一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每在小题给出四个答案选项，只有一个符合题意的．

1．（3分）（2013•资阳）16的平方根是（　　）

A． 4 B． ±4 C． 8 D． ±8

考点： 平方根．

分析： 根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．

解答： 解：∵（±4）2=16，

∴16的平方根是±4．

故选B．

点评： 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

2．（3分）（2013•资阳）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（　　）

A． 正六边形 B． 正八边形 C． 正十边形 D． 正十二边形

考点： 多边形内角与外角．

分析： 利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．

解答： 解：360÷36=10．

故选C．

点评： 本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．

3．（3分）（2013•资阳）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（　　）

A． 12个 B． 16个 C． 20个 D． 30个

考点： 模拟实验

分析： 根据共摸球40次，其中10次摸到黑球，则摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：3；即可计算出白球数．

解答： 解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，

∴有30次摸到白球，

∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，

∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3，

4÷=12（个）．

故选：A．

点评： 本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．

4．（3分）（2013•资阳）在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A． x≤1 B． x≥1 C． x＜1 D． x＞1

考点： 函数自变量的取值范围．

分析： 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．

解答： 解：根据题意得，x﹣1＞0，

解得x＞1．

故选D．

点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

5．（3分）（2013•资阳）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（　　）

A． 48 B． 60 C． 76 D． 80

考点： 勾股定理；正方形的性质．

分析： 由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积．

解答： 解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，

∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，

∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣×AE×BE

=100﹣×6×8

=76．

故选C．

点评： 本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．

6．（3分）（2013•资阳）资阳市2012年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入取近似值后为27.39亿元，那么这个数值（　　）

A． 精确到亿位 B． 精确到百分位 C． 精确到千万位 D． 精确到百万位

考点： 近似数和有效数字．

分析： 近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．

解答： 解：∵27.39亿末尾数字9是百万位，

∴27.39亿精确到百万位．

故选D．

点评： 本题考查了近似数的确定，熟悉数位是解题的关键．

7．（3分）（2013•资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（　　）

A．π B．π C．π D． π

考点： 扇形面积的计算；钟面角．

分析： 从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，利用扇形的面积公式即可求解．

解答： 解：从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，

则分针在钟面上扫过的面积是：=π．

故选：A．

点评： 本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．

8．（3分）（2013•资阳）在芦山地震抢险时，太平镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人，那么预定每组分配的人数是（　　）

A． 10人 B． 11人 C． 12人 D． 13人

考点： 一元一次不等式组的应用．

分析： 先设预定每组分配x人，根据若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人，列出不等式组，解不等式组后，取整数解即可．

解答： 解：设预定每组分配x人，根据题意得：

，

解得：11＜x＜12，

∵x为整数，

∴x=12．

故选：C．

点评： 此题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据关键语句若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够

