一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面的每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项所对应的字母填上，注意可用多种不同的方法来选取正确的答案。

1．（3分）（2013•黄石）﹣7的倒数是（　　）

A． ﹣ B． 7 C． D． ﹣7

考点： 倒数

分析： 根据倒数的定义解答．

解答： 解：设﹣7的倒数是x，则

﹣7x=1，

解得x=﹣．

故选A．

点评： 主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．（3分）（2013•黄石）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.4960亿千米．用科学记数法表示1个天文单位应是（　　）

A． 1.4960×107千米 B． 14.960×107千米 C． 1.4960×108千米 D． 0.14960×108千米

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：将1.4960亿千米用科学记数法表示为：1.4960×108千米．

故选：C．

点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）（2013•黄石）分式方程的解为（　　）

A． x=﹣1 B． x=2 C． x=4 D． x=3

考点： 解分式方程

分析： 观察可得最简公分母是2x（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

解答： 解：方程的两边同乘2x（x﹣1），得

3（x﹣1）=2x，

解得x=3．

检验：把x=3代入2x（x﹣1）=12≠0．

故原方程的解为：x=3．

故选D．

点评： 考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

4．（3分）（2013•黄石）如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（　　）

A． ①② B． ②③ C． ②④ D． ③④

考点： 简单几何体的三视图

分析： 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，分别得到每个几何体的三视图，进而得到答案．

解答： 解：正方体主视图、左视图、俯视图都是正方形；

圆柱主视图和左视图是长方形，俯视图是圆；

圆锥主视图和左视图是三角形、俯视图是带圆心的圆；

球主视图、左视图、俯视图都是圆，

故选：B．

点评： 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置．

5．（3分）（2013•黄石）已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（　　）

A． 90πcm2 B． 209πcm2 C． 155πcm2 D． 65πcm2

考点： 圆锥的计算；点、线、面、体

分析： 根据圆锥的表面积=侧面积+底面积计算．

解答： 解：圆锥的表面积=×10π×13+π×52=90πcm2．

故选A．

点评： 点评：本题考查了圆锥的表面面积的计算．首先确定圆锥的底面半径、母线长是解决本题的关键．

6．（3分）（2013•黄石）为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：

关于这15名学生所捐款的数额，下列说法正确的是（　　）

A． 众数是100 B． 平均数是30 C． 极差是20 D． 中位数是20

考点： 极差；加权平均数；中位数；众数

分析： 根据极差、众数、中位数及平均数的定义，结合表格即可得出答案．

解答： 解：A、众数是20，故本选项错误；

B、平均数为26.67，故本选项错误；

C、极差是95，故本选项错误；

D、中位数是20，故本选项正确；

故选D．

点评： 本题考查了中位数、极差、平均数及众数的知识，掌握各部分的定义是关键．

7．（3分）（2013•黄石）四川雅安地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（　　）

A． 1种 B． 11种 C． 6种 D． 9种

考点： 二元一次方程的应用

分析： 可设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶．根据两种帐篷容纳的总人数为60人，可列出关于x、y的二元一次方程，根据x、y均为非负整数，求出x、y的取值．根据未知数的取值即可判断出有几种搭建方案．

解答： 解：设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶，

依题意，有：6x+4y=60，整理得y=15﹣1.5x，

因为x、y均为非负整数，所以15﹣1.5x≥0，

解得：0≤x≤10，

从2到10的偶数共有5个，

所以x的取值共有6种可能，

即共有6种搭建方案．

故选：C．

点评： 此题主要考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是找到人数的等量关系，及帐篷数的不等关系．

8．（3分）（2013•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（　　）

A． B． C． D．

考点： 垂径定理；勾股定理

专题： 探究型．

分析： 先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．

解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB===5，

过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，

∵CM⊥AB，

∴M为AD的中点，

∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，

∴CM=，

在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，

解得：AM=，

∴AD=2AM=．

故选C．

点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

9．（3分）（2013•黄石）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（　　）

A． B． 5 C． 4 D．

考点： 旋转的性质．

分析： 先求出∠ACD=30°，再根据旋转角求出∠ACD1=45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD1然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答： 解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°，

