．（4分）（2013•攀枝花）设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为　﹣　．

考点： 根与系数的关系

专题： 计算题．

分析： 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，变形后将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，

∴x1+x2=，x1x2=﹣，

则原式=====﹣．

故答案为：﹣

点评： 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

16．（4分）（2013•攀枝花）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：

①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD

其中正确结论的为　①③④　（请将所有正确的序号都填上）．

考点： 菱形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．

分析： 根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．

解答： 解：∵△ACE是等边三角形，

∴∠EAC=60°，AE=AC，

∵∠BAC=30°，

∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，

∵F为AB的中点，

∴AB=2AF，

∴BC=AF，

∴△ABC≌△EFA，

∴FE=AB，

∴∠AEF=∠BAC=30°，

∴EF⊥AC，故①正确，

∵EF⊥AC，∠ACB=90°，

∴HF∥BC，

∵F是AB的中点，

∴HF=BC，

∵BC=AB，AB=BD，

∴HF=BD，故④说法正确；

∵AD=BD，BF=AF，

∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，

∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，

∴∠DFB=∠EAF，

∵EF⊥AC，

∴∠AEF=30°，

∴∠BDF=∠AEF，

∴△DBF≌△EFA（AAS），

∴AE=DF，

∵FE=AB，

∴四边形ADFE为平行四边形，

∵AE≠EF，

∴四边形ADFE不是菱形；

故②说法不正确；

∴AG=AF，

∴AG=AB，

∵AD=AB，

则AD=AG，故③说法正确，

故答案为①③④．

点评： 本题考查了菱形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择．

三、解答题

17．（6分）（2013•攀枝花）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a=．

考点： 分式的化简求值．

专题： 计算题．

分析： 原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．

解答： 解：原式=•==，

当a=时，原式===﹣1﹣．

点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．

18．（6分）（2013•攀枝花）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF

求证：AE=CF．

考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 求出DE=BF，根据平行四边形性质求出AD=BC，AD∥BC，推出∠ADE=∠CBF，证出△ADE≌△CBF即可．

解答： 证明：∵BE=DF，

∴BE﹣EF=DF﹣EF，

∴DE=BF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBF，

在△ADE和△CBF中

∴△ADE≌△CBF（SAS），

∴AE=CF．

点评： 本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．

19．（6分）（2013•攀枝花）如图，直线y=k1x+b（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；

（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＜的解集．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

专题： 计算题．

分析： （1）将A坐标代入反比例解析式中求出k2的值，确定出双曲线解析式，将B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k1与b的值，即可确定出直线解析式；

（2）根据三点横坐标的正负，得到A2与A3位于第一象限，对应函数值大于0，A1位于第三象限，函数值小于0，且在第一象限为减函数，即可得到大小关系式；

（3）由两函数交点坐标，利用图象即可得出所求不等式的解集．

解答： 解：（1）将A（1，2）代入双曲线解析式得：k2=2，即双曲线解析式为y=；

将B（m，﹣1）代入双曲线解析式得：﹣1=，即m=﹣2，B（﹣2，﹣1），

将A与B坐标代入直线解析式得：，

解得：k1=1，b=1，

则直线解析式为y=x+1；

（2）∵x1＜0＜x2＜x3，且反比例函数在第一象限为减函数，

∴A2与A3位于第一象限，即y2＞y3＞0，A1位于第三象限，即y1＜0，

则y2＞y3＞y1；

（3）由A（1，2），B（﹣2，﹣1），

利用函数图象得：不等式k1x+b＜的解集为﹣2＜x＜0或x＞1．

点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

20．（8分）（2013•攀枝花）为积极响应市委，市政府提出的“实现伟大中国梦，建设美丽攀枝花”的号召，我市某校在八，九年级开展征文活动，校学生会对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

（1）求扇形统计图中投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数：

（2）求该校八，九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．

（3）在投稿篇数为9篇的两个班级中，八，九年级各有两个班，校学生会准备从这四个中选出两个班参加全市的表彰会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率．

考点： 条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．

分析： （1）根据投稿6篇的班级个数是3个，所占的比例是25%，可求总共班级个数，利用投稿篇数为2的比例乘以360°即可求解；

（2）根据加权平均数公式可求该校八，九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，再用总共班级个数﹣不同投稿情况的班级个数即可求解：

（3）利用树状图法，然后利用概率的计算公式即可求解．

解答： 解：（1）3÷25%=12（个），

×360°=30°．

故投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数为30°；

（2）12﹣1﹣2﹣3﹣4=2（个），

（2+3×2+5×2+6×3+9×4）÷12

=72÷12

=6（篇），

将该条形统计图补充完整为：

（3）画树状图如下：

总共12种情况，不在同一年级的有8种情况，

所选两个班正好不在同一年级的概率为：8÷12=．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．（8分）（2013•攀枝花）某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．

（1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？

（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲中钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？

（3）若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．

分析： （1）先设购进甲，乙两种钢笔每支各需a元和b元，根据购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元列出方程组，求出a，b的值即可；

（2）先设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支，根据题意列出5x+10y=1000和不等式组6y≤x≤8y，把方程代入不等式组即可得出20≤y≤25，求出y的值即可；

