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第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 设 是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a 为
(A)2(B) 2 (C) (D)
(1)A【命题意图】本题考查复数的基本运算,属简单题.
【解析】设,则,所以.故选A.
(2) 双曲线的实轴长是
(A)2 (B) (C) 4 (D) 4
(2)C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的性质.属容易题.
【解析】可变形为,则,,.故选C.
(3) 设是定义在上的奇函数,当时,,则
(A) (B) (C)1 (D)3
(3)A【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查函数值的求法.属容易题.
【解析】.故选A.
(4)设变量满足则的最大值和最小值分别为
(A)1,-1 (B)2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1
(4)B【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题.
【解析】不等式对应的区域如图所示,
当目标函数过点(0,-1),(0,1)时,分别取最小或最大值,所以的最大值和最小值分别为2,-2.故选B.
(5) 在极坐标系中,点 到圆 的圆心的距离为
(A)2(B) (C) (D)
(5)D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化,考查两点间距离.
【解析】极坐标化为直角坐标为,即.圆的极坐标方程可化为,化为直角坐标方程为,即,所以圆心坐标为(1,0),则由两点间距离公式.故选D.
(6)一个空间几何体得三视图如图所示,则该几何体的表面积为
第(8)题图
(A) 48 (B)32+8 (C) 48+8(D) 80
(6)C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.
【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2,下底为4,高为4,两底面积和为,四个侧面的面积为,所以几何体的表面积为.故选C.
(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是
(A)所有不能被2整除的数都是偶数
(B)所有能被2整除的数都不是偶数
(C)存在一个不能被2整除的数是偶数
(D)存在一个能被2整除的数不是偶数
(7)D【命题意图】本题考查全称命题的否定.属容易题.
【解析】把全称量词改为存在量词,并把结果否定.
(8)设集合则满足且的集合的个数为
(A)57 (B)56 (C)49 (D)8
(8)B【命题意图】本题考查集合间的基本关系,考查集合的基本运算,考查子集问题,考查组合知识.属中等难度题.
【解析】集合A的所有子集共有个,其中不含4,5,6,7的子集有个,所以集合共有56个.故选B.
(9)已知函数,其中为实数,若对恒成立,且,则的单调递增区间是
(A) (B)
(C) (D)
(9)C【命题意图】本题考查正弦函数的有界性,考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.
【解析】若对恒成立,则,所以,.由,(),可知,即,所以,代入,得,由,得,故选C.
(10) 函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则m,n的值可能是
(A) (B)
(C) (D)
(10)B【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用,考查函数图像,考查思维的综合能力.难度大.
【解析】代入验证,当,,则,由可知,,结合图像可知函数应在递增,在递减,即在取得最大值,由,知a存在.故选B.
第II卷(非选择题 共100分)
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
(11)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是__________.
(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别,考查等差数列前n项和.
【解析】由算法框图可知,若T=105,则K=14,继续执行循环体,这时k=15,T>105,所以输出的k值为15.
(12)设,则__________.
(12)0【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.
【解析】,,所以.
(13)已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且,,则a与b的夹角为__________.
(13)60°【命题意图】本题考查向量的数量积,考查向量夹角的求法.属中等难度的题.
【解析】,则,即,,所以,所以.
(14)已知 的一个内角为120o,并且三边长构成公差为4的等差数列,则的面积为_______________
(14)【命题意图】本题考查等差数列的概念,考查余弦定理的应用,考查利用公式求三角形面积.
【解析】设三角形的三边长分别为,最大角为,由余弦定理得,则,所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为.
(15)在平面直角坐标系中,如果与都是整数,就称点为整点,下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果与都是无理数,则直线不经过任何整点
③直线经过无穷多个整点,当且仅当经过两个不同的整点
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是:与都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
(15)①③⑤【命题意图】本题考查直线方程,考查逻辑推理能力.难度较大.
【解析】令满足①,故①正确;若,过整点(-1,0),所以②错误;设是过原点的直线,若此直线过两个整点,则有,,两式相减得,则点也在直线上,通过这种方法可以得到直线经过无穷多个整点,通过上下平移得对于也成立,所以③正确;与都是有理数,直线不一定经过整点,④错误;直线恰过一个整点,⑤正确.
三.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.
(16)(本小题满分12分)
设,其中为正实数
(Ⅰ)当时,求的极值点;
(Ⅱ)若为上的单调函数,求的取值范围。
(17)(本小题满分12分)
如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,,△,△,△都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线∥;
(2)求棱锥F—OBED的体积.
(18)(本小题满分13分)
在数1和100之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,再令.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设求数列的前项和.
(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)设证明
,
(Ⅱ),证明
.
(20)(本小题满分13分)
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别,假设互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(Ⅰ)如果按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?
(Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为,其中是的一个排列,求所需派出人员数目的分布列和均值(数字期望);
(Ⅲ)假定,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数字期望)达到最小。
(21)(本小题满分13分)
设,点的坐标为(1,1),点在抛物线上运动,点满足,经过点与轴垂直的直线交抛物线于点,点满足,求点的轨迹方程。