∴∠DCE=90°﹣30°=60°，

∴∠ACD=90°﹣60°=30°，

∵旋转角为15°，

∴∠ACD1=30°+15°=45°，

又∵∠A=45°，

∴△ACO是等腰直角三角形，

∴AO=CO=AB=×6=3，AB⊥CO，

∵DC=7，

∴D1C=DC=7，

∴D1O=7﹣3=4，

在Rt△AOD1中，AD1===5．

故选B．

点评： 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出AB⊥CO是解题的关键，也是本题的难点．

10．（3分）（2013•黄石）如图，已知某容器都是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y，高度为x，则y关于x的函数图象大致是（　　）

考点： 函数的图象

分析： 分三个阶段，根据圆锥和圆柱的特点分析出上升的高度与水量的增长的关系，从而得解．

解答： 解：如图，①水在下边的圆锥体内时，水面的半径为xtanα，

水的体积y=π（xtanα）2•x=πtan2α•x3，

所以，y与x成立方关系变化，即大于直线增长；

②水面在圆柱体内时，y是x的一次函数；

③水在上边的圆锥体时，水的高度增长的速度与①中相反，即小于直线增长，

纵观各选项，只有A选项符合．

故选A．

点评： 本题考查了函数图象，主要利用了圆锥、圆柱的体积，分析出水在三个阶段的高度与水的体积的关系是解题的关键，需要有一定的空间想象能力．．

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）（2013•黄石）分解因式：3x2﹣27=　3（x+3）（x﹣3）　．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

分析： 观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．

解答： 解：3x2﹣27，

=3（x2﹣9），

=3（x+3）（x﹣3）．

点评： 本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．

12．（3分）（2013•黄石）若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为　0或﹣1　．

考点： 抛物线与x轴的交点

分析： 令y=0，则关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根，所以k=0或根的判别式△=0，借助于方程可以求得实数k的值．

解答： 解：令y=0，则kx2+2x﹣1=0．

∵关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，

∴关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根．

①当k=0时，2x﹣1=0，即x=，∴原方程只有一个根，∴k=0符号题意；

②当k≠0时，△=4+4k=0，

解得，k=﹣1．

综上所述，k=0或﹣1．

故答案是：0或﹣1．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要对函数y=kx2+2x﹣1进行分类讨论：一次函数和二次函数时，满足条件的k的值．

13．（3分）（2013•黄石）甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n．若m、n满足|m﹣n|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是　　．

考点： 列表法与树状图法．

分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与m、n满足|m﹣n|≤1的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答： 解：画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，m、n满足|m﹣n|≤1的有10种情况，

∴甲、乙两人“心有灵犀”的概率是：=．

故答案为：．

点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

14．（3分）（2013•黄石）如图所示，在边长为3的正方形ABCD中，⊙O1与⊙O2外切，且⊙O2分别于DA、DC边外切，⊙O1分别与BA、BC边外切，则圆心距，O1O2为　　．

考点： 相切两圆的性质．

分析： 通过作辅助线构造直角三角形用勾股定理作为相等关系列方程求解．

解答： 解：如图所示，设⊙O1半径x，⊙O2半径y，

∵O1在∠ADC的平分线上；O2在∠ABC平分线上，而BD为正方形对角线，平分对角，

∴O1O2 在BD上，

∴∠ADB=∠DBA=45°，

∴DO1=x，BO2=y

则 DB=DO1+O1O2+O2B=x+y+（x+y）=3

解得x+y==6﹣3．

故答案为：6﹣3．

点评： 主要考查了相切两圆中的有关计算问题．解题方法主要是利用正方形的性质构造直角三角形，用勾股定理作为相等关系列方程求解．

15．（3分）（2013•黄石）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于二、四象限的A、B两点，与x轴交于C点．已知A（﹣2，m），B（n，﹣2），tan∠BOC=，则此一次函数的解析式为　y=﹣x+3　．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题

专题： 计算题．

分析： 过点B作BD⊥x轴，在直角三角形BOD中，根据已知的三角函数值求出OD的长，得到点B的坐标，把点B的坐标代入反比例函数的解析式中，求出反比例函数的解析式，然后把点A的横坐标代入反比例函数的解析式中求出点A的坐标，最后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式，求出a和b的值即可得到一次函数解析式．

