(单词翻译:单击)
一.选择题:本小题共12题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知,则实数
分别为
A. B.
C. D.
【答案】D
【命题意图】本题主要考查复数的乘法运算及实数的条件.
【解析】∵,∴
即
.
2.若集合,则
A. B.
C. D.
【答案】C
【命题意图】本题主要考查函数的定义域与值域及集合的交集运算.
【解析】,
,∴
.故选C.
3.不等式的解集是
A. B.
C. D.
【答案】A
【命题意图】本题主要考查绝对值不等式与分式不等式的解法.
【解析】由已知,原不等式等价于,即
.∴解集为
.
4.
A. B.
C.
D.不存在
【答案】B
【命题意图】本题主要考查等比数列的求和公式与简单的极限.
【解析】原式.
5.等比数列中,
,函数
,则
A. B.
C.
D.
6.展开式中不含
项的系数的和为
A. B.
C.
D.
【答案】B
【命题意图】本题主要考查二项式定理通项的运用.
【解析】令,则
中所有项的系数和为1.
,则
,即
.∴含
项的系数为
,∴不含
项的系数为
.
7.E,F是等腰直角斜边AB上的三等分点,则
A. B.
C.
D.
【答案】D
【命题意图】本题主要考查向量夹角公式及坐标法的应用.
【解析】以C为坐标原点,分别以CA,CB所在直线为轴建立平面直角坐标系.不妨设CA=CB=3
,则A
,B
.∵E,F是斜边AB的三等分点,∴E
,F
.
,∵
为锐角,
.
8.直线与圆
相交于M,N两点,若
,则
的取值范围是
A. B.
C. D.
9.给出下列三个命题:
①函数与
是同一函数;
②若函数与
的图像关于直线
对称,则函数
与
的图像也关于直线
对称;
③若奇函数对定义域内任意
都有
,则
为周期函数.
其中真命题是
A.①② B.①③ C.②③ D.②
【答案】C
【命题意图】本题主要考查函数、反函数的概念及奇偶性、周期性以及逻辑推理能力.
【解析】①中,与
10.过正方体的顶点A作直线
,使
与棱
所成的角都相等,这样的直线
可以作
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
【答案】D
【命题意图】本题主要考查空间想象能力.
【解析】由正方体易得体对角线就是其中一条与
所成的角都相等的直线,而且所求角的大小为
.可以想象一下,把正方体中这三边分别延长会构造出以A为顶点的另三个与已知正方体全等的正方体,各自都有一条过A点的体对角线符合条件.共4条.
11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各参入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和
.则
A. B.
C.
D.以上三种情况都有可能
【答案】B
【命题意图】本题主要考查概率问题,等可能事件与对立事件及近似估算法.
【解析】,
,其中
,
∴
.
12.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记时刻五角星露出水面部分的图形面积为
,则导函数
的图像大致为
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填写在答题卡上.
13.已知向量满足
与
的夹角为60°,则
______________.
【答案】
【命题意图】本题主要考查向量模的计算.
【解析】∵.将已知数据代入上式,∴
.
14.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有_________种(用数字作答).
【答案】1080
【命题意图】本题主要考查排列组合知识中的平均分组再分配问题.
【解析】.
15.点在双曲线
的右支上,若点A到右焦点的距离等于
,则
__________.
【答案】2
【命题意图】本题主要考查圆锥曲线的第二定义.
【解析】双曲线的离心率e=3.右准线为.所以得到A到准线的距离d为
.所以
.
16.如图,在三棱锥中,三条棱
两两垂直,且
,分别经过三条棱
作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为
,则
的大小关系为________________.
三.解答题:本大题共小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)当时,求
在区间
上的取值范围;
(2)当时,
,求
的值.
【命题意图】本题考查了两角和与差的三角函数,三角恒等变换,研究三角函数的性质以及三角函数在闭区间上的最值问题,方程思想求参数的值.考查了考生综合运用三角函数知识的解题能力.
