一、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）（2013•常德）﹣4的相反数为　4　．

考点： 相反数．

分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0即可求解．

解答： 解：﹣4的相反数是4．

故答案为：4．

点评： 此题主要考查相反数的意义，较简单．

2．（3分）（2013•常德）打开百度搜索栏，输入“数学学习法”，百度为你找到的相关信息有12000000条，请用科学记数法表示12000000=　1.2×107　．

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：将12000000用科学记数法表示为1.2×107．

故答案为：1.2×107．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）（2013•大连）因式分解：x2+x=　x（x+1）　．

考点： 因式分解-提公因式法．

分析： 根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．

解答： 解：x2+x=x（x+1）．

点评： 本题考查了提公因式法分解因式，通过观察可直接得出公因式，结合观察法是解此类题目的常用的方法．

4．（3分）（2013•常德）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别相交于点E、F．若∠1=30°，则∠2=　30°　．

考点： 平行线的性质．

分析： 根据两直线平行，同位角相等解答．

解答： 解：∵a∥b，∠1=30°，

∴∠2=∠1=30°．

故答案为：30°．

点评： 本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．

5．（3分）（2013•常德）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：　y=﹣　．

考点： 反比例函数的性质．

专题： 开放型．

分析： 根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．

解答： 解：∵图象在第二、四象限，

∴y=﹣，

故答案为：y=﹣．

点评： 此题主要考查了反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．

6．（3分）（2013•常德）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=　50°　．

考点： 圆周角定理．

分析： 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠BOC=2∠BAC，进而可得答案．

解答： 解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，

∴∠BAC=∠BOC=×100°=50°．

故答案为：50°．

点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．

7．（3分）（2013•常德）分式方程=的解为　x=2　．

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答： 解：去分母得：3x=x+2，

解得：x=2，

经检验x=2是分式方程的解．

故答案为：x=2

点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

8．（3分）（2013•常德）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：

3﹣2=1

8+7﹣6﹣5=4

15+14+13﹣12﹣11﹣10=9

24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16

…

根据以上规律可知第100行左起第一个数是　10200　．

考点： 规律型：数字的变化类．

分析： 根据3，8，15，24的变化规律得出第100行左起第一个数为1012﹣1求出即可．

解答： 解：∵3=22﹣1，

8=32﹣1，

15=42﹣1，

24=52﹣1，

…

∴第100行左起第一个数是：1012﹣1=10200．

故答案为：10200．

点评： 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字的变与不变是解题关键．

二、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

9．（3分）（2013•常德）在图中，既是中心对称图形有是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

考点： 中心对称图形；轴对称图形．

分析： 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．

解答： 解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；

C、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项正确；

D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．

故选B．

点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．

10．（3分）（2013•常德）函数y=中自变量x的取值范围是（　　）

A． x≥﹣3 B． x≥3 C． x≥0且x≠1 D． x≥﹣3且x≠1

考点： 函数自变量的取值范围

分析： 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

解答： 解：根据题意得，x+3≥0且x﹣1≠0，

解得x≥﹣3且x≠1．

故选D．

点评： 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

11．（3分）（2013•常德）小伟5次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为：16、18、20、18、18，对此成绩描述错误的是（　　）

A． 平均数为18 B． 众数为18 C． 方差为0 D． 极差为4

考点： 方差；加权平均数；众数；极差．

分析： 根据方差、平均数、众数和极差的定义分别进行计算即可得出答案．

解答： 解：16、18、20、18、18的平均数是（16+18=20+18+18）÷5=18；

18出现了三次，出现的次数最多，则众数为18；

方差=[（16﹣18）2+（18﹣18）2+（20﹣18）2+（18﹣18）2+（18﹣18）2]=；

极差为：20﹣16=4；

故选C．

点评： 此题考查了方差、平均数、众数和极差，掌握方差、平均数、众数和极差的定义是解题关键，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．