解答： 解：过点B作BD⊥x轴，

在Rt△BOD中，∵tan∠BOC===，

∴OD=5，

则点B的坐标为（5，﹣2），

把点B的坐标为（5，﹣2）代入反比例函数（k≠0）中，

则﹣2=，即k=﹣10，

∴反比例函数的解析式为y=﹣，

把A（﹣2，m）代入y=﹣中，m=5，

∴A的坐标为（﹣2，5），

把A（﹣2，5）和B（5，﹣2）代入一次函数y=ax+b（a≠0）中，

得：，解得，

则一次函数的解析式为y=﹣x+3．

故答案为：y=﹣x+3．

点评： 此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角函数值，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．

16．（3分）（2013•黄石）在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”，而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为一天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据．已知二进位制与十进位制比较如下表：

请将二进位制数10101010（二）写成十进位制数为　170　．

考点： 有理数的混合运算．

专题： 应用题．

分析： 根据二进制的意义即可花成十进制，从而求解．

解答： 解：10101010（二）=27+25+23+2=128+32+8+2=170．

故答案是：170．

点评： 本题考查了有理数的运算，理解二进制的意义是关键．

三、解答题（本题有9个小题，共72分）

17．（7分）（2013•黄石）计算：．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

专题： 计算题．

分析： 本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答： 解：原式=3+×﹣2﹣1+

=3+1﹣2﹣1+3

=4．

点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．

18．（7分）（2013•黄石）先化简，再求值：，其中a=，b=．

考点： 分式的化简求值

专题： 计算题．

分析： 本题中直接代数求值是非常麻烦的．本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．

解答： 解：原式=

==

∵，；

∴原式=．

点评： 解答本题的关键是对分式进行化简，代值计算要仔细．

19．（7分）（2013•黄石）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．

（1）求证：DE与⊙O相切；

（2）求证：OF=CD．

考点： 切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．

分析： （1）连接OE，由AM与圆O相切，利用切线的性质得到OA与AM垂直，即∠OAD=90°，根据OD与BE平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，一对同位角相等，再由OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OA=OE，OD为公共边，利用SAS得出三角形AOD与三角形EOD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠OED=90°，即OE垂直于ED，即可得证；

（2）连接OC，由CD与CB为圆的切线，利用切线的性质得到一对直角相等，由OB=OE，OC为公共边，利用HL得出两直角三角形全等，进而得到∠BOC=∠EOC，利用等量代换及平角定义得到∠COD=90°，即三角形COD为直角三角形，由OF与BN平行，AM与BN平行，得到三线平行，由O为AB的中的，利用平行线等分线段定理得到F为CD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证．

解答： 证明：（1）连接OE，

∵AM与圆O相切，

∴AM⊥OA，即∠OAD=90°，

∵OD∥BE，

∴∠AOD=∠ABE，∠EOD=∠OEB，

∵OB=OE，

∴∠ABE=∠OEB，

∴∠AOD=∠OEB，

∴∠AOD=∠EOD，

在△AOD和△EOD中，

，

∴△AOD≌△EOD（SAS），

∴∠OED=∠OAD=90°，

则DE为圆O的切线；

（2）在Rt△BCO和Rt△ECO中，

，

∴Rt△BCO≌Rt△ECO，

∴∠BOC=∠EOC，

∵∠AOD=∠EOD，

∴∠DOC=∠EOD+∠EOC=×180°=90°，

∵AM、BN为圆O的切线，

∴AM⊥AB，BN⊥AB，

∴AM∥BN，

∵OF∥BN，

∴AM∥OF∥BN，

又O为AB的中点，

∴F为CD的中点，

则OF=CD．

点评： 此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．

20．（8分）（2013•黄石）解方程组：．

考点： 高次方程．

分析： 先由第二个方程得：x= ③，再把③代入①得：2×（）2﹣y2=，求出y1、y2，再代入③即可．

解答： 解：，

由②得：x= ③，

把③代入①得：2×（）2﹣y2=﹣，

化简得：9y2+y+5=0，

即：（3y+）2=0

解得：y1=y2=，

代入③得：x1=x2=，

∴原方程组的解为．

点评： 此题考查了高次方程，关键是利用代入法把高次方程转化成低次方程，注意结果有两种情况．

21．（8分）（2013•黄石）青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学校600名学生的心理健康状况，举行了一次“心理健康”知识测试，并随即抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了下面未完成的频率分布表和频率分布直方图．请回答下列问题：

（1）填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；

（2）若成绩在70分以上（不含70分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的70%以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，否则就需要加强心里辅导．请根据上述数据分析该校学生是否需要加强心里辅导，并说明理由．