90人列出不等式组．

9．（3分）（2013•资阳）从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特征（　　）

A． B． C． D．

考点： 规律型：图形的变化类

分析： 根据图形的对称性找到规律解答．

解答： 解：第一个图形是轴对称图形，

第二个图形是轴对称也是中心对称图形，

第三个图形是轴对称也是中心对称图形，

第四个图形是中心对称但不是轴对称，

所以第五个图形应该是轴对称但不是中心对称，

故选C．

点评： 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并发现其中的规律．

10．（3分）（2013•资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是（　　）

A． ﹣4＜P＜0 B． ﹣4＜P＜﹣2 C． ﹣2＜P＜0 D． ﹣1＜P＜0

考点： 二次函数图象与系数的关系

分析： 求出a＞0，b＞0，把x=1代入求出a=2﹣b，b=2﹣a，把x=﹣1代入得出y=a﹣b+c=2a﹣4，求出2a﹣4的范围即可．

解答： 解：∵二次函数的图象开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴在y轴的左边，

∴﹣＜0，

∴b＞0，

∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，

代入得：a+b﹣2=0，

∴a=2﹣b，b=2﹣a，

∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2，

把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，

∵b＞0，

∴b=2﹣a＞0，

∴a＜2，

∵a＞0，

∴0＜a＜2，

∴0＜2a＜4，

∴﹣4＜2a﹣4＜0，

即﹣4＜P＜0，

故选A．

点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将直接答案填横线上．

11．（3分）（2013•资阳）（﹣a2b）2•a=　a5b2　．

考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．

分析： 根据积的乘方以及同底数幂的乘方等知识求解即可求得答案．

解答： 解：（﹣a2b）2•a=a4b2a=a5b2．

故答案为：a5b2．

点评： 本题考查了积的乘方和同底数幂的乘法运算法则，一定要记准法则才能做题．

12．（3分）（2013•资阳）若一组2，﹣1，0，2，﹣1，a的众数为2，则这组数据的平均数为　　．

考点： 众数；算术平均数．

分析： 要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出a，再求这组数据的平均数．

解答： 解：数据2，﹣1，0，2，﹣1，a的众数为2，即2的次数最多；

即a=2．

则其平均数为（2﹣1+0+2﹣1+2）÷6=．

故答案为：．

点评： 本题考查平均数与众数的意义．平均数等于所有数据之和除以数据的总个数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．

13．（3分）（2013•资阳）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB=　5　．

考点： 含30度角的直角三角形；矩形的性质．

分析： 根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．

解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB

又∵∠AOB=60°

∴△AOB是等边三角形．

∴AB=OA=AC=5，

故答案是：5．

点评： 本题考查了矩形的性质，正确理解△AOB是等边三角形是关键．

14．（3分）（2013•资阳）在一次函数y=（2﹣k）x+1中，y随x的增大而增大，则k的取值范围为　k＜2　．

考点： 一次函数图象与系数的关系．

分析： 根据一次函数图象的增减性来确定（2﹣k）的符号，从而求得k的取值范围．

解答： 解：∵在一次函数y=（2﹣k）x+1中，y随x的增大而增大，

∴2﹣k＞0，

∴k＜2．

故答案是：k＜2．

点评： 本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

15．（3分）（2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　1+　．

考点： 轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．

分析： 连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC，先求出BC和BE长，代入求出即可．

解答：

解：连接CE，交AD于M，

∵沿AD折叠C和E重合，

∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，

∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，

∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC，

∵∠DEA=90°，

∴∠DEB=90°，

∵∠B=60°，DE=1，

∴BE=，BD=，

即BC=1+，

∵∠ACB=90°，∠B=60°，

∴∠CAB=30°，

∴AB=2BC=2×（1+）=2+，

AC=BC=+2，

∴BE=AB﹣AE=2+﹣（+2）=，

∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+，

故答案为：1+．

点评： 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．

16．（3分）（2013•资阳）已知直线上有n（n≥2的正整数）个点，每相邻两点间距离为1，从左边第1个点起跳，且同时满足以下三个条件：

①每次跳跃均尽可能最大；

②跳n次后必须回到第1个点；

③这n次跳跃将每个点全部到达，

设跳过的所有路程之和为Sn，则S25=　312　．

考点： 规律型：图形的变化类．

专题： 规律型．

分析： 首先认真读题，明确题意．按照题意要求列表（或画图），从中发现并总结出规律．注意：当n为偶数或奇数时，Sn的表达式有所不同．

解答： 解：设这n个点从左向右依次编号为A1，A2，A3，…，An．

根据题意，n次跳跃的过程可以列表如下：

第n次跳跃 起点 终点 路程

1 A1 An n﹣1

2 An A2 n﹣2

3 A2 An﹣1 n﹣3

… … … …

n﹣1 n为偶数 1

n为奇数 1

n n为偶数 A1

n为奇数 A1

发现规律如下：

当n为偶数时，跳跃的路程为：Sn=（1+2+3+…+n﹣1）+=+=；

当n为奇数时，跳跃的路程为：Sn=（1+2+3+…+n﹣1）+=+=．

因此，当n=25时，跳跃的路程为：S25==312．

故答案为：312．

点评： 本题是对图形变化规律的考查，比较抽象．列表发现跳跃运动规律是解题的关键，同学们也可以自行画出图形予以验证．

三、（本大题共8小题，共72分）

17．（7分）（2013•资阳）解方程：．

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答： 解：去分母得：x+2（x﹣2）=x+2，

去括号得：x+2x﹣4=x+2，

解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解．

点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

18．（8分）（2013•资阳）体考在即，初三（1）班的课题研究小组对本年级530名学生的体育达标情况进行调查，制作出如图所示的统计图，其中1班有50人．（注：30人以上为达标，满分50分）根据统计图，解答下面问题：

