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第I卷(选择题 共50分)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)i是虚数单位,若,则乘积的值是
(A)-15 (B)-3 (C)3 (D)15
[解析] ,∴,选B。
(2)若集合则A∩B是
(A) (B) (C) (D)
[解析]集合,∴选D
(3)下列曲线中离心率为的是
(A) (B) (C) (D)
[解析]由得,选B
(4)下列选项中,p是q的必要不充分条件的是
(A)p:>b+d , q:>b且c>d (B)p:a>1,b>1 q:的图像不过第二象限(C)p: x=1, q:(D)p:a>1, q: 在上为增函数
[解析]:由>b且c>d>b+d,而由>b+d >b且c>d,可举反例。选A
(5)已知为等差数列,++=105,=99,以表示的前项和,则使得达到最大值的是
(A)21 (B)20 (C)19 (D) 18
[解析]:由++=105得即,由=99得即 ,∴,,由得,选B
(6)设<b,函数的图像可能是
[解析]:,由得,∴当时,取极大值0,当时取极小值且极小值为负。故选C。或当时,当时,选C
(7)若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则的值是
(A) (B) (C) (D)
[解析]:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由得A(1,1),又B(0,4),C(0,)
∴△ABC=,设与的
交点为D,则由知,∴
∴选A。
(8)已知函数,的图像与直线的两个相邻交点的距离等于,则的单调递增区间是
(A) (B)(C) (D)
[解析]:,由题设的周期为,∴,
由得,,故选C
(9)已知函数在R上满足,则曲线在点处的切线方程是
(A) (B) (C) (D)
[解析]:由得,
即,∴∴,
∴切线方程为
,即选A
(10)考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
(A) (B) (C) (D)
[解析] 如图,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,共有种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有
共12对,所以所求概率为,选D
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
考生注意事项: 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置。
(11)若随机变量,则=________.
[解析]
(12)以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为,它与曲线(为参数)相交于两点A和B,则|AB|=_______.
[解析] 直线的普通方程为,曲线的普通方程
∴
(13) 程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是_______.
[解析] 由程序框图知,循环体被执行后的值依次为3、7、15、31、
63、127,故输出的结果是127。
(14)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.
[解析]设
,即
∴
(15)对于四面体ABCD,下列命题正确的是_________
(写出所有正确命题的编号)。
1相对棱AB与CD所在的直线异面;
2由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的三条高线的交点;
3若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线异面;
4分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;
5最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。
[解析]①④⑤
三.解答题;本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内.
(16)在ABC中,, sinB=.
(I)求sinA的值;
(II)设AC=,求ABC的面积.
本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。本小题满分12分
解:(Ⅰ)由,且,∴,∴,
∴,又,∴
(Ⅱ)如图,由正弦定理得
∴,又
∴
(17)(本小题满分12分)
某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值(即数学期望).
本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。
解:随机变量X的分布列是
X | 1 | 2 | 3 |
P |
X的均值为
附:X的分布列的一种求法
共有如下6种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是:
① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ |
A—B—C—D | A—B—C └D | A—B—C └D | A—B—D └C | A—C—D └B |
在情形①和②之下,A直接感染了一个人;在情形③、④、⑤之下,A直接感染了两个人;在情形⑥之下,A直接感染了三个人。
(18)(本小题满分13分)
如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.
(I)求二面角B-AF-D的大小;
(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.
本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识,考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。
解:(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OGAF,
G为垂足。连接BG、DG。由BDAC,BDCF得BD平面ACF,故BDAF。
于是AF平面BGD,所以BGAF,DGAF,BGD为二面角B-AF-D 的平面角。
由, ,得,
由,得
(向量法)以A为坐标原点,、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)
设平面ABF的法向量,则由得
令,得,
同理,可求得平面ADF的法向量。
由知,平面ABF与平面ADF垂直,
二面角B-AF-D的大小等于。
(II)连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。
过H作HP⊥平面ABCD,P为垂足。
因为EA⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,,所以平面ACFE⊥平面ABCD,从而
由得。
又因为
故四棱锥H-ABCD的体积
(19)(本小题满分12分)
已知函数,讨论的单调性.
本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。
解:的定义域是(0,+),
设,二次方程的判别式.
① 当,即时,对一切都有,此时在上是增函数。
② 当,即时,仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。
③ 当,即时,
方程有两个不同的实根,,.
+ | 0 | _ | 0 | + | |
单调递增 | 极大 | 单调递减 | 极小 | 单调递增 |
此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.
(20)(本小题满分13分)
点在椭圆上,直线与直线垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,直线的倾斜角为.
(I)证明: 点是椭圆与直线的唯一交点;
(II)证明:构成等比数列.
解:本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。
解:(I)(方法一)由得代入椭圆,
得.
将代入上式,得从而
因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.
(方法二)显然P是椭圆与的交点,若Q是椭圆与的交点,代入的方程,得
即故P与Q重合。
(方法三)在第一象限内,由可得
椭圆在点P处的切线斜率
切线方程为即。
因此,就是椭圆在点P处的切线。
根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线的唯一交点。
(II)的斜率为的斜率为
由此得构成等比数列。
(21)(本小题满分13分)
首项为正数的数列满足
(I)证明:若为奇数,则对一切都是奇数;
(II)若对一切都有,求的取值范围.
解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。
解:(I)已知是奇数,假设是奇数,其中为正整数,
则由递推关系得是奇数。
根据数学归纳法,对任何,都是奇数。
(II)(方法一)由知,当且仅当或。
另一方面,若则;若,则
根据数学归纳法,
综合所述,对一切都有的充要条件是或。
(方法二)由得于是或。
因为所以所有的均大于0,因此与同号。
根据数学归纳法,,与同号。
因此,对一切都有的充要条件是或。