12．（3分）（2013•常德）下面计算正确的是（　　）

A． x3÷x3=0 B． x3﹣x2=x C． x2•x3=x6 D． x3÷x2=x

考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．

分析： 分别利用合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方法则分的判断得出即可．

解答： 解：A、x3÷x3=1，故此选项错误；

B、x3﹣x2无法计算，故此选项错误；

C、x2•x3=x5，故此选项错误；

D、x3÷x2=x，故此选项正确．

故选：D．

点评： 本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方，解题的关键是掌握相关运算的法则．

13．（3分）（2013•常德）下列一元二次方程中无实数解的方程是（　　）

A． x2+2x+1=0 B． x2+1=0 C． x2=2x﹣1 D． x2﹣4x﹣5=0

考点： 根的判别式．

专题： 计算题．

分析： 找出各项方程中a，b及c的值，进而计算出根的判别式的值，找出根的判别式的值小于0时的方程即可．

解答： 解：A、这里a=1，b=2，c=1，

∵△=4﹣4=0，

∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；

B、这里a=1，b=0，c=1，

∵△=﹣4＜0，

∴方程没有实数根，本选项符合题意；

C、这里a=1，b=﹣2，c=1，

∵△=4﹣4=0，

∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；

D、这里a=1，b=﹣4，c=﹣5，

∵△=16+20=36＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意，

故选B

点评： 此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．

14．（3分）（2013•常德）计算+的结果为（　　）

A． ﹣1 B． 1 C． 4﹣3 D． 7

考点： 实数的运算．

专题： 计算题．

分析： 先算乘法，再算加法即可．

解答： 解：原式=+

=4﹣3

=1．

故选B．

点评： 本题考查的是实数的运算，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．

15．（3分）（2013•常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（　　）

A． B． 3 C． 1 D．

考点： 翻折变换（折叠问题）

分析： 首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可．

解答： 解：∵AB=3，AD=4，

∴DC=3，

∴AC==5，

根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，

∴D′C=DC=3，DE=D′E，

设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，

在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，

22+x2=（4﹣x）2，

解得：x=，

故选：A．

点评： 此题主要考查了图形的翻着变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

16．（3分）（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（　　）

A． B． C． D．

考点： 菱形的性质；勾股定理；直角梯形．

分析： 先找出每个图形的“直径”，再根据所学的定理求出其长度，最后进行比较即可．

解答： 解：

连接BC，则BC为这个几何图形的直径，过O作OM⊥BC于M

∵OB=OC，

∴∠BOM=∠BOC=60°，

∴∠OBM=30°，

∵OB=2，OM⊥BC，

∴OM=OB=1，由勾股定理得：BM=，

∴由垂径定理得：BC=2；

连接AC、BD，则BD为这个图形的直径，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，

∵∠ABC=60°，

∴∠ABO=30°，

∴AO=AB=1，由勾股定理得：BO=，

∴BD=2BO=2；

连接BD，则BD为这个图形的直径，

由勾股定理得：BD==2；

连接BD，则BD为这个图形的直径，

由勾股定理得：BD==，

∵2＞＞2，

∴选项A、B、D错误，选项C正确；

故选C．

点评： 本题考查了菱形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，扇形性质等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力．

三、解答题（本大题共2小题，每小题5分，满分10分）

17．（5分）（2013•常德）计算；（π﹣2）0++（﹣1）2013﹣（）﹣2．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

分析： 分别进行零指数幂、负整数指数幂及二次根式的化简，然后合并可得出答案．

解答： 解：原式=1+2﹣1﹣4=﹣2．

点评： 本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂的运算，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．

18．（5分）（2013•常德）求不等式组的正整数解．

考点： 一元一次不等式组的整数解．

分析： 先求出不等式组的解集，再从不等式组的解集中找出适合条件的正整数即可．

解答： 解：解不等式2x+1＞0，得：x＞﹣，

解不等式x＞2x﹣5得：x＜5，

∴不等式组的解集为﹣＜x＜5，

∵x是正整数，

∴x=1、2、3、4、5．

点评： 此题主要考查了求不等式组的正整数解，正确解不等式组，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质，同学们要注意在不等式两边同时除以同一个负数时，不等号一定要改变．

四、解答题（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）

19．（6分）（2013•常德）先化简再求值：（+）÷，其中a=5，b=2．

考点： 分式的化简求值．

专题： 计算题．

分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．

解答： 解：原式=[+]•

=•

=•

=，

当a=5，b=2时，原式=．

点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．

20．（6分）（2013•常德）某书店参加某校读书活动，并为每班准备了A，B两套名著，赠予各班甲、乙两名优秀读者，以资鼓励．某班决定采用游戏方式发放，其规则如下：将三张除了数字2，5，6不同外其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲获A名著；若牌面数字之和为奇数，则乙获得A名著，你认为此规则合理吗？为什么？