考点： 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．

分析： （1）由50.5～60.5的频数除以对应的频率求出样本的总人数，进而求出70.5～80.5的频率，90.5～100.5的频数，以及80.5～90.5的频率与频数，补全表格即可；

（2）该校学生需要加强心里辅导，理由为：求出70分以上的人数，求出占总人数的百分比，与70%比较大小即可．

解答： 解：（1）根据题意得：样本的容量为4÷0.08=50（人），

则70.5～80.5的频率为=0.32，80.5～90.5的频率为1﹣（0.08+0.28+0.32+0.20）=0.12，频数为50×0.12=6；

分组 频数 频率

50.5～60.5 4 0.08

60.5～70.5 14 0.28

70.5～80.5 16 0.32

80.5～90.5 6 0.12

90.5～100.5 10 0.20

合计 50 1.00

（2）该校学生需要加强心理辅导，理由为：

根据题意得：70分以上的人数为16+6+10=32（人），

∵心理健康状况良好的人数占总人数的百分比为×100%=64%＜70%，

∴该校学生需要加强心理辅导．

点评： 此题考查了频数（率）分布直方图，弄清题意是解本题的关键．

22．（8分）（2013•黄石）高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（取1.732）

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．

分析： 首先过点A作AH⊥CF于点H，易得∠ACH=60°，然后利用三角函数的知识，求得AH的长，继而可得消防车是否需要改进行驶．

解答： 解：如图：过点A作AH⊥CF于点H，

由题意得：∠MCF=75°，∠CAN=15°，AC=125米，

∵CM∥AN，

∴∠ACM=∠CAN=15°，

∴∠ACH=∠MCF﹣∠ACM=75°﹣15°=60°，

∴在Rt△ACH中，AH=AC•sin∠ACH=125×≈108.25（米）＞100米．

答：消防车不需要改道行驶．

点评： 此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．

23．（8分）（2013•黄石）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示：

（1）根据图象，直接写出y1、y2关于x的函数图象关系式；

（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；

（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）直接运用待定系数法就可以求出y1、y2关于x的函数图关系式；

（2）分为两种情况，在相遇前，两车之间的距离=总路车﹣客车行驶的路﹣出租车行驶的路程；当两车相遇后两车间的距离=客车行驶的路程+出租车行驶的路程﹣600求出其解即可；

（3）分A加油站在甲地与B加油站之间，B加油站在甲地与A加油站之间两种情况列出方程求解即可．

解答： 解：（1）设y1=k1x，由图可知，函数图象经过点（10，600），

∴10k1=600，

解得：k1=60，

∴y1=60x（0≤x≤10），

设y2=k2x+b，由图可知，函数图象经过点（0，600），（6，0），则

，

解得：

∴y2=﹣100x+600（0≤x≤6）；

（2）由题意，得

60x=﹣100x+600

x=，

当0≤x＜时，S=y2﹣y1=﹣160x+600；

当≤x＜6时，S=y1﹣y2=160x﹣600；

当6≤x≤10时，S=60x；

即S=；

（3）由题意，得

①当A加油站在甲地与B加油站之间时，（﹣100x+600）﹣60x=200，

解得x=，

此时，A加油站距离甲地：60×=150km，

②当B加油站在甲地与A加油站之间时，60x﹣（﹣100x+600）=200，

解得x=5，此时，A加油站距离甲地：60×5=300km，

综上所述，A加油站到甲地距离为150km或300km．

点评： 本题考查了分段函数，函数自变量的取值范围，用待定系数法求一次函数、正比例函数的解析式等知识点的运用，综合运用性质进行计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，注意：分段求函数关系式，题目较好，但是有一定的难度．

24．（9分）（2013•黄石）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；

（2）若△ABC在（1）的条件下，如图3，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；

（3）如图4，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论．

考点： 相似形综合题；黄金分割．

分析： （1）证明AD=CD=BC，证明△BCD∽△BCA，得到，则有，所以点D是AB边上的黄金分割点；

（2）证明S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，直线CD是△ABC的黄金分割线；

（3）根据相似三角形比例线段关系，证明BG=GC，AH=HD，则梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等，S梯形ABGH=S梯形GCDH=S梯形ABCD，所以GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．

