一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）每小题只有一个正确选项。

1．（3分）（2013•江西）﹣1的倒数是（　　）

A． 1 B． ﹣1 C． ±1 D． 0

考点： 倒数．

分析： 根据倒数的定义，得出﹣1×（﹣1）=1，即可得出答案．

解答： 解：∵﹣1×（﹣1）=1，

∴﹣1的倒数是﹣1．

故选：B．

点评： 此题主要考查了倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．（3分）（2013•江西）下列计算正确的是（　　）

A． a3+a2=a5 B． （3a﹣b）2=9a2﹣b2 C． （﹣ab3）2=a2b6 D． a6b÷a2=a3b

考点： 完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；整式的除法．

分析： 根据同类项的定义，完全平方公式，幂的乘方以及单项式的除法法则即可判断．

解答： 解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；

B、（3a﹣b）2=9a2﹣6ab+b2，故选项错误；

C、正确；

D、a6b÷a2=a4b，选项错误．

故选C．

点评： 本题考查了幂的运算法则以及完全平方公式，理解公式的结构是关键．

3．（3分）（2013•江西）某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人．下面所列的方程组正确的是（　　）

A． B． C． D．

考点： 由实际问题抽象出二元一次方程组．

分析： 设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，根据共34人进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，即可得出方程组．

解答： 解：设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，

由题意得：．

故选B．

点评： 本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，难度一般，关键是读懂题意设出未知数找出等量关系．

4．（3分）（2013•江西）下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：

则这组数据的中位数和众数分别是（　　）

A． 164和163 B． 105和163 C． 105和164 D． 163和164

考点： 众数；中位数．

分析： 根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．可以直接算出答案．

解答： 解：把数据从小到大排列：45，163，163，165，227，342，位置处于中间的数是163和165，故中位数是（163+165）÷2=164，

163出现了两次，故众数是163；

故答案为：A．

点评： 此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的定义．

5．（3分）（2013•江西）某机构对30万人的调查显示，沉迷于手机上网的初中生大约占7%，则这部分沉迷于手机上网的初中生人数，可用科学记数法表示为（　　）

A． 2.1×105 B． 21×103 C． 0.21×105 D． 2.1×104

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：将30万×7%=21000用科学记数法表示为：2.1×104．

故选：D．

点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

6．（3分）（2013•江西）如图，直线y=x+a﹣2与双曲线y=交于A、B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为（　　）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 5

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： 当直线y=x+a﹣2经过原点时，线段AB的长度取最小值，依此可得关于a的方程，解方程即可求得a的值．

解答： 解：∵要使线段AB的长度取最小值，则直线y=x+a﹣2经过原点，

∴a﹣2=0，

解得a=2．

故选C．

点评： 考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题的关键是理解当直线y=x+a﹣2经过原点时，线段AB的长度取最小值．

7．（3分）（2013•江西）一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则它的左视图可以是（　　）

A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

解答： 解：从几何体的左边看可得．

故选：C．

点评： 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

8．（3分）（2013•江西）将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）

A． B． C． D．

考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

分析： 求出两个不等式的解集，然后表示在数轴上即可．

解答： 解：，

解不等式①得，x≥﹣1，

解不等式②得，x＜3，

在数轴上表示如下：

．

故选D．

点评： 本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

9．（3分）（2013•江西）下列因式分解正确的是（　　）

A． x2﹣xy+x=x（x﹣y） B． a3﹣2a2b+ab2=a（a﹣b）2

C． x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3 D． ax2﹣9=a（x+3）（x﹣3）

考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．

分析： 利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．

解答： 解：A、x2﹣xy+x=x（x﹣y+1），故此选项错误；

B、a3﹣2a2b+ab2=a（a﹣b）2，故此选项正确；

C、x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；

D、ax2﹣9，无法因式分解，故此选项错误．

故选：B．

点评： 此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．

10．（3分）（2013•江西）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）

A． 60° B． 75° C． 85° D． 90°

考点： 旋转的性质．

分析： 根据旋转的性质知，旋转角∠EAC=∠BAD=65°，对应角∠C=∠E=70°，则在直角△ABF中易求∠B=35°，所以利用△ABC的内角和是180°来求∠BAC的度数即可．

解答： 解：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．

如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，

∴在Rt△ABF中，∠B=90°﹣∠BAD=35°，

∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣70°=75°，即∠BAC的度数为75°．

故选B．

点评： 本题考查了旋转的性质．解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余的性质来求相关角的度数的．