（1）初三（1）班学生体育达标率和本年级其余各班学生体育达标率各是多少？

（2）若除初三（1）班外其余班级学生体育考试成绩在30﹣﹣40分的有120人，请补全扇形统计图；（注：请在图中分数段所对应的圆心角的度数）

（3）如果要求全年级学生的体育达标率不低于90%，试问在本次调查中，该年级全体学生的体育达标率是否符合要求？

考点： 条形统计图；扇形统计图

专题： 计算题．

分析： （1）由频率分布直方图求出30分以上的频率，即为初三（1）班的达标率；由扇形统计图中30分以下的频率求出30分以上的频率，即为其余班的达标率；

（2）根据30﹣40分的人数除以其余各班的人数求出所占的百分比，乘以360度，求出30﹣40分所占的角度，补全扇形统计图即可；

（3）根据其余各班体育达标率小于90%，得到在本次调查中，该年级全体学生的体育达标率不符合要求．

解答： 解：（1）根据条形统计图得：初三（1）班学生体育达标率为0.6+0.3=0.9=90%；

根据扇形统计图得：本年级其余各班学生体育达标率为1﹣12.5%=87.5%；

（2）其余各班的人数为530﹣50=480（人），

30﹣40分人数所占的角度为×360°=90°，

补全扇形统计图，如图所示：

（3）由扇形统计图得到其余各班体育达标率为87.5%＜90%，

则该年级全体学生的体育达标率不符合要求．

点评： 此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．

19．（8分）（2013•资阳）在关于x，y的二元一次方程组中．

（1）若a=3．求方程组的解；

（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．

考点： 二次函数的最值；解二元一次方程组．

分析： （1）用加减消元法求解即可；

（2）把方程组的两个方程相加得到3x+y，然后代入整理，再利用二次函数的最值问题解答．

解答： 解：（1）a=3时，方程组为，

②×2得，4x﹣2y=2③，

①+③得，5x=5，

解得x=1，

把x=1代入①得，1+2y=3，

解得y=1，

所以，方程组的解是；

（2）方程组的两个方程相加得，3x+y=a+1，

所以，S=a（3x+y）=a（a+1）=a2+a，

所以，当a=﹣=﹣时，S有最小值．

点评： 本题考查了二次函数的最值问题，解二元一次方程组，（2）根据方程组的系数的特点，把两个方程相加得到3x+y的表达式是解题的关键．

20．（8分）（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．

考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）．

分析： （1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；

（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解．

解答： 解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，

则AE=AC=×2=1，

∵翻折后点D与圆心O重合，

∴OE=r，

在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，

即r2=12+（r）2，

解得r=；

（2）连接BC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=25°，

∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，

根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，

∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°．

点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键．

21．（9分）（2013•资阳）如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y=（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．

（1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）：

①分别求出直线l与双曲线的解析式；

②若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？

（2）假设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值．

考点： 反比例函数综合题．

分析： （1）①运用待定系数法可分别得到直线l与双曲线的解析式；

②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=﹣x=5﹣m，根据题意得方程组只有一组解时，化为关于x的方程得x2+（5﹣m）x+4=0，则△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9，当m=9时，公共点不在第一象限，所以m=1；

（2）作DF⊥x轴，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根据相似比可得到AF=，DF=，则D点坐标为（a﹣，），然后把D点坐标代入反比例函数解析式中即可得到b的值．

解答： 解：（1）①把D（4，1）代入y=得a=1×4=4，

所以反比例函数解析式为y=（x＞0）；

设直线l的解析式为y=kx+t，

把D（4，1），E（1，4）代入得，

解得．

所以直线l的解析式为y=﹣x+5；

②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=﹣x=5﹣m，

当方程组只有一组解时，直线l与双曲线有且只有一个交点，

化为关于x的方程得x2+（5﹣m）x+4=0，

△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9，

而m=9时，解得x=﹣2，故舍去，

所以当m=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点；

（2）作DF⊥x轴，如图，

∵点D为线段AB的n等分点，

∴DA：AB=1：n，

∵DF∥OB，

∴△ADF∽△ABO，

∴==，即==，

∴AF=，DF=，

∴OF=a﹣，

∴D点坐标为（a﹣，），

把D（a﹣，）代入y=得（a﹣）•=a，

解得b=．

点评： 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式；熟练运用相似比进行几何计算．

22．（9分）（2013•资阳）钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区，不允许它国船只进入，如图，今有一中国海监船在位于钓鱼岛A正南方距岛60海里的B处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C处有一艘日本渔船，正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西30°的方向以12节的速度前往拦截，期间多次发出警告，2小时候海监船到达D处，与此同时日本渔船到达E处，此时海监船再次发出严重警告．