【参考答案】(本小题满分12分)
解:(1)当时,
又由得
,所以
,
从而.
(2)
由得
,
,
所以,得
.
【点评】三角函数的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性,它和代数、几何有着密切的联系,是研究其他部分知识的工具,在实际问题中也有着广泛的应用,因而是高考对基础知识和基本技能考查的重要内容之一.有关三角函数的试题,其解题特点往往是先进行三角恒等变形,再利用三角函数的图象和性质解题,是高考的热点.
18.(本小题满分12分)
某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令表示走出迷宫所需的时间.
(1)求的分布列;(2)求
的数学期望.
【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识,考查了考生利用所学知识解决实际问题的能力.
【参考答案】(本小题满分12分)
解:(1)的所有可能取值为:1,3,4,6
,所以
的分布列为:
1 | 3 | 4 | 6 | |
(2)(小时)
【点评】求离散型随机变量分布列和期望时要注意两个问题:一是求出随机变量所有可能的值;二是求出取每一个值时的概率.求随机变量的分布列,关键是概率类型的确定与转化.概率题目特点是与实际生活密切相关,应立足基础知识和基本方法的复习,抓好变式训练,从不同角度,不同侧面对题目进行分析,查找思维的缺陷,提高分析问题和解决实际问题的能力.
19.(本小题满分12分)
设函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)若在
上的最大值为
,求
的值.
【命题意图】本题考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的最值问题,考查了学生分析问题、解决问题的能力.
【点评】导数是初等数学与高等数学的重要衔接点,是对函数图象和性质的总结和拓展,是研究函数的单调性、极值、最值、讨论函数图象变化趋势的重要工具,利用导数可以解决现实生活中的最优化问题,由于其应用广泛性,已成为高考命题的重点和热点。以函数为背景,以导数为工具命题趋势,已成为高考的热点问题.
20.(本小题满分12分)
如图,与
都是边长为2的正三角形,平面
平面
,
平面BCD,
.
(1)求点A到平面MBC的距离;
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.
【命题意图】本题主要考查了空间几何体的线面关系、点到面的距离的求解以及二面角大小计算等问题,考查了考生的空间想象能力以及计算能力.
【参考答案】(本小题满分12分)
解法一:(1)取CD中点O,连OB,OM,
则.
又平面MCD平面BCD,则MO
平面BCD,所以MO//AB,
MO//平面ABC.M,O到平面ABC的距离相等.
作OHBC于H,连MH,则MH
BC.
求得,
.
设点A到平面MBC的距离为
,由
得
.
即,解得
.
(1)设是平面MBC的法向量,则
.
由得
;由
得
.
取.
,则
.
(2).
设平面ACM的法向量为,由
得
解得
,取
.
又平面BCD的法向量为.所以
.
设所求二面角为
,则
.
【点评】空间几何问题通常包括点、线、面的位置关系的判断与证明以及点、线、面之间的角度或长度求解等问题,一般可以通过辅助线的构造,结合点、线、面的相应概念、性质、定理判断与求解.纵观近几年的高考试
题,立体几何的解答题在很大程度上扮演着直线与平面内容载体的角色,着重考查立体几何中的逻辑推理,多为中档题,通过这些题目考查考生掌握基础知识、逻辑推理能力、计算能力和空间想象能力.
21.(本小题满分12分)
设椭圆,抛物线
.
(1)若经过
的两个焦点,求
的离心率;(2)设
,又M、N为
与
不在
轴上的两个交点,若
得垂心为
,且
的重心在
上,求椭圆
和抛物
线
的方程.
【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程、、离心率、抛物线的标准方程及利用二者之间的位置关系,挖掘参数符合的条件等式,化简整理,从而求出方程.是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识分析推理直至解决问题的能力.
【参考答案】(本小题满分12分)
解:
(1)因为抛物线经过椭圆
的两个焦点
,
,可得
,由
,有
,所以椭圆
的离心率
.