考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．

分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为奇数与偶数情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答： 解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，两数之和是偶数的有2种情况；

∴甲获胜的概率为：=；

∴P（甲获胜）=，

∴P（甲）≠P（乙），

∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．

点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

五、解答题（本大题共2小题，每小题7分，满分14分）

21．（7分）（2013•常德）某地为改善生态环境，积极开展植树造林，甲、乙两人从近几年的统计数据中有如下发现：

（1）求y2与x之间的函数关系式？

（2）若上述关系不变，试计算哪一年该地公益林面积可达防护林面积的2倍？这时该地公益林的面积为多少万亩？

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）设y2与x之间的函数关系式为y2=kx+b，由待定系数法直接求出其解析式即可；

（2）由条件可以得出y1=y2建立方程求出其x的值即可，然后代入y1的解析式就可以求出结论．

解答： 解：设y2与x之间的函数关系式为y2=kx+b，由题意，得

，

解得：，

故y2与x之间的函数关系式为y2=15x﹣25950；

（2）由题意当y1=2y2时，

5x﹣1250=2（15x﹣25950），

解得：x=2026．

故y1=5×2026﹣1250=8880．

答：在2026年公益林面积可达防护林面积的2倍，这时该地公益林的面积为8880万亩．

点评： 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据条件求出函数的解析式是关键．

22．（7分）（2013•常德）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．

（1）求BC的长；

（2）求tan∠DAE的值．

考点： 解直角三角形．

分析： （1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，然后根据BC=BD+DC即可求解；

（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°．

在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，

∴DC=AD=1．

在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，

∴AB==3，

∴BD==2，

∴BC=BD+DC=2+1；

（2）∵AE是BC边上的中线，

∴CE=BC=+，

∴DE=CE﹣CD=﹣，

∴tan∠DAE==﹣．

点评： 本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键．

六、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

23．（8分）（2013•常德）网络购物发展十分迅速，某企业有4000名职工，从中随机抽取350人，按年龄分布和对网上购物所持态度情况进行了调查，并将调查结果绘成了条形图1和扇形图2．

（1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？

（2）如果把对网络购物所持态度中的“经常（购物）”和“偶尔（购物）”统称为“参与购物”，那么这次接受调查的职工中“参与网购”的人数是多少？

（3）这次调查中，“25﹣35”岁年龄段的职工“从不（网购）”的有22人，它占“25﹣35”岁年龄段接受调查人数的百分之几？

（4）请估计该企业“从不（网购）”的人数是多少？

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

专题： 计算题．

分析： （1）根据样本的容量为350，得到中位数应为第175与第176两个年龄的平均数，根据条形统计图即可得到中位数所在的年龄区间；

（2）找出“经常（购物）”和“偶尔（购物）”共占的百分比，乘以350即可得到结果；

（3）“25﹣35”岁年龄段的职工“从不（网购）”的人数除以350，即可得到结果；

（4）由扇形统计图求出“从不（网购）”所占的百分比，乘以4000即可得到结果．

解答： 解：（1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是25﹣35之间；

（2）“经常（购物）”和“偶尔（购物）”共占的百分比为40%+22%=62%，

则这次接受调查的职工中“参与网购”的人数是350×62%=217（人）；

（3）根据题意得：

“从不（网购）”的占“25﹣35”岁年龄段接受调查人数的百分比为×100%=20%；

（4）根据题意得：4000×（1﹣40%﹣22%）=1520（人），

则该企业“从不（网购）”的人数是1520人．

点评： 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

24．（8分）（2013•常德）如图，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆，∠ADE=90°，延长ED到C使DC=AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE交AC于点H．求证：

（1）AC是⊙O的切线．

（2）HC=2AH．

考点： 切线的判定；等腰直角三角形；正方形的性质．

专题： 证明题．

分析： （1）根据圆周角定理由∠ADE=90°得AE为⊙O的直径，再根据等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根据正方形得到∠DAC=45°，则∠EAC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，则AH：CH=AB：ED，根据等腰直角三角形和正方形的性质易得EC=2AB，则AH：CH=1：2．

