2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)
日期:2014-11-28 11:30

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一、选择题

(1)设集合A={3,5,6,8},集合B={4,5,7,8},则A n B等于

(A){3,4,5,6,7,8} (B){3,6} (C) {4,7} (D){5,8}

1. 答案D

【命题意图】本题主要考查集合的交集运算.

【解析】,故选D.

(2)函数Y=l 2的图象大致是


2. 答案C

【命题意图】本题主要考查对数函数的图象.

【解析】该对数函数的图象过(1,0),且单调递增,故选C.

(3)抛物线2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)的焦点到准线的距离是

(A)1 (B)2 (C)4 (D)8

3. 答案C

【命题意图】本题主要考查抛物线的方程及性质.

【解析】焦点到准线的距离是=4,故选C.

(4)一个单位有职工800人,期中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)分层抽样的方2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是

(A)12,24,15,9(B)9,12,12,7(C)8,15,12,5(D)8,16,10,6

4.答案D

【命题意图】本题主要考查分层抽样知识.

【解析】∵,∴各层抽取的人数分别是8,16,10,6,故选D.

(5)函数2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)的图像关于直线2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)对称的充要条件是

(A)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科) (B)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科) (C)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科) (D)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)

5. 答案A

【命题意图】本题主要考查二次函数的对称性和充分必要条件.

【解析】该二次函数的对称轴是,∴,故选A.

(6)设点2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)是线段2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)的中点,点2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)在直线2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)外,2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科),则2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)

(A)8(B)4 (C)2 (D)1

6. 答案C

【命题意图】本题主要考查平面向量的基本运算.

【解析】由,两边平方得,,∴,△ABC为直角三角形,BC为斜边,∴,由已知得,∴,故选C.

(7)将函数2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)的图像上所有的点向右平行移动2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是

(A)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)(B)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)

(C)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科) (D)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)

7. 答案C

【命题意图】本题主要考查三角函数图象的平移变换和伸缩变换.

【解析】将图象向右平移个单位得到函数,再把横坐标伸长为原来的2倍得到,故选C.

(8)某加工厂用某原料由甲车间加工出2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)产品,由乙车间加工出2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)产品,每千克2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)产品,每千克2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为

(A)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱

(B)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱

(C)甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱

(D)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱

8. 答案B

【命题意图】本题主要考查线性规划的实际问题.

【解析】设甲车间生产箱,乙车间生产箱,则所获利润,由已知条件,可行域为构成的四边形,∴过点C取得最大值,故选B.

(9)由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是

(A)36(B)32010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2(C)28 (D)24

9. 答案A 【命题意图】本题主要考查排列组合知识和分类讨论的思想方法.

【解析】①若5在个位或万位,有种方法;②若5在中间三位,则有种方法,故有36种方法,故选A.

(10)椭圆2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)的右焦点为F,其右准线与2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)轴的交点为2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科).在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是

(A)(0,2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)] (B)(0,2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)](C)[2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科),1) (D)[2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科),1)

10. 答案D


(A)1(B)2(C)3(D)4

11. 答案D

【命题意图】本题主要考查利用均值不等式及变形公式求最值.

【解析】原式= =

,当且仅当取等号.故选D.

(12)半径为2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)的球2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)的直径2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)垂直于平面2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科),垂足为2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)是平面2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)内边长为2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)的正三角形,线段2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)分别与球面交于点2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科),那么2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)两点间的球面距离是

2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)

(A)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科) (B)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)

2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)(C)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科) (D)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)

12.A 【命题意图】本题主要考查球面性质与距离问题.

【解析】连接BM,BN,连接MN,则BM⊥AC,BN⊥BD,由已知直角△ABC与直角△ABD全等,在直角三角形中由等面积法,可得,∴,

,∴MN∥CD,且,在三角形MON中,ON=OM=R,由余弦定理,,∴,∴MN两点的球面距离为,故选A


二、填空题

(13)(x-)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答)

13.24 【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和常数项的求法.

【解析】常数项是.

(14)直线2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)与圆2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)相交于A、B两点,则2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科) .

14. 【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系.

【解析】圆心到直线的距离,又半径,∴.

(15)如图,二面角2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)的大小是60°,线段2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科).2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)

2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)所成的角为30°.则2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)与平面2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)所成的角的正弦值是.

2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)

15. 【命题意图】本题主要考查线线角、线面角、二面角问题,考查空间推理计算能力.

【解析】过A作AO垂直于于O,AN⊥于N,连接ON,OB,则为所求,为二面角的平面角,∴,设AN的长为,则,∴.

(16)设S为实数集R的非空子集.若对任意2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科),都有2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科),则称S为封闭集。下列命题:

1集合2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科) 2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)为整数为封闭集;

2若S为封闭集,则一定有2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)

3封闭集一定是无限集;

4若S为封闭集,则满足2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)的任意集合2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)也是封闭集.