解答： 解：（1）点D是AB边上的黄金分割点．理由如下：

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB=72°．

∵CD是角平分线，

∴∠ACD=∠BCD=36°，

∴∠A=∠ACD，

∴AD=CD．

∵∠CDB=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，

∴∠CDB=∠B，

∴BC=CD．

∴BC=AD．

在△BCD与△BCA中，∠B=∠B，∠BCD=∠A=36°，

∴△BCD∽△BCA，

∴，

∴，

∴点D是AB边上的黄金分割点．

（2）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC中，AB边上的高为h，则S△ABC=AB•h，S△ACD=AD•h，S△BCD=BD•h．

∴S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD．

由（1）知，点D是AB边上的黄金分割点，，

∴S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，

∴CD是△ABC的黄金分割线．

（3）直线不是直角梯形ABCD的黄金分割线．理由如下：

∵BC∥AD，

∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，

∴，，

∴，即 ①

同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得：

，即 ②

由①、②得：，

∴AH=HD，

∴BG=GC．

∴梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等，

∴S梯形ABGH=S梯形GCDH=S梯形ABCD．

∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、含36°角的等腰三角形、黄金分割、直角梯形等知识点．试题难度不大，理解题中给出的黄金分割点、黄金分割线的概念是正确解题的基础．

25．（10分）（2013•黄石）如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣时，y取最大值．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；

（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：

①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）

（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=）

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）先根据抛物线y=﹣x2+bx+c，当x=﹣时，y取最大值，得到抛物线的顶点坐标为（﹣，），可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出A、C的坐标，然后将A、C的坐标代入

y=kx+m，运用待定系数法即可求出直线的解析式；

（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：

①当P在线段AC上时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．由PH∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出PH的长，进而求出P点的坐标；

②当P在CA的延长线上时，由PG∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出PG的长，进而求出P点的坐标；

（3）联立两函数的解析式，设直线y=x+a与抛物线y=﹣x2﹣x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧），则xM、xN是方程x2+x+a﹣6=0的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，xM+xN=﹣，xM•xN=a﹣6，进而求出yM•yN=（a﹣6）﹣a+a2．

①由于∠MON=90°，根据勾股定理得出OM2+ON2=MN2，据此列出关于a的方程，解方程即可求出a的值；

②由于∠MON＞90°，根据勾股定理得出OM2+ON2＜MN2，据此列出关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围．

解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，当x=﹣时，y取最大值，

∴抛物线的解析式是：y=﹣（x+）2+，即y=﹣x2﹣x+6；

当x=0时，y=6，即C点坐标是（0，6），

当y=0时，﹣x2﹣x+6=0，解得：x=2或﹣3，

即A点坐标是（﹣3，0），B点坐标是（2，0）．

将A（﹣3，0），C（0，6）代入直线AC的解析式y=kx+m，

得，

解得：，

则直线的解析式是：y=2x+6；

（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵S△ABP：S△BPC=1：3，

∴=，

∴AP：PC=1：3，

由勾股定理，得AC==3．

①当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．

∵PH∥OC，

∴==，

∴PH=，

∴=2x+6，

∴x=﹣，

∴点P（﹣，）；

②当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足．

∵AP：PC=1：3，

∴AP：AC=1：2．

∵PG∥OC，

∴==，

∴PG=3，

∴﹣3=2x+6，x=﹣，

∴点P（﹣，﹣3）．

综上所述，点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣3）．

（3）设直线y=x+a与抛物线y=﹣x2﹣x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧）．

则，为方程组的解，

由方程组消去y整理，得：x2+x+a﹣6=0，

∴xM、xN是方程x2+x+a﹣6=0的两个根，

∴xM+xN=﹣，xM•xN=a﹣6，

∴yM•yN=（xM+a）（xN+a）=xM•xN+（xM+xN）+a2=（a﹣6）﹣a+a2．

①存在a的值，使得∠MON=90°．理由如下：

∵∠MON=90°，

∴OM2+ON2=MN2，即+++=（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2，

化简得xM•xN+yM•yN=0，

∴（a﹣6）+（a﹣6）﹣a+a2=0，

整理，得2a2+a﹣15=0，

解得a1=﹣3，a2=，

∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=﹣3或a=；

②∵∠MON＞90°，

∴OM2+ON2＜MN2，即+++＜（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2，

化简得xM•xN+yM•yN＜0，

∴（a﹣6）+（a﹣6）﹣a+a2＜0，

整理，得2a2+a﹣15＜0，

解得﹣3＜a＜，

∴当∠MON＞90°时，a的取值范围是﹣3＜a＜．

点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形三边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．