(2)由题设可知M,N关于轴对称,设
,则由
的垂心为B,有
,所以
……①
由于点在
上,故有
……②
【点评】解决此类问题时既要利用圆锥曲线的概念、性质,又要结合图形,利用平面几何三角形的重心,垂心的性质.一般考虑通过尽量多地消去未知数,简化已知条件来解决问题.
22.(本小题满分14分)
证明以下命题:
(1)对任一正整数,都存在正整数
,使得
成等差数列;
(2)存在无穷多个互不相似的三角形,其边长
为正整数且
成等差数列.
【命题意图】本题考查了等差数列的性质,考查了考生灵活运用所学知识解决问题的能力.是一道值得推敲的好题.
【参考答案】(本小题满分14分)
证明:
(1)易知成等差数列,则
也成等差数列,所以对任一正整数
,都存在正整数
,使得
成等差数列.
(2)若成等差数列,则有
,
即 ……①
选取关于的一个多项式,例如
,使得它可按两种方式分解因式,由于
因此令,可得
易验证满足①,因此
成等差数列,
当时,有
且
因此以为边长可以构成三角形,
将此三角形记为
.
其次,任取正整数
,假若三角形
与
相似,则有:
据此例性质有:
所以,由此可得
,与假设
矛盾,即任两个三角形
与
互不相似,所以存在无穷多个互不相似的三角形
,其边长
为正整数且以
成等差数列.
【点评】求解有关数列的综合题,首先要善于从宏观上整体把握问题,能透过给定信息的表象,揭示问题的本质,然后在微观上要明确解题方向,化难为易,化繁为简,注意解题的严谨性.数列问题对能力要求较高,特别是运算能力、归纳、猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.而解答题更是考查能力的集中体现,尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查,应引起我们足够的重视,因此,在平时要加强对能力的培养.
(2
)
由得
,
,
所以,得
.
18.(本小题满分12分)
解:(1)的所有可能取值为:1,3,4,6
,所以
的分布列为:
1 | 3 | 4 | 6 | |
(2)(小时)
19.(本小题满分12分)
解:函数的定义域为
,
,
(1)当时,
,所以
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
(2)当时,
,即
在
上单调递增,故
在
上的最大值为
,因此
.
20.(本小题满分12分)
解法一:(1)取CD中点O,连OB,OM,
则.
又平面MCD平面BCD,则MO
平面BCD,所以MO//AB,
MO//平面ABC.M,O到平面ABC的距离相等.
作OHBC于H,连MH,则MH
BC.
求得,
.
设点A到平面MBC的距离为,由
得
.
即,解得
.
(2)延长AM、BO相交于E,连CE、DE,CE是平面ACM与平面BCD的交线.
由(1)知,O是BE的中点,则四边形BCED是棱形.
作于F,连AF,则
就是二面角
的平面角,设为
.
因为,所以
.
,
.
解法二:取CD中点O,连OB,OM,则.又平面
平面BCD,则
平面BCD.取O为原点,直线OC、BO、OM为
轴、
轴、
轴,建立空间直角坐标系如图.
,则各点坐标分别为
.
(1)设是平面MBC的法向量,则
.
由得
;由
得
.
取.
,则
.
(2).
设平面ACM的法向量为
,由
得
解得
,取
.
又平面BCD的法向量为.所以
.
设所求二面角为,则
.
由①②得,或
(舍去),
所以,故
,
所以的重心为
,
因重心在上得:
,所以
,
又因为M,N在上,所以
,得
.
所以椭圆的方程为:
,抛物线
的方程为:
.
22.(本小题满分14分)
证明:
(1)易知成等差数列,则
也成等差数列,所以对任一正整数
,都存在正整数
,使得
成等差数列.
(2)若成等差数列,则有
,
即 ……①
选取关于的一个多项式,例如
,使得它可按两种方式分解因式,由于
因此令,可得
易验证满足①,因此
成等差数列,
当时,有
且
因此以为边长可以构成三角形,将此三角形记为
.
其次,任取正整数,假若三角形
与
相似,则有: