2013年高考数学真题附解析(江西卷+文科)
日期:2014-10-02 11:22

(单词翻译:单击)

第Ⅰ卷

选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

[答案]:D

[解析]:Z=-2i-i2 =1-2i 对应点这(1,-2)在第四象限

2.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=

A.4 B.2 C.0 D.0或4

[答案]:A

[解析]:

3. ( )

A. B. C. D.

[答案]:C

[解析]:

4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是

A B.C. D.

[答案]:C

[解析]:所有情形有六种,满足要求的只有(2,2)和(3,1)故只能选C

5.总体编号为01,02,…19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为

A.08 B.07 C.02 D.01

[答案]:D

[解析]:从第5列和第6列选出的两位数依次为65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08,02,14,07,01,选D

6. 下列选项中,使不等式x<成立的x的取值范围是( )

A.(,-1) B. (-1,0) C.0,1) D.(1,+

[答案]:A

[解析]:令x=-2,不等式成立,只能选A。

7.阅读如下程序框图,如果输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是

A.S<8 B. S<9

C. S<10 D. S<11

[答案]:B

[解析]:依次运行i=1,2,3,4,时s=0,5,8,9若输出i=4,则表示s=8时运行是,s=9运行否,故选B

8.一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为

A.200+9π

B. 200+18π

C. 140+9π

D. 140+18π

[答案]:A

[解析]:还原后的直观图是一个长宽高依次为10,6 ,5的长方体上面是半径为3高为2的半个圆柱。

9. 已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=

A.2: B.1:2 C. 1: D. 1:3


[答案]:C

[解析]:依题意可得AF所在直线方程为代入x2=4y得,又|FM|:|MN|=(1-y):(1+y)=1:

10.如图。已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀

速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cosx,则y与时间t(0≤x≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为

[答案]:B

[解析]:法1:取特值x=0时t=0,则y=1排除A,D,取,选B

法2:依题意可知,则选B

第Ⅱ卷

二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。

11.若曲线(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= 。

[答案]:2

[解析]:,则,故切线方程过点(1,2)解得

12.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于 。

[答案]:6

[解析]:直接计算2+4+8+16+32+64=128得n=6, 或解得n为6.

13设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是 。

[答案]:

[解析]:

14.若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是 。

[答案]:

[解析]:设圆心坐标为(x,y),半径为r,则x=2,又故r=,则

15.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 。

[答案]:4

[解析]:设CD的中点为M,连结EM,FM易证平面EFM平面α,则EF与平面α平行,不会相交,故EF只与其余四个面相交。


三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分12分) 正项数列{an}满足

求数列{an}的通项公式an;

,求数列{bn}的前n项和Tn。

[解析]:

由于{an}是正项数列,则

(2)由(1)知,故

17.(本小题满分12分)

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.

求证:a,b,c成等差数列;

若C=,求的值。

[解析]:(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin2B因为sinB不为0,所以sinA+sinC=2sinB再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c成等差数列

(2)由余弦定理知化简得

18.(本小题满分12分)

小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋

写出数量积X的所有可能取值

分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率

解:(1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1。

(2)数量积为-2的只有一种

数量积为-1的有六种

数量积为0的有四种

数量积为1的有四种

故所有可能的情况共有15种。

所以小波去下棋的概率为

因为去唱歌的概率为,所以小波不去唱歌的概率


19.(本小题满分12分)

如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3


证明:BE⊥平面BB1C1C;

求点B1 到平面EA1C1 的距离

解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则

,故

(2)

同理,

因此。设点B1到平面的距离为d,则

,从而


20.(本小题满分13分)

椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3。求椭圆C的方程;

如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值。

所以再由a+b=3得a=2,b=1,

将①代入,解得

又直线AD的方程为

①与②联立解得

三点共线可角得

所以MN的分斜率为m=,则(定值)

21.(本小题满分14分)

设函数 a 为 常数且a∈(0,1).

当a=时,求f(f());

若x0满足f(f(x0))= x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点,证明函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;

对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[,]上的最大值和最小值。

21.解:(1)当时,

时,由解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;

时由解得

是f(x)的二阶周期点;

时,由解得

不是f(x)的二阶周期点;

时,解得

是f(x)的二阶周期点。

因此,函数有且仅有两个二阶周期点,

(3)由(2)得

因为a在[,]内,故,则

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