11．（3分）（2013•江西）如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（　　）

A． 2 B． 4 C． D．

考点： 勾股定理．

分析： 连接AE，求出正六边形的∠F=120°，再求出∠AEF=∠EAF=30°，然后求出∠AEP=90°并求出AE的长，再求出PE的长，最后在Rt△AEP中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．

解答： 解：如图，连接AE，

在正六边形中，∠F=×（6﹣2）•180°=120°，

∵AF=EF，

∴∠AEF=∠EAF=（180°﹣120°）=30°，

∴∠AEP=120°﹣30°=90°，

AE=2×2cos30°=2×2×=2，

∵点P是ED的中点，

∴EP=×2=1，

在Rt△AEP中，AP===．

故选C．

点评： 本题考查了勾股定理，正六边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

12．（3分）（2013•江西）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（　　）

A． a＞0 B． b2﹣4ac≥0 C． x1＜x0＜x2 D． a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．

解答： 解：A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；

B、∵x1＜x2，

∴△=b2﹣4ac＞0，故本选项错误；

C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，

若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；

D、若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，

所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，

∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，

若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，

∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，

综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．

故选D．

点评： 本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键，C、D选项要注意分情况讨论．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）

13．（3分）（2013•江西）如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为　65°　．

考点： 平行线的性质；直角三角形的性质．

专题： 探究型．

分析： 先根据平角的定义求出∠EDC的度数，再由平行线的性质得出∠C的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．

解答： 解：∵∠1=155°，

∴∠EDC=180°﹣155°=25°，

∵DE∥BC，

∴∠C=∠EDC=25°，

∵△ABC中，∠A=90°，∠C=25°，

∴∠B=180°﹣90°﹣25°=65°．

故答案为：65°．

点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．

14．（3分）（2013•江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为　（n+1）2　（用含n的代数式表示）．

考点： 规律型：图形的变化类．

专题： 规律型．

分析： 观察不难发现，点的个数依次为连续奇数的个数，写出第n个图形中点的个数的表达式，再根据求和公式列式计算即可得解．

解答： 解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，

第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，

第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，

…，

第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．

故答案为：（n+1）2．

点评： 本题是对图形变化规律的考查，比较简单，观察出点的个数是连续奇数的和是解题的关键，还要注意求和公式的利用．

15．（3分）（2013•江西）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程　x2﹣5x+6=0（答案不唯一）　．

考点： 根与系数的关系．

专题： 开放型．

分析： 根据S△ABC=3，得出两根之积，进而根据根与系数的关系写出一个符合要求的一元二次方程即可．

解答： 解：∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，

∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6，

∴此方程可以为；x2﹣5x+6=0，

故答案为：x2﹣5x+6=0（答案不唯一）．

点评： 此题主要考查了根与系数的关系以及直角三角形的面积，根据已知得出两根之积进而得出答案是解题关键．

16．（3分）（2013•江西）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是　2，3，4　．

考点： 垂径定理；等边三角形的判定与性质．

分析： 分类讨论：如图1，根据圆周角定理可以退出点C在以点O为圆心的圆上；

如图2，根据已知条件可知对角∠AOB+∠ACB=180°，则四个点A、O、B、C共圆．分类讨论：如图1，如图2，在不同的四边形中，利用垂径定理、等边△MAO的性质来求OC的长度．

解答： 解：如图1，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，

∴∠ACB=∠AOB=60°，

∴点C在以点O为圆心的圆上，且在优弧AB上．

∴OC=AO=BO=2；

如图2，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，

∴∠AOB+∠ACB=180°，

∴四个点A、O、B、C共圆．

设这四点都在⊙M上．点C在优弧AB上运动．

连接OM、AM、AB、MB．

∵∠ACB=60°，

∴∠AMB=2∠ACB=120°．

∵AO=BO=2，

∴∠AMO=∠BMO=60°．

又∵MA=MO，

∴△AMO的等边三角形，

∴MA=AO=2，

∴MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4，

∴OC可以取整数3和4．

综上所述，OC可以取整数2，3，4．

故答案是：2，3，4．

点评： 本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质．此题需要分类讨论，以防漏解．在解题时，还利用了圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系．

三、（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）

17．（6分）（2013•江西）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．

（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；

（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．

考点： 作图—复杂作图．

分析： （1）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°画图即可；

（2）与（1）类似，利用圆周角定理画图．

解答： 解：（1）如图所示：点P就是三个高的交点；

（2）如图所示：CT就是AB上的高．

点评： 此题主要考查了复杂作图，关键是掌握三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是90°．

18．（6分）（2013•江西）先化简，再求值：÷+1，在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值．

