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一、选择题
(1)设集合A={3,5,6,8},集合B={4,5,7,8},则A n B等于
(A){3,4,5,6,7,8} (B){3,6} (C) {4,7} (D){5,8}
1. 答案D
【命题意图】本题主要考查集合的交集运算.
【解析】,故选D.
(2)函数Y=l 2的图象大致是
2. 答案C
【命题意图】本题主要考查对数函数的图象.
【解析】该对数函数的图象过(1,0),且单调递增,故选C.
(3)抛物线的焦点到准线的距离是
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
3. 答案C
【命题意图】本题主要考查抛物线的方程及性质.
【解析】焦点到准线的距离是,=4,故选C.
(4)一个单位有职工800人,期中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是
(A)12,24,15,9(B)9,12,12,7(C)8,15,12,5(D)8,16,10,6
4.答案D
【命题意图】本题主要考查分层抽样知识.
【解析】∵,∴各层抽取的人数分别是8,16,10,6,故选D.
(5)函数的图像关于直线对称的充要条件是
(A) (B) (C) (D)
5. 答案A
【命题意图】本题主要考查二次函数的对称性和充分必要条件.
【解析】该二次函数的对称轴是,∴,故选A.
(6)设点是线段的中点,点在直线外,,,则
(A)8(B)4 (C)2 (D)1
6. 答案C
【命题意图】本题主要考查平面向量的基本运算.
【解析】由,两边平方得,,∴,△ABC为直角三角形,BC为斜边,∴,由已知得,∴,故选C.
(7)将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是
(A)(B)
(C) (D)
7. 答案C
【命题意图】本题主要考查三角函数图象的平移变换和伸缩变换.
【解析】将图象向右平移个单位得到函数,再把横坐标伸长为原来的2倍得到,故选C.
(8)某加工厂用某原料由甲车间加工出产品,由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克产品,每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克产品,每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为
(A)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
(B)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
(C)甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
(D)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
8. 答案B
【命题意图】本题主要考查线性规划的实际问题.
【解析】设甲车间生产箱,乙车间生产箱,则所获利润,由已知条件,可行域为构成的四边形,∴过点C取得最大值,故选B.
(9)由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是
(A)36(B)32(C)28 (D)24
9. 答案A 【命题意图】本题主要考查排列组合知识和分类讨论的思想方法.
【解析】①若5在个位或万位,有种方法;②若5在中间三位,则有种方法,故有36种方法,故选A.
(10)椭圆的右焦点为F,其右准线与轴的交点为.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是
(A)(0,] (B)(0,](C)[,1) (D)[,1)
10. 答案D
(A)1(B)2(C)3(D)4
11. 答案D
【命题意图】本题主要考查利用均值不等式及变形公式求最值.
【解析】原式= =
,当且仅当且即取等号.故选D.
(12)半径为的球的直径垂直于平面,垂足为,是平面内边长为的正三角形,线段、分别与球面交于点、,那么、两点间的球面距离是
(A) (B)
(C) (D)
12.A 【命题意图】本题主要考查球面性质与距离问题.
【解析】连接BM,BN,连接MN,则BM⊥AC,BN⊥BD,由已知直角△ABC与直角△ABD全等,在直角三角形中由等面积法,可得,∴,
,∴MN∥CD,且,在三角形MON中,ON=OM=R,由余弦定理,,∴,∴MN两点的球面距离为,故选A
二、填空题
(13)(x-)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答)
13.24 【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和常数项的求法.
【解析】常数项是.
(14)直线与圆相交于A、B两点,则 .
14. 【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系.
【解析】圆心到直线的距离为,又半径为,∴.
(15)如图,二面角的大小是60°,线段.,
与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是.
15. 【命题意图】本题主要考查线线角、线面角、二面角问题,考查空间推理计算能力.
【解析】过A作AO垂直于于O,AN⊥于N,连接ON,OB,则为所求,为二面角的平面角,∴,设AN的长为,则,∴.
(16)设S为实数集R的非空子集.若对任意,都有,则称S为封闭集。下列命题:
1集合 为整数为封闭集;
2若S为封闭集,则一定有;
3封闭集一定是无限集;
4若S为封闭集,则满足的任意集合也是封闭集.
其中真命题是(写出所有真命题的序号)
则,所以T不是封闭集.故填①②.
三、解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
(Ⅰ)求三位同学都没有中奖的概率;
(Ⅱ)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.
【命题意图】本题主要考查相互独立事件、互斥事件等概率的计算,考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
解:(Ⅰ)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么
.
.