其中真命题是(写出所有真命题的序号)

,所以T不是封闭集.故填①②.


三、解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)

某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科).甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

(Ⅰ)求三位同学都没有中奖的概率;

(Ⅱ)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.

【命题意图】本题主要考查相互独立事件、互斥事件等概率的计算,考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力.

解:(Ⅰ)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么

答:三位同学都没有中奖的概率是.…………………………………………(6分)

(Ⅱ)

答:三位同学中至少有两位没有中奖的概率为.……………………………(12分)

(18)(本小题满分12分)

在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.


(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;

(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小;

【命题意图】本题以正方体为载体,考查空间垂直关系的证明以及二面角的计算,考查基本的空间推理与计算能力,考查利用向量解决立体几何的能力.

解法一

(Ⅰ)连结AC,取AC的中点K,则K为BD的中点,连结OK.

因为点M是棱′的中点,点O是的中点,


所以

所以

,得

因为,所以平面

所以

所以

又因为OM与异面直线都相交,

故OM为异面直线’的公垂线.……………(5分)

(Ⅱ)取的中点N,连结MN,则平面.过点N作于H,连结MH,则由三垂线定理得,.从而,为二面角的平面角.

,则

中,

故二面角的大小为.……………………………(12分)

解法二

以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则


(Ⅱ)设平面的一个法向量为

,则.从而

取平面的一个法向量为

由图可知,二面角的平面角为锐角,

故二面角的大小为.……………………………(12分)

【点评】空间的线线垂直的证明方法主要有:(1)定义法;(2)等腰三角形的性质;(3)三垂线定理;(4)线面垂直;(5)向量法.几何法确定二面角的平面角的方法:(1)直接法;(2)三垂线法;(3)棱的垂面法等,当然如果题目适合建立空间直角坐标系,用向量法更简洁,但对于分步给分的立体几何解答题,传统法也有它的长处.

(19)(本小题满分12分)

(Ⅰ)1证明两角和的余弦公式2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)

2由推导两角和的正弦公式2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科).

(Ⅱ)已知,求


【命题意图】本题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数的关系等基础知识及运算能力.

解:(Ⅰ)①如图,在直角坐标系内作单位圆O,并作出角,使角的始边为,交于点,终边交于点;角的始边为,终边交于点,角的始边为,终边交于点

及两点间的距离公式,得

展开并整理,得

.……………(4分)

②由①易得,

.……………………………(6分)

(Ⅱ)

.………………………(12分)


(20)(本小题满分12分)
已知等差数列的前3项和为6,前8项和为-4。

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)设,求数列的前n项和

【命题意图】本小题只要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证与分析问题、解决问题的能力.

解:(Ⅰ)设的公差为d.由已知得

解得

.……………………………………………(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得解答可得,,于是

,将上式两边同乘以q有

两式相减得到

于是

,则

所以,…………………………………(12分)

(21)(本小题满分12分)

已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科),不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.

【命题意图】本题主要考查轨迹方程的求解、直线与双曲线的位置关系,考查解析几何的思想方法及推理运算能力.

解:(Ⅰ)设,则

化简得.……………………………………………………(4分)

(Ⅱ)①当直线轴不垂直时,设的方程为

与双曲线方程联立消去

由题意知,

,则

因为

所以直线的方程为,因此点的坐标为

同理可得

因此

②当直线轴垂直时,其方程,则

的方程为,因此点的坐标

同理可得

因此

综上,,即

(22)(本小题满分14分)

2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)2010年高考数学真题附解析(四川卷+文科)),g(x)是f(x)的反函数.

(Ⅰ)求

(Ⅱ)当时,恒有成立,求t的取值范围;

(Ⅲ)当0<a≤时,试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小,并说明理由.

【命题意图】本题主要考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识,考查化归、分类整合等数学思想,以及推理论证与分析问题、解决问题的能力.

解:(Ⅰ)由题意得,

.…………………………………………(3分)

(Ⅱ)由

①当时,

又因为,所以

列表如下:

x

2

5

6


+

0


5

极大值32

25

所以

所以

②当时,

又因为,所以

由①知

所以

综上,当时,;当时,.………………………………(9分)

(Ⅲ)设,则

时,

时,

时,

所以

从而

所以

综上.…………………………(14分)

【点评】最后一题总体上来说是一道难题,但难中也有简单部分,因此一定要尽力去做,第(Ⅰ)问是简单题,第(Ⅱ)问有点难度,虽然涉及到了讨论,但考查的内容是我们熟悉的恒成立问题,需要分离参数然后转化成求最值来解决,所以也不陌生;第(Ⅲ)是难题,用到了放缩法,然后裂项相消求和,不易想到,这一问基本是为极少人准备的.

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