考点： 分式的化简求值．

分析： 首先将原式能分解因式的分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，最后根据分式的性质，选出有意义的x的值，即可得到原式的值．

解答： 解：÷+1

=÷+1

=×+1

=+1

=，

当x=0或2时，分式无意义，

故x只能等于1，

原式=．

点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找出公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．

19．（6分）（2013•江西）甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．

（1）下列事件是必然事件的是（　　）

A、乙抽到一件礼物

B、乙恰好抽到自己带来的礼物

C、乙没有抽到自己带来的礼物

D、只有乙抽到自己带来的礼物

（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．

考点： 列表法与树状图法；随机事件．

专题： 图表型．

分析： （1）根据必然事件、随机事件的定义对各选项分析判断后利用排除法求解；

（2）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．

解答： 解：（1）A、乙抽到一件礼物是必然事件；

B、乙恰好抽到自己带来的礼物是随机事件；

C、乙没有抽到自己带来的礼物是随机事件；

D、只有乙抽到自己带来的礼物是随机事件；

故选A；

（2）设甲、乙、丙三人的礼物分别记为a、b、c，

根据题意画出树状图如下：

一共有6种等可能的情况，三人抽到的礼物分别为（abc）、（acb）、（bac）、（bca）、（cab）、（cba），

3人抽到的都不是自己带来的礼物的情况有（bca）、（cab）有2种，

所以，P（A）==．

点评： 本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．（6分）（2013•江西）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．

（1）直接写出B、C、D三点的坐标；

（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．

考点： 反比例函数综合题．

分析： （1）根据矩形性质得出AB=CD=2，AD=BC=4，即可得出答案；

（2）设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），得出k=2（6﹣x）=6（4﹣x），求出x，即可得出矩形平移后A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可．

解答： 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．

∴AB=CD=2，AD=BC=4，

∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；

（2）A、C落在反比例函数的图象上，

设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），

∵A、C落在反比例函数的图象上，

∴k=2（6﹣x）=6（4﹣x），

x=3，

即矩形平移后A的坐标是（2，3），

代入反比例函数的解析式得：k=2×3=6，

即A、C落在反比例函数的图象上，矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是y=．

点评： 本题考查了矩形性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生的计算能力．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

21．（8分）（2013•江西）生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A、全部喝完；B、喝剩约；C、喝剩约一半；D开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中D所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；

（2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？（计算结果请保留整数）

（3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会议人数约在40至60人之间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有多少瓶？（可使用科学记算器）

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析： （1）根据扇形统计图和条形统计图中B所代表的数据求出总人数，即可得出C代表的人数；

（2）根据（1）中所求，得出浪费掉的总量进而得出平均数；

（3）根据每次会议人数约在40至60人之间可以为50人，利用（2）中所求，进而求出总数．

解答： 解：（1）参加这次会议的人数：25÷50%=50，

D所在扇形的圆心角：360°××100%=36°，

C的人数：50﹣25﹣10﹣5=10，如图所示：

（2）（500××25+500××10+500×5）÷50≈183（毫升）；

（3）183×60×÷500≈1098（瓶），

答：浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有1098瓶．

点评： 此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．

22．（8分）（2013•江西）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．

（1）证明PA是⊙O的切线；

（2）求点B的坐标．

考点： 切线的判定与性质；坐标与图形性质．

专题： 计算题．

分析： （1）由AO=2，P的纵坐标为2，得到AP与x轴平行，即PA与AO垂直，即可得到AP为圆O的切线；

（2）连接OP，OB，过B作BQ垂直于OC，由切线长定理得到PA=PB=4，PO为角平分线，进而得到一对角相等，根据AP与OC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换并利用等角对等边得到OC=CP，设OC=x，BC=BP﹣PC=4﹣x，OB=2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OC与BC的长，在直角三角形OBC中，利用面积法求出BQ的长，再利用勾股定理求出OQ的长，根据B在第四象限，即可求出B的坐标．

解答： （1）证明：∵圆O的半径为2，P（4，2），

∴AP⊥OA，

则AP为圆O的切线；

（2）解：连接OP，OB，过B作BQ⊥OC，

∵PA、PB为圆O的切线，

∴∠APO=∠BPO，PA=PB=4，

∵AP∥OC，

∴∠APO=∠POC，

∴∠BPO=∠POC，

∴OC=CP，

在Rt△OBC中，设OC=PC=x，则BC=PB﹣PC=4﹣x，OB=2，

根据勾股定理得：OC2=OB2+BC2，即x2=4+（4﹣x）2，

解得：x=2.5，

∴BC=4﹣x=1.5，

∵S△OBC=OB•BC=OC•BQ，即OB•BC=OC•BQ，

∴BQ==1.2，

在Rt△OBQ中，根据勾股定理得：OQ==1.6，

则B坐标为（1.6，﹣1.2）．

点评： 此题考查了切线的性质与判定，坐标与图形性质，勾股定理，三角形的面积求法，平行线的性质，以及切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解本题的关键．