（3）先设利润为W元，得出W=2x+3y=400﹣y，根据一次函数的性质求出最大值．

解答： 解：（1）设购进甲，乙两种钢笔每支各需a元和b元，根据题意得：

，

解得：，

答：购进甲，乙两种钢笔每支各需5元和10元；

（2）设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支，根据题意可得：

，

解得：20≤y≤25，

∵x，y为整数，

∴y=20，21，22，23，24，25共六种方案，

∵5x=1000﹣10y＞0，

∴0＜y＜100，

∴该文具店共有6种进货方案；

（3）设利润为W元，则W=2x+3y，

∵5x+10y=1000，

∴x=200﹣2y，

∴代入上式得：W=400﹣y，

∵W随着y的增大而减小，

∴当y=20时，W有最大值，最大值为W=400﹣20=380（元）．

点评： 本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出相应的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，有一定的难度．

22．（8分）（2013•攀枝花）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．

（1）求证：PB与⊙O相切；

（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；

（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．

考点： 圆的综合题．

分析： （1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线；

（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证．

（3）连接BE，构建直角△BEF．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x，BF=2x，进而可得EF=x；然后由面积法求得BD=x，所以根据垂径定理求得AB的长度，在Rt△ABC中，根据勾股定理易求BC的长；最后由余弦三角函数的定义求解．

解答： （1）证明：连接OA，

∵PA与圆O相切，

∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，

∵OP⊥AB，

∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，

∴PA=PB，

∵在△OAP和△OBP中，

，

∴△OAP≌△OBP（SSS），

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∴BP⊥OB，

则直线PB为圆O的切线；

（2）答：EF2=4DO•PO．

证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，

∴△OAD∽△OPA，

∴=，即OA2=OD•OP，

∵EF为圆的直径，即EF=2OA，

∴EF2=OD•OP，即EF2=4OD•OP；

（3）解：连接BE，则∠FBE=90°．

∵tan∠F=，

∴=，

∴可设BE=x，BF=2x，

则由勾股定理，得

EF==x，

∵BE•BF=EF•BD，

∴BD=x．

又∵AB⊥EF，

∴AB=2BD=x，

∴Rt△ABC中，BC=x，

AC2+AB2=BC2，

∴122+（x）2=（x）2，

解得：x=4，

∴BC=4×=20，

∴cos∠ACB===．

点评： 此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．

23．（12分）（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；

（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；

（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．

解答： 解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），

将C点坐标（0，﹣3）代入，得：

a（0+3）（0﹣1）=5，解得 a=1，

则y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，

所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；

（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．

设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得

，解得，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．

设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），

∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．

∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，

∴S=PN•OA

=×3（﹣x2﹣3x）

=﹣（x+）2+，

∴当x=﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；

（3）在y轴上是否存在点M，能够使得△ADE是直角三角形．理由如下：

∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，

∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），

∵A（﹣3，0），

∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．

设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：

①当A为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，

解得t=，

所以点M的坐标为（0，）；

②当D为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，

解得t=﹣，

所以点M的坐标为（0，﹣）；

③当M为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，

解得t=﹣1或﹣3，

所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；

综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADE是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

24．（12分）（2013•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点A的坐标为　（﹣4，0）　，直线l的解析式为　y=x+4　；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；

（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

考点： 一次函数综合题．

分析： （1）利用梯形性质确定点D的坐标，利用sin∠DAB=特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式；

（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程：

①当0＜t≤1时，如答图1所示；

②当1＜t≤2时，如答图2所示；

③当2＜t＜时，如答图3所示．

（3）本问考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值；

（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解．

解答： 解：（1）∵C（7，4），AB∥CD，

∴D（0，4）．

∵sin∠DAB=，

∴∠DAB=45°，

∴OA=OD=4，

∴A（﹣4，0）．

设直线l的解析式为：y=kx+b，则有

，

解得：k=1，b=4，

∴y=x+4．

∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．

（2）在点P、Q运动的过程中：

①当0＜t≤1时，如答图1所示：

过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．

过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•=3t．

∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，

S=PM•PE=×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t；

②当1＜t≤2时，如答图2所示：

过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，

则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t，

S=PM•PE=×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t；

③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，

即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=．

当2＜t＜时，如答图3所示：

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，

S=PM•MQ=×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．

（3）①当0＜t≤1时，S=﹣5t2+14t=﹣5（t﹣）2+，

∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=，

∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大，

∴当t=1时，S有最大值，最大值为9；

②当1＜t≤2时，S=﹣7t2+16t=﹣7（t﹣）2+，

∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=，

∴当t=时，S有最大值，最大值为；

③当2＜t＜时，S=﹣14t+32

∵k=﹣14＜0，

∴S随t的增大而减小．

又∵当t=2时，S=4；

当t=时，S=0，

∴0＜S＜4．

综上所述，当t=时，S有最大值，最大值为．

（4）△QMN为等腰三角形，有两种情形：

①如答图4所示，点M在线段CD上，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，

由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=；

②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，

此时△QMN为等腰三角形，t=．

故当t=或t=时，△QMN为等腰三角形．

点评： 本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题关键是对动点运动过程有清晰的理解．第（3）问中，考查了指定区间上的函数极值，增加了试题的难度；另外，分类讨论的思想贯穿（2）﹣（4）问始终，同学们需要认真理解并熟练掌握．