2013年高考数学真题附解析(湖南卷+文科)
日期:2014-10-03 15:20

(单词翻译:单击)

一、选择题:本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ B ____

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【答案】B

【解析】 z = i·(1+i) = i – 1.所以对应点(-1,1).选B

2.“1<x<2”是“x<2”成立的___ A ____

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】 若“1<x<2”成立,则“x<2”成立,所以“1<x<2”是“x<2”的充分条件;

若“x<2” 成立,则“1<x<2”不一定成立, 所以“1<x<2”不是“x<2”的必要条件.

综上,“1<x<2”是“x<2”的充分不必要条件.

选A

3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___ D ____

A.9 B.10 C.12 D.13

【答案】D

【解析】

n = a + b + c=13.

选D

4.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于____ B ____

A.4 B.3 C.2 D.1

【答案】 B

【解析】 由题知f(-1)+g(1)= - f(1)+g(1)= 2,

f(1)+g(-1)= f(1)+ g(1)= 4.上式相加,解得g(1) = 3 .

选B

5.在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b. 若2sinB=b,则角A等于____ A ____

A. B. C. D.

【答案】 A

【解析】

选A

6.函数f(x)=㏑x的图像与函数g(x)=x2-4x+4的图像的交点个数为____ C ____

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】 C

【解析】 在同一坐标系中画出对数函数f(x)=㏑x的图像和二次函数g(x)=x2-4x+4的图像,观察可知交点个数为2个。

选C

7.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于____ D ____

A. B.1 C. D.

【答案】 D

【解析】 正方体的侧视图面积为选D

8.已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ____

A. B. C. D.

【答案】 C

【解析】 可以这样认为:在直角坐标系中,

选C

9.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=____ D ____

A. B. C. D.

【答案】 D

【解析】

选D

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

10.已知集合,则_____

【答案】

【解析】 .

11.在平面直角坐标系xOy中,若直线(s为参数)和直线(t为参数)平行,则常数a的值为___4___

【答案】 4

【解析】 .

12.执行如图1所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为____9___

【答案】 4

【解析】 a = a + b + b + b…… = 1+2+2+2+2=9.

13.若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为___6___

【答案】 6

【解析】

14.设F1,F2是双曲线C, (a>0,b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P。使

PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为___________.

【答案】

【解析】

15.对于E={a1,a2,….a100}的子集X={a1,a2,…,an},定义X的“特征数列”

为x1,x2…,x100,其中x1=x10=…xn=1.其余项均为0,例如子集{a2,a3}的

“特征数列”为0,1,0,0,…,0

(1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于_____2________;

(2) 若E的子集P的“特征数列”P1,P2,…,P100 满足P1+Pi+1=1, 1≤i≤99;

E 的子集Q的“特征数列” q1,q2,q100 满足q1=1,q1+qj+1+qj+2=1,

1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为___17______.

【答案】 (1) 2 (2)

【解析】 (1) 由题知,特征数列为:1,0,1,0,1,0,0,0……0.所以前3项和 = 2。

(2) P的“特征数列”:1,0,1,0 … 1,0. 所以P = .

Q的“特征数列”:1,0,0,1,0,0 …1,0,0,1. 所以Q = .

所以, ,共有17个元素。


三、解答题;本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=

(1) 求的值;

(2) 求使 成立的x的取值集合

【答案】 (1) (2)

【解析】 (1)

(3) 由(1)知,

17.(本小题满分12分)


如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动。

(I) 证明:AD⊥C1E;

(II)当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,

求三菱子C1-A2B1E的体积

【答案】 (Ⅰ) 见下 (Ⅱ)

【解析】 (Ⅰ) .

.

(证毕)

(Ⅱ).

.

18.(本小题满分12分)

某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量(单位:kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示:

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。

(Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.

【答案】 (Ⅰ) 46 (Ⅱ)0.4

【解析】 (Ⅰ) 由图知,三角形中共有15个格点,

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4)。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,)。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1)。如下表所示:

Y

51

48

45

42

频数

2

4

6

3

平均年收获量.

(Ⅱ)在15株中,年收获量至少为48kg的作物共有2+4=6个.

所以,15株中任选一个,它的年收获量至少为48k的概率P=.

19.(本小题满分13分)

为数列{}的前项和,已知,2N

(Ⅰ)求,并求数列{}的通项公式;

(Ⅱ)求数列{}的前项和。

【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】 (Ⅰ)

-

(Ⅱ)

上式左右错位相减:

20.(本小题满分13分)

已知分别是椭圆的左、右焦点关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。

(Ⅰ)求圆的方程;

(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为。当最大时,求直线的方程。

【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】 (Ⅰ) 先求圆C关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D的直径为直线对称.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.

圆C:到直线的距离

.

由椭圆的焦半径公式得:

.

所以当

21.(本小题满分13分

已知函数f(x)=.

(Ⅰ)求f(x)的单调区间;

(Ⅱ)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.

【答案】 (Ⅰ).

(Ⅱ)见下。

【解析】 (Ⅰ)

.

所以,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x) < f(-x)即可。

(证毕)


答案:

1.B 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D 8.C 9.D

10.{6,8} 11.4 12.9 13.6

14. 15.(1)2 (2)17

16.

17.

18.

19.

20.

21.

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