23．（8分）（2013•江西）如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊性状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．

（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）

（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）（参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科学记算器）

考点： 解直角三角形的应用；扇形面积的计算．

分析： （1）根据平行线的性质得出雨刮杆AB旋转的最大角度，再利用锐角三角函数关系和勾股定理求出EO，AE，BO的长即可；

（2）根据雨刮杆AB扫过的最大面积即为以BO为半径的半圆，进而得出答案即可．

解答： 解：（1）如图所示：A点转到C点，B点转到D点，启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，

故雨刮杆AB旋转的最大角度为：180°，

过点O作OE⊥BA，交BA延长线于点E，连接BO，

∵∠OAB=120°，

∴∠OAE=60°，

∴∠EOA=30°，

∵OA长为10cm，

∴EA=OA=5（cm），

∴EO==5（cm），

∵AB长为48cm，

∴EB=48+5=53（cm），

∴BO===2≈53.70（cm）；

答：雨刮杆AB旋转的最大角度为180°，O、B两点之间的距离为53.70cm；

（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，

∴△BAO≌△DCO，∴S△BAO=S△DCO，

∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=π（OB2﹣OA2）=1392π（cm2）．

答：雨刮杆AB扫过的最大面积为1392πcm2．

点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理和扇形面积求法、勾股定理等知识，利用平行线的性质得出旋转的最大角是解题关键．

五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

24．（12分）（2013•江西）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是　①②③④　（填序号即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．

（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；

（3）类比探究：

（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：　等腰直角三角形　．

（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．

考点： 四边形综合题．

分析： （1）由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；

（2）作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；

（3）i作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；

ii如图4，作直角三角形ADB和直角三角形AEC，∠ADB=∠AEC=90°，当∠BAD=∠CAE时，作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论DM=EM．

解答： 解：（1）∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，

∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°

∵在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（AAS），

∴BD=CE，AD=AE，

∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，

∴AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=AC．

∵AB=AC，

∴AF=AG=AB，故①正确；

∵M是BC的中点，

∴BM=CM．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，

即∠DBM=∠ECM．

在△DBM和△ECM中

∴△DBM≌△ECM（SAS），

∴MD=ME．故②正确；

连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，

∴整个图形是轴对称图形，故③正确．

∵AB=AC，BM=CM，

∴AM⊥BC，

∴∠AMB=∠AMC=90°，

∵∠ADM=90°，

∴四边形ADBM四点共圆，

∴∠AMD=∠ABD=45°．

∵AM是对称轴，

∴∠AME=∠AMD=45°，

∴∠DME=90°，

∴MD⊥ME，故④正确，

（2）MD=ME，

理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，

∴AF=AB，AG=AC．

∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，

∴DF⊥AB，DF=AB，EG⊥AC，EG=AC，

∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．

∵M是BC的中点，

∴MF∥AC，MG∥AB，

∴四边形AFMG是平行四边形，

∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．

∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，

∴∠DFM=∠MGE．

∵在△DFM和△MGE中，

，

∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴DM=ME；

（3）i∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，

∴MF∥AC，MF=AC，MG∥AB，MG=AB，

∴四边形MFAG是平行四边形，

∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM．

∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，

∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°

∴MF=EG，DF=MG，∠AFM﹣∠AFD=∠AGM﹣∠AGE，

即∠DFM=∠MGE．

∵在△DFM和△MGE中

，

∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．

∵MG∥AB，

∴∠MHD=∠BFD=90°，

∴∠HMD+∠MDF=90°，

∴∠HMD+∠EMG=90°，

即∠DME=90°，

∴△DME为等腰直角三角形；

ii如图4，△ADB和△AEC是直角三角形，∠ADB=∠AEC=90°，当∠BAD=∠CAE时，DM=EM．

理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，

∴MF=AC，MF∥AC，MG=AB，MG∥AB，

∴四边形AFMG是平行四边形，

∴MF=AG，MG=AF，∠AFM=∠AGM．

∵∠ADB=∠AEC=90°，

∴DF=AF，EG=AG，

∴DF=MG，MF=EG，∠FDA=∠DAF，∠AGE=∠GAE．

∵∠BAD=∠CAE，

∴∠FDA=∠DAF=∠AGE=∠GAE，

∴∠AFD=∠AGE，

∴∠AFD﹣∠AFM=∠AGE﹣∠AGM，

即∠DFM=∠MGE．

∵在△DFM和△MGE中，

，

∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴DM=ME．

故答案为：①②③④．

点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键．

25．（12分）（2013•江西）已知抛物线yn=﹣（x﹣an）2+an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An﹣1（bn﹣1，0）和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．