解答： 证明：（1）∵∠ADE=90°，

∴AE为⊙O的直径，

∵△ADE为等腰直角三角形，

∴∠EAD=45°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠DAC=45°，

∴∠EAC=45°+45°=90°，

∴AC⊥AE，

∴AC是⊙O的切线；

（2）∵四边形ABCD为正方形，

∴AB∥CD，

∴△ABH∽△CEH，

∴AH：CH=AB：ED，

∵△ADE为等腰直角三角形，

∴AD=ED，

而AD=AB=DC，

∴EC=2AB，

∴AH：CH=1：2，

即HC=2AH．

点评： 本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及三角形相似的判定与性质．

七、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

25．（10分）（2013•常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（，），对称轴为直线x=﹣，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；

（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得CD=EF．这样四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形；

（3）根据已知条件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以证明矩形PMON是正方形．这样点P就是抛物线y=x2+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P的坐标．符合题意的点P有四个，在四个坐标象限内各一个．

解答： （1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+）2+k，

∵点A（0，﹣3），B（，）在抛物线上，

∴，

解得：a=1，k=．

∴抛物线的解析式为：y=（x+）2=x2+x﹣3．

（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FC．

∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，

∴四边形PMON为矩形，

∴PM=ON，PN=OM．

∵PC=MP，OE=ON，

∴PC=OE；

∵MD=OM，NF=NP，

∴MD=NF，

∴PF=OD．

在△PCF与△OED中，

∴△PCF≌△OED（SAS），

∴CF=DE．

同理可证：△CDM≌△FEN，

∴CD=EF．

∵CF=DE，CD=EF，

∴四边形CDEF是平行四边形．

（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形．

设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC=m，MD=n，PF=n．

若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，

∴，即，化简得：m2=n2，

∴m=n，即矩形PMON为正方形．

∴点P为抛物线y=x2+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点．

联立，

解得，，

∴P1（，），P2（﹣，﹣）；

联立，

解得，，

∴P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．

∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（，），P2（﹣，﹣），P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．

点评： 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、相似三角形、解方程、矩形、正方形等知识点，所涉及的考点较多，但难度均匀，是一道好题．第（2）问的要点是全等三角形的证明，第（3）问的要点是判定四边形PMON必须是正方形，然后列方程组求解．

26．（10分）（2013•常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；

（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

考点： 三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

分析： （1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；

证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，

（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；

解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；

（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；

证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．

解答： （1）证法一：

如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，

∴点B为线段AD的中点，

又∵点M为线段AF的中点，

∴BM为△ADF的中位线，

∴BM∥CF．

证法二：

如答图1b，延长BM交EF于D，

∵∠ABC=∠CEF=90°，

∴AB⊥CE，EF⊥CE，

∴AB∥EF，

∴∠BAM=∠DFM，

∵M是AF的中点，

∴AM=MF，

∵在△ABM和△FDM中，

，

∴△ABM≌△FDM（ASA），

∴AB=DF，

∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，

∴BE=DE，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠EBM=45°，

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，

∴∠EBM=∠ECF，

∴MB∥CF；

（2）解法一：

如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，

∴BM=DF．

分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，

∴ME=AG．

∵CG=CF=a，CA=CD=a，

∴AG=DF=a，

∴BM=ME=×a=a．

解法二：

∵CB=a，CE=2a，

∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，

∵△ABM≌△FDM，

∴BM=DM，

又∵△BED是等腰直角三角形，

∴△BEM是等腰直角三角形，

∴BM=ME=BE=a；

（3）证法一：

如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．

延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．

在△ACG与△DCF中，

，

∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．

证法二：

如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，

∵∠BCE=45°，

∴∠ACD=45°×2+45°=135°

∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，

∴AB∥CF，

∴∠BAM=∠DFM，

∴M是AF的中点，

∴AM=FM，

在△ABM和△FDM中，，

∴△ABM≌△FDM（ASA），

∴AB=DF，BM=DM，

∴AB=BC=DF，

∵在△BCE和△DFE中，

，

∴△BCE≌△DFE（SAS），

∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，

∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，

∴△BDE是等腰直角三角形，

又∵BM=DM，

∴BM=ME=BD，

故BM=ME．

点评： 本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．