答:三位同学都没有中奖的概率是.…………………………………………(6分)
(Ⅱ)
.
或.
答:三位同学中至少有两位没有中奖的概率为.……………………………(12分)
(18)(本小题满分12分)
在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.
(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;
(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小;
【命题意图】本题以正方体为载体,考查空间垂直关系的证明以及二面角的计算,考查基本的空间推理与计算能力,考查利用向量解决立体几何的能力.
解法一
(Ⅰ)连结AC,取AC的中点K,则K为BD的中点,连结OK.
因为点M是棱′的中点,点O是的中点,
所以,
所以.
由,得
因为,,所以平面,
所以.
所以.
又因为OM与异面直线和都相交,
故OM为异面直线和’的公垂线.……………(5分)
(Ⅱ)取的中点N,连结MN,则平面.过点N作于H,连结MH,则由三垂线定理得,.从而,为二面角的平面角.
设,则,.
在中,.
故二面角的大小为.……………………………(12分)
解法二
以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,,,,,.
(Ⅱ)设平面的一个法向量为.
,.
即
取,则,.从而.
取平面的一个法向量为.
.
由图可知,二面角的平面角为锐角,
故二面角的大小为.……………………………(12分)
【点评】空间的线线垂直的证明方法主要有:(1)定义法;(2)等腰三角形的性质;(3)三垂线定理;(4)线面垂直;(5)向量法.几何法确定二面角的平面角的方法:(1)直接法;(2)三垂线法;(3)棱的垂面法等,当然如果题目适合建立空间直角坐标系,用向量法更简洁,但对于分步给分的立体几何解答题,传统法也有它的长处.
(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)1证明两角和的余弦公式;
2由推导两角和的正弦公式.
(Ⅱ)已知,求
【命题意图】本题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数的关系等基础知识及运算能力.
解:(Ⅰ)①如图,在直角坐标系内作单位圆O,并作出角与,使角的始边为,交于点,终边交于点;角的始边为,终边交于点,角的始边为,终边交于点.
则,,,.
由及两点间的距离公式,得
展开并整理,得.
.……………(4分)
②由①易得,,.
.
.……………………………(6分)
(Ⅱ),.
.
,.
,.
.………………………(12分)
(20)(本小题满分12分)
已知等差数列的前3项和为6,前8项和为-4。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前n项和
【命题意图】本小题只要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证与分析问题、解决问题的能力.
解:(Ⅰ)设的公差为d.由已知得
解得,.
故.……………………………………………(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得解答可得,,于是
.
若,将上式两边同乘以q有.
两式相减得到
.
于是.
若,则.
所以,…………………………………(12分)
(21)(本小题满分12分)
已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.
【命题意图】本题主要考查轨迹方程的求解、直线与双曲线的位置关系,考查解析几何的思想方法及推理运算能力.
解:(Ⅰ)设,则
,
化简得.……………………………………………………(4分)
(Ⅱ)①当直线与轴不垂直时,设的方程为.
与双曲线方程联立消去得
.
由题意知,且.
设,则,,
.
因为,
所以直线的方程为,因此点的坐标为,
.
同理可得.
因此
.
②当直线与轴垂直时,其方程,则,.
的方程为,因此点的坐标,.
同理可得.
因此.
综上,,即.
(22)(本小题满分14分)
设(且),g(x)是f(x)的反函数.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)当时,恒有成立,求t的取值范围;
(Ⅲ)当0<a≤时,试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小,并说明理由.
【命题意图】本题主要考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识,考查化归、分类整合等数学思想,以及推理论证与分析问题、解决问题的能力.
解:(Ⅰ)由题意得,,
故,.…………………………………………(3分)
(Ⅱ)由得
①当时,.
又因为,所以.
令,
则.
列表如下:
x | 2 | 5 | 6 | ||
+ | 0 | ||||
5 | ↗ | 极大值32 | ↘ | 25 |
所以,
所以.
②当时,,
又因为,所以.
令,
由①知,
所以.
综上,当时,;当时,.………………………………(9分)
(Ⅲ)设,则.
当时,.
当时,
设,时,
则.
所以.
从而.
所以.
综上.…………………………(14分)
【点评】最后一题总体上来说是一道难题,但难中也有简单部分,因此一定要尽力去做,第(Ⅰ)问是简单题,第(Ⅱ)问有点难度,虽然涉及到了讨论,但考查的内容是我们熟悉的恒成立问题,需要分离参数然后转化成求最值来解决,所以也不陌生;第(Ⅲ)是难题,用到了放缩法,然后裂项相消求和,不易想到,这一问基本是为极少人准备的.