（1）当日本渔船受到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区？

（2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度，原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛12海里，且位于线段AC上的F处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达F处？（注：①中国海监船的最大航速为18节，1节=1海里/小时；②参考数据：sin26.3°≈0.44，sin20.5°≈0.35，sin18.1°≈0.31，≈1.4，≈1.7）

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题

分析： （1）过点E作圆A的切线EN，求出∠AEN的度数即可得出答案；

（2）分别求出渔船、海监船到达点F的时间，然后比较可作出判断．

解答： 解：（1）过点E作圆A的切线EN，连接AN，则AN⊥EN，

由题意得，CE=9×2=18海里，则AE=AC﹣CE=52﹣18=34海里，

∵sin∠AEN==≈0.35，

∴∠AEN=20.5°，

∴∠NEM=69.5°，

即必须沿北偏东至少转向69.5°航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区．

（2）过点D作DH⊥AB于点H，

由题意得，BD=2×12=24海里，

在Rt△DBH中，DH=BD=12海里，BH=12海里，

∵AF=12海里，

∴DH=AF，

∴DF⊥AF，

此时海监船以最大航速行驶，

海监船到达点F的时间为：==≈2.2小时；

渔船到达点F的时间为：==2.4小时，

∵2.2＜2.4，

∴海监船比日本渔船先到达F处．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，本题依托时事问题出题，立意新颖，是一道很好的题目．

23．（11分）（2013•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；

（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；

①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．

②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．

考点： 四边形综合题

分析： （1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；

（2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t=a，进而得到CM=a=CD，所以该命题为真命题；

②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．

解答： （1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，

∴∠ADF=∠DCN．

在△ADF与△DNC中，

，

∴△ADF≌△DNC（ASA），

∴DF=MN．

（2）解：①该命题是真命题．

理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CD．

∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，

∴，

∴AE=EC，则AE=AC=a，

∴t==a．

则CM=1•t=a=CD，

∴点M为边CD的三等分点．

②能．理由如下：

易证AFE∽△CDE，∴，即，得AF=．

易证△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t．

∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t．

若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：

（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，

∴AF=DM，即=t，得t=0，不合题意．

∴此种情形不存在；

（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，

∴t=a，此时点F与点B重合；

（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：

易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t；

又由△NDM∽△DCF，∴，即，∴FC=．

∴=a﹣t，

∴t=a，此时点F与点C重合．

综上所述，当t=a或t=a时，△MNF能够成为等腰三角形．

点评： 本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．

24．（12分）（2013•资阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；

（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．

考点： 二次函数综合题4

分析： （1）根据平行四边形的性质可求点C的坐标，由待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）连结BD交对称轴于G，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，根据待定系数法即可求出直线BD的解析式，根据抛物线对称轴公式可求对称轴，由此即可求出点N的坐标；

（3）过点M作直线交x轴于点P1，分点P在对称轴的左侧，点P在对称轴的右侧，两种情况讨论即可求出直线的解析式．

解答： 解：（1）∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=5，

∴点C的坐标为（5，4），

∵过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），

∴，

解得．

故抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．

（2）连结BD交对称轴于G，

在Rt△OBD中，易求BD=5，

∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，

又∵∠DCB=∠CBE，

∴∠DBC=∠CBE，

过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，

易证GH=HN，

∴点G与点M重合，

故直线BD的解析式y=﹣x+4

根据抛物线可知对称轴方程为x=，

则点M的坐标为（，），即GF=，BF=，

∴BM==，

又∵MN被BC垂直平分，

∴BM=BN=，

∴点N的坐标为（，0）；

（3）过点M作直线交x轴于点P1，

易求四边形AECD的面积为28，四边形ABCD的面积为20，

由“四边形AECD的面积分为3：4”可知直线P1M必与线段CD相交，

设交点为Q1，四边形AP1Q1D的面积为S1，四边形P1ECQ1的面积为S2，点P1的坐标为（a，0），

假设点P在对称轴的左侧，则P1F=﹣a，P1E=7﹣a，

由△MKQ1∽△MFP1，得=，

易求Q1K=5P1F=5（﹣a），

∴CQ1=﹣5（﹣a）=5a﹣10，

∴S2=（5a﹣10+7﹣a），

根据P1（，0），M（，）可求直线P1M的解析式为y=x﹣6，

若点P在对称轴的右侧，则直线P2M的解析式为y=﹣x+．

点评： 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：平行四边形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，抛物线对称轴公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．