（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；

（2）抛物线y3的顶点坐标为（　9　，　9　）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（　n2　，　n2　）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是　y=x　；

（3）探究下列结论：

①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An﹣1An；

②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）因为点A0（0，0）在抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1上，可求得a1=1，则y1=﹣（x﹣1）2+1；令y1=0，求得A1（2，0），b1=2；再由点A1（2，0）在抛物线y2=﹣（x﹣a2）2+a2上，求得a2=4，y2=﹣（x﹣4）2+4．

（2）求得y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．

（3）①由A0（0，0），A1（2，0），求得A0A1=2；yn=﹣（x﹣n2）2+n2，令yn=0，求得An﹣1（n2﹣n，0），An（n2+n，0），所以An﹣1An=（n2+n）﹣（n2﹣n）=2n；

②设直线解析式为：y=kx﹣2k，设直线y=kx﹣2k与抛物线yn=﹣（x﹣n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，联立两式得一元二次方程，得到x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k．然后作辅助线，构造直角三角形，求出EF2的表述式为：EF2=（k2+1）[4n2•（1﹣k）+k2+8k]，可见当k=1时，EF2=9为定值．所以满足条件的直线为：y=x﹣2．

解答： 解：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0），

∴0=﹣（0﹣a1）2+a1，解得a1=1或a1=0．

由已知a1＞0，∴a1=1，

∴y1=﹣（x﹣1）2+1．

令y1=0，即﹣（x﹣1）2+1=0，解得x=0或x=2，

∴A1（2，0），b1=2．

由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=﹣（x﹣a2）2+a2经过点A1（2，0），

∴0=﹣（2﹣a2）2+a2，解得a2=1或a2=4，

∵a1=1，且已知a2＞a1，

∴a2=4，

∴y2=﹣（x﹣4）2+4．

∴a1=1，b1=2，y2=﹣（x﹣4）2+4．

（2）抛物线y2=﹣（x﹣4）2+4，令y2=0，即﹣（x﹣4）2+4=0，解得x=2或x=6．

∵A1（2，0），

∴A2（6，0）．

由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=﹣（x﹣a3）2+a3经过点A2（6，0），

∴0=﹣（6﹣a3）2+a3，解得a3=4或a3=9．

∵a2=4，且已知a3＞a2，

∴a3=9，

∴y3=﹣（x﹣9）2+9．

∴y3的顶点坐标为（9，9）．

由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），

依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．

∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，

∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．

（3）①∵A0（0，0），A1（2，0），

∴A0A1=2．

yn=﹣（x﹣n2）2+n2，令yn=0，即﹣（x﹣n2）2+n2=0，

解得x=n2+n或x=n2﹣n，

∴An﹣1（n2﹣n，0），An（n2+n，0），即An﹣1An=（n2+n）﹣（n2﹣n）=2n．

②存在．

设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=﹣2k，

∴y=kx﹣2k．

设直线y=kx﹣2k与抛物线yn=﹣（x﹣n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，

联立两式得：kx﹣2k=﹣（x﹣n2）2+n2，整理得：x2+（k﹣2n2）x+n4﹣n2﹣2k=0，

∴x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k．

过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，则EG=x2﹣x1，

FG=y2﹣y1=[﹣（x2﹣n2）2+n2]﹣[﹣（x1﹣n2）2+n2]=（x1+x2﹣2n2）（x1﹣x2）=k（x2﹣x1）．

在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，

即：EF2=（x2﹣x1）2+[k（x2﹣x1）]2=（k2+1）（x2﹣x1）2=（k2+1）[（x1+x2）2﹣4x1•x2]，

将x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k代入，整理得：EF2=（k2+1）[4n2•（1﹣k）+k2+8k]，

当k=1时，EF2=（1+1）（1+8）=9，∴EF=3为定值，

∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x﹣2．

∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x﹣2．

点评： 本题考查了二次函数综合题型，考查了二次函数图象上点的坐标特征、顶点坐标、抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法、一次函数、解一元二次方程、根与系数关系、勾股定理等知识点．本题涉及考点众多，计算量比较大，有一点的难度．难点在于第（3）②问，需要灵活运用一元二次方程根与系数关